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2019-2020年小學(xué)奧數(shù)六年級《數(shù)的整除性規(guī)律》經(jīng)典專題點(diǎn)撥教案 　　【能被2或5整除的數(shù)的特征】（見小學(xué)數(shù)學(xué)課本，此處略） 　　【能被3或9整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3和9整除時(shí)，這個(gè)數(shù)便能被3或9整除。 　　例如，1248621各位上的數(shù)字之和是 　　1+2+4+8+6+2+1=24 　　3｜24，則3｜1248621。 　　又如，372681各位上的數(shù)字之和是 　　3+7+2+6+8+1=27 　　9｜27，則9｜372681。 　　【能被4或25整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末兩位數(shù)能被4或25整除時(shí)，這個(gè)數(shù)便能被4或25整除。 　　例如，173824的末兩位數(shù)為24，4｜24，則4｜173824。 　　43586775的末兩位數(shù)為75，25｜75，則25｜ 　　43586775。 【能被8或125整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字為0，或者末三位數(shù)能被8或125整除時(shí)，這個(gè)數(shù)便能被8或125整除。 　　例如，32178000的末三位數(shù)字為0，則這個(gè)數(shù)能被8整除，也能夠被125整除。 　　3569824的末三位數(shù)為824，8｜824，則8｜3569824。 　　214813750的末三位數(shù)為750，125｜750，則125｜214813750。 【能被7、11、13整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字所表示的數(shù)，與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差（大減小的差）能被7、11、13整除時(shí)，這個(gè)數(shù)就能被7、11、13整除。 　　例如，75523的末三位數(shù)為523，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是75，523-75=448，4487=64，即 　　7｜448，則7｜75523。 　　又如，1095874的末三位數(shù)為874，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是1095，1095-874=221，22113=17，即 　　13｜221，則13｜1095874。 　　再如，868967的末三位數(shù)為967，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是868，967-868=99，9911=9，即 　　11｜99，則11｜868967。 　　此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣敘述： 　　一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)位上數(shù)字之和，與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除時(shí)，則這個(gè)數(shù)便能被11整除。 　　例如，4239235的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為 　　4+3+2+5=14， 　　偶數(shù)位上數(shù)字之和為2+9+3=14， 　　二者之差為14-14=0，011=0， 　　即11｜0，則11｜4239235。 附送： 2019-2020年小學(xué)奧數(shù)六年級《數(shù)的組成》經(jīng)典專題點(diǎn)撥教案 　　【數(shù)字組數(shù)】 　　例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個(gè)數(shù)字都要用到，并且只能用一次，那么這九個(gè)數(shù)字最多能組成______個(gè)質(zhì)數(shù)。 　?。?990年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題） 　　講析：自然數(shù)1至9這九個(gè)數(shù)字中，2、3、5、7本身就是質(zhì)數(shù)。于是只剩下1、4、6、8、9五個(gè)數(shù)字，它們可組成一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)和一個(gè)三位質(zhì)數(shù)：41和689。所以，最多能組成六個(gè)質(zhì)數(shù)。 　　例2 用0、1、2、……9這十個(gè)數(shù)字組成五個(gè)兩位數(shù)，每個(gè)數(shù)字只用一次，要求它們的和是一個(gè)奇數(shù)，并且盡可能的大。那么，這五個(gè)兩位數(shù)的和是______。 　?。?991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題） 　　講析：組成的五個(gè)兩位數(shù)，要求和盡可能大，則必須使每個(gè)數(shù)盡可能大。所以它們的十位上分別　是9、8、7、6、5，個(gè)位上分別是0、1、2、3、4。但要求五個(gè)兩位數(shù)和為奇數(shù)，而1+2+3+4=10為偶數(shù)，所以應(yīng)將4與5交換，使和為： 　?。?+8+7+6+4）10+（1+2+3+5）=351。 　　351即本題答案。 　　例3 一個(gè)三位數(shù)，如果它的每一個(gè)數(shù)字都不超過另一個(gè)三位數(shù)對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，那么就稱它被另一個(gè)三位數(shù)“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉），但240和223互不被吃掉?，F(xiàn)請你設(shè)計(jì)出6個(gè)三位數(shù)，它們當(dāng)中任何一個(gè)數(shù)不被其它5個(gè)數(shù)吃掉，并且它們的百位上數(shù)字只允許取1、2；十位上數(shù)字只允許取1、2、3；個(gè)位上數(shù)字只允許取1、2、3、4。 　　這6個(gè)三位數(shù)是_______。 　　（第五屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題） 　　講析：六個(gè)三位數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)a和b，則同數(shù)位上的數(shù)字中，a中至少有一個(gè)數(shù)字大于b，而b中至少有一個(gè)數(shù)字大于a。 　　當(dāng)百位上為1時(shí)，十位上可從1開始依次增加1，而個(gè)位上從4開始依次減少1。即：114，123，132。當(dāng)百位上為2時(shí)，十位上從1開始依次增加1而個(gè)位上只能從3開始依次減少1。即：213，222，231。經(jīng)檢驗(yàn)，這六個(gè)數(shù)符合要求。 　　例4 將1、1、2、2、3、3、4、4這八個(gè)數(shù)字排成一個(gè)八位數(shù)，使得兩個(gè)1之間有一個(gè)數(shù)字；兩個(gè)2之間有兩個(gè)數(shù)字；兩個(gè)3之間有三個(gè)數(shù)字；兩個(gè)4之間有四個(gè)數(shù)字。那么這樣的八位數(shù)中的一個(gè)是______。 　?。?991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題） 　　講析：兩個(gè)4之間有四個(gè)數(shù)字，則在兩個(gè)4之間必有一個(gè)數(shù)字重復(fù)，而又要求兩個(gè)1之間有一個(gè)數(shù)，于是可推知，這個(gè)重復(fù)數(shù)字必定是1，即412134或421314。然后可添上另一個(gè)2和3。 　　經(jīng)調(diào)試，得23421314，此數(shù)即為所答。 　　【條件數(shù)字問題】 　　例1 某商品的編號是一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)有五個(gè)三位數(shù)：874，765，123，364，925。其中每一個(gè)數(shù)與商品編號，恰好在同一位上有一個(gè)相同的數(shù)字，那么這個(gè)三位數(shù)是_______ 　?。?993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題） 　　講析：將五個(gè)數(shù)按百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分組比較，可發(fā)現(xiàn)：百位上五個(gè)數(shù)字都不同；十位上有兩個(gè)2和兩個(gè)6；個(gè)位上有兩個(gè)4和兩個(gè)5。故所求的數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是4或5，百位上一定是2或6。經(jīng)觀察比較，可知724符合要求。 　　例2 給一本書編頁碼，共用了1500個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字“3”共用了_______個(gè) 　?。ㄊ讓谩冬F(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)）》邀請賽試題） 　　講析：可先求出1500個(gè)數(shù)字可編多少頁。 　　從第一頁到第9頁，共用去9個(gè)數(shù)字；從第10頁到第99頁，共用去290=180（個(gè)）數(shù)字；余下的數(shù)字可編（1500-189）3=437（頁） 　　所以，這本書共有536頁。 　　l至99頁，共用20個(gè)“3”，從100至199頁共用20個(gè)“3”，從200至299頁共用20個(gè)“3”，從300至399頁共用去120個(gè)“3”，從400至499頁共用去20個(gè)“3”，從500到536頁共用去11個(gè)“3”。所以，共用去211個(gè)數(shù)字3。 　　例3 在三位數(shù)中，數(shù)字和是5的倍數(shù)的數(shù)共有_______個(gè)。 　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”決賽口試試題） 　　講析：可把三位數(shù)100至999共900個(gè)數(shù)，從100起，每10個(gè)數(shù)分為一組，得 　?。?00，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、999） 　　共分成了90組，而每組中有且只有兩個(gè)數(shù)的數(shù)字和是5的倍數(shù)，所以一共有290=180（個(gè)）。 　　例4 有四個(gè)數(shù)，取其中的每兩個(gè)數(shù)相加，可以得到六個(gè)和。這六個(gè)和中最小的四個(gè)數(shù)是83、87、92、94，原因數(shù)中最小的是______。 　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題） 　　講析：設(shè)原四個(gè)數(shù)從小到大為a、b、c、d，則有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。而對于和為92和94時(shí)，或者是b+c=92，或者是b+c=94。 　　當(dāng)b+c=92時(shí)，因c比b大4，可得b=45，進(jìn)而可求得a=38。 　　當(dāng)b+c=94時(shí)，因c比b大4，可得b=44，進(jìn)而可求得a=39。 　　所以，原四數(shù)中最小的數(shù)是38或39。 　　 abcd=______ 　?。◤V州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題） 　　講析：原四位數(shù)增加8倍后得新的四位數(shù)，也就是原四位數(shù)乘以9，得新四位數(shù)（如圖5.29）。從而可知，a一定為1，否則積不能得四位數(shù)。則 　 　　例6 有兩個(gè)兩位數(shù)，它們的個(gè)位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和是11。這兩個(gè)數(shù)的積的十位數(shù)字肯定不會是哪兩個(gè)數(shù)字？ 　　（1990年《小學(xué)生報(bào)》小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題） 　　講析：由題意可知，兩個(gè)數(shù)的十位上為（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而個(gè)上則可以是0至9的任意一個(gè)數(shù)字。如果分別去求這兩個(gè)數(shù)的積，那是很麻煩的。 　　設(shè)這兩個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是c，十位數(shù)字分別為a、b，則a+b=11，兩數(shù)分別為（10a+c)，（10b+c）。 　　 　　 字。 　　　　 能是6、8。 　　例7 期的記法是用6個(gè)數(shù)字，前兩個(gè)數(shù)字表示年份，中間兩個(gè)數(shù)字表示月份，后兩個(gè)數(shù)字表示日（如1976年4月5日記為760405）。 　　第二屆小學(xué)“祖杯賽”的競賽日期記為921129。這個(gè)數(shù)恰好左右對稱。因此這樣的日期是“吉祥日”。問：從87年9月1日到93年6月30日，共有_______個(gè)吉祥日。（第二屆“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題） 　　講析：一個(gè)六位數(shù)從中間分開，要求左右對稱，則在表示月份的兩個(gè)數(shù)中，只有11月份。而且“年份”的個(gè)位數(shù)字只能是0、1、2。 　　所以是共有3個(gè)吉祥日：901109、911119、921129。