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規(guī)律探索題 類型一 數式規(guī)律 ★1.觀察以下一列數的特點：0，1，－4，9，－16，25，…， 則第 11 個數是( ) A. －121 B. －100 C. 100 D. 121 B【解析】本組數的第 n個數的絕對值是(n－1)2，從第三個數開始，奇數項為負數，偶數項為正數，故第 11 個數是負 數，絕對值是(11－1)2＝100，即第 11 個數是－100. ★2.一列單項式：－a2，3a3，－5a4，7a5，…，按此規(guī)律 排列，則第 7 個單項式為________． －13a8 【解析】 序數 1 2 3 4 … n 單項式系 1 3 5 7 … 2n－1 數的絕對值 單項式次數 2 3 4 5 … n＋1 n 為偶 數時， 符號為 符號 －＋－＋ … 正，n 為奇數 時，符 號為負 ∴第 7 個單項式為－13a8. 2 8 11 14 ★3.按一定規(guī)律排列的一列數依次為：，1，， ， ， 3 7 9 11 1713，…，按此規(guī)律，這列數中的第 100 個數是________． 299201【解析】1＝55，觀察這列數的規(guī)律，可以發(fā)現其分母為 相鄰兩個數相差 2 的數列，分子為相鄰兩個數相差 3 的數列，由此可推斷第 n 個數的分子為2＋3(n－1)＝3n－1，對應分母 的值為 3＋2(n－1)＝2n＋1，∴第n個數為3n－1，令n＝100 2n＋1 可得第 100 個數為299201. 類型二 數式周期變化規(guī)律 ★1.如圖，是一個數字程序運算框圖，若輸入的x為3， 第一次運算后，輸出的結果為13，第二次運算后，輸出的結果 為32，第三次運算后，輸出的結果為－2，…，按照這樣的規(guī) 律，第 xx 次運算后，輸出的結果為________． 第 1 題圖 3 【解析】根據題意，輸入 3，∵3 為整數，∴第一次運算 2 1 1 1 3 輸出結果為 ，∵ 為分數，∴第二次運算輸出結果為 1＝ ， 3 3 1－ 2 3 ∵32為分數，∴第三次運算輸出結果為1－132＝－2，∵－2 是 整數，∴第四次運算輸出結果為－12＝－12，∵－12是分數，∴ 第五次運算輸出結果為 1 1 ＝2，∵2是分數，∴第六 1－（－2） 3 3 次運算輸出結果為 1 2＝3，∵3是整數，∴第七次運算輸出 1－3 結果為13，…，由此可知，輸出結果呈循環(huán)規(guī)律，且循環(huán)結是 6，∵xx6＝336……2，∴第 xx 次運算輸出結果和第二 次運算輸出結果相同，為32. 類型三 圖形累加規(guī)律 ★1.如圖，用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺 放： 第 1 題圖 則第⑦個圖案有________個黑色棋子． 19【解析】列表如下： 序號 1 2 3 … n 棋子個數 1 4 7 … 規(guī)律 1 1＋3 1＋ … 1＋3(n 32 －1) ∴第⑦個圖案中棋子的個數為 1＋3(7－1)＝19. ★2.如圖，自左至右，第1個圖由1個正六邊形、6個正 方形和 6 個等邊三角形組成；第 2 個圖由 2 個正六邊形、11 個正方形和 10 個等邊三角形組成；第 3 個圖由 3 個正六邊形、 16 個正方形和 14 個等邊三角形組成，…，按照此規(guī)律，第n 個圖中正方形和等邊三角形的個數之和為________個． 第 2 題圖 3＋9n【解析】如下表： 第 n 正六 正方形 等邊三角形 個圖 邊形 1 1 6＝1＋5 6＝2＋4 2 2 11＝1＋5＋5 10＝2＋4＋4 3 3 16＝1＋5＋5＋5 14＝2＋4＋4＋4 … … … … n n 1＋5n 2＋4n 故答案為(1＋5n)＋(2＋4n)＝3＋9n. 類型四 圖形循環(huán)規(guī)律 ★1.如圖，在直角坐標系中，已知點A(－3，0)、B(0， 4)，對△OAB連續(xù)作旋轉變換，依次得到△1、△2、△3，…，則△xx 中最小角的頂點坐標為________． 第 1 題圖 (8068，0)【解析】在 Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝OA2＋OB2＝32＋42＝5，OA＋OB＋AB＝3＋4＋5＝12，由題圖可知，每 3 個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵xx3 ＝672……2 ，∴△xx是第 673 個循環(huán)的第二個三角形， ∴12672＋4＝8068.△xx中最小角的頂點坐標為(8068，0)．★2.把多塊大小不同的30直角三角板如圖所示擺在平面直角坐標系中，第一塊三角板 AOB 的一條直角邊與 y 軸重合且點 A 的坐標為(0，1)，∠ABO＝30；第二塊三角板的斜 邊 BB1與第一塊三角板的斜邊 AB 垂直且交 y 軸于點 B1；第三塊三角板的斜邊 B1B2與第二塊三角板的斜邊 BB1垂直且交 x 軸于點 B2；第四塊三角板的斜邊 B2B3與第三塊三角板的斜邊 B1B2垂直且交 y 軸于點 B3；…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則點 Bxx的坐標為________. (0，－31009)【解析】∵A(0，1)，∴OA＝1，∵∠ABO＝30， ∠AOB＝90，∴BO＝ AO ＝3，∴B(－3，0)，同理tan∠ABO 可得 B1(0，－3)，B2(33，0)，B3(0，9)，B4(－93，0)，…，∴B4n(－(3)4n＋1，0)，B4n＋1(0，－(3)4n＋2)，B4n＋2((3)4n＋3，0)，B4n＋3(0，(3)4n＋4)，∵xx4＝504……1，∴Bxx(0，－ (3)xx)，即Bxx(0，－31009)． 類型五 圖形遞變規(guī)律 ★1.如圖，已知OB＝1，以OB為直角邊作等腰直角三角形 A1BO，再以 OA1為直角邊作等腰直角三角形 A2A1O，如此下 去，則線段 OAn的長 度為________． 第 1 題圖 n (2)n(或22 ) 【解析】由等腰直角三角形的性質可知，OA1 ＝2OB＝2，OA2＝2OA1＝22＝2，OA3＝2OA2＝22 n ＝22，…，OAn＝(2)n＝22 . ★2.如圖，在平面直角坐標系中，直線l經過原點，且與 y 軸正半軸所夾的銳角為 60，過點A(0，1)作y軸的垂線交直線 l 于點 B，過點 B 作直線 l 的 垂線交 y 軸于點 A1，以 A1B、BA 為鄰邊作? ABA1C1；過點 A1作 y 軸的垂線交直線 l 于點 B1，過點 B1作直線 l 的垂線交 y 軸于點 A2， 以 A2B1 、 B1A1 為 鄰 邊 作 第 2 題圖 ? A1B1A2C2；…；按此作法繼續(xù)下去，則點 Cn的坐標是 ________． (－34n-1，4n)【解析】∵直線l經過原點，且與y軸正半 軸所夾的銳角為 60，∴直線l的解析式為y＝33x.∵AB⊥y 軸，點 A(0，1)，∴可設 B 點坐標為(x，1)，將 B(x，1)代入 y ＝33x，得1＝33x，解得 x＝3，∴B點坐標為(3，1)，AB ＝3.在 Rt△A1AB中，∠AA1B＝90－60＝30，∠A1AB＝ 90 ，∴AA1＝3 AB＝ 3 ，OA1＝OA＋AA1＝ 1 ＋ 3 ＝ 4.∵在 ? ABA1C1中，A1C1＝AB＝3，∴C1點的坐標為(－3，4)，即(－340，41)；由33x＝4，解得x＝43，∴B1點坐標為(43， 4)，A1B1＝43.在 Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1＝30，∠A2A1B1＝90，∴A1A2＝3A1B1＝12，OA2＝OA1＋A1A2＝4＋12＝16，∵在? A1B1A2C2中，A2C2＝A1B1＝43，∴C2點的坐標為(－ 43，16)，即(－341，42)；同理可得C3點的坐標為(－163， 64)，即(－342，43)；以此類推，則Cn的坐標是(－34n-1， 4n).