高考數學一輪總復習 第十一章 第5節(jié) 數學歸納法課件.ppt
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第十一章復數 算法 推理與證明 第5節(jié)數學歸納法 1 了解數學歸納法的原理 2 能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題 要點梳理 數學歸納法一般地 證明一個與正整數n有關的命題 可按下列步驟進行 1 歸納奠基 證明當n取第一個值n0 n0 N 時命題成立 2 歸納遞推 假設當n k k N k n0 時命題成立 推出當 時命題也成立 n k 1 只要完成這兩個步驟 就可以斷定命題對n取第一個值后面的所有正整數都成立 上述證明方法叫做數學歸納法 質疑探究 數學歸納法兩個步驟有什么關系 提示 數學歸納法證明中的兩個步驟體現了遞推思想 第一步是遞推的基礎 第二步是遞推的依據 兩個步驟缺一不可 否則就會導致錯誤 1 第一步中 驗算n n0中的n0不一定為1 根據題目要求 有時可為2或3等 2 第二步中 證明n k 1時命題成立的過程中 一定要用到歸納假設 掌握 一湊假設 二湊結論 的技巧 解析 觀察等式左邊的特征易知選C 答案 C 解析 從n到n2共有n2 n 1個數 所以f n 中共有n2 n 1項 答案 D 4 凸k邊形內角和為f k 則凸k 1邊形的內角和為f k 1 f k 解析 易得f k 1 f k 答案 典例透析 所以當n k 1時等式也成立 綜合 1 2 知對一切n N 等式都成立 拓展提高 1 用數學歸納法證明等式問題是常見題型 其關鍵點在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律 等式兩邊各有多少項 初始值n0是幾 2 由n k到n k 1時 除等式兩邊變化的項外還要充分利用n k時的式子 即充分利用假設 正確寫出歸納證明的步驟 從而使問題得以證明 思路點撥利用假設后 要注意不等式的放大和縮小 拓展提高 1 用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式 一是直接給出不等式 按要求進行證明 二是給出兩個式子 按要求比較它們的大小 對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較 以免出現判斷失誤 最后猜出從某個n值開始都成立的結論 常用數學歸納法證明 2 用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n k時成立得n k 1時成立 主要方法有 放縮法 利用均值不等式法 作差比較法等 考向三用數學歸納法證明整除性問題例3用數學歸納法證明42n 1 3n 2能被13整除 其中n為正整數 思路點撥當n k 1時 把42 k 1 1 3k 3配湊成42k 1 3k 2的形式是解題的關鍵 拓展提高用數學歸納法證明整除問題 P k P k 1 的整式變形是個難點 找出它們之間的差異 然后將P k 1 進行分拆 配湊成P k 的形式 也可運用結論 P k 能被p整除且P k 1 P k 能被p整除 P k 1 能被p整除 活學活用3已知n為正整數 a Z 用數學歸納法證明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 證明 1 當n 1時 an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 2 假設n k時 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么當n k 1時 ak 2 a 1 2k 1 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 2 ak 1 a 1 2 思路點撥關鍵是搞清n k到n k 1時對角線增加的條數 看頂點的變化可知對角線的變化從而可解 拓展提高用數學歸納法證明幾何問題的關鍵是 找項 即幾何元素從k個變成k 1個時 所證的幾何量將增加多少 這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析 事實上 將n k 1和n k分別代入所證的式子 然后作差 即可求出增加量 這也是用數學歸納法證明幾何問題的一大技巧 活學活用4平面上有n個圓 每兩圓交于兩點 每三圓不過同一點 求證這n個圓分平面為n2 n 2個部分 審題視角 1 將n 1 2 3代入已知等式得a1 a2 a3 從而可猜想an 并用數學歸納法證明 2 利用分析法 結合x 0 y 0 x y 1 利用基本不等式可證 答題模板 第1步 尋找特例a1 a2 a3等 第2步 猜想an的公式 第3步 轉換遞推公式為an與an 1的關系 第4步 用數學歸納法證明an 驗證遞推公式中的第一個自然數n 2 推證ak 1的表達式為k 1 補驗n 1 說明對于n N 成立 第5步 分析法證明 提醒 1 利用數學歸納法可以探索與正整數n有關的未知問題 存在性問題 其基本模式是 歸納 猜想 證明 即先由合情推理發(fā)現結論 然后經邏輯推理即演繹推理論證結論的正確性 2 為了正確地猜想an 首先準確求出a1 a2 a3的值 思維升華 方法與技巧 1 數學歸納法的兩個步驟相互依存 缺一不可有一無二 是不完全歸納法 結論不一定可靠 有二無一 第二步就失去了遞推的基礎 2 歸納假設的作用在用數學歸納法證明問題時 對于歸納假設要注意以下兩點 1 歸納假設就是已知條件 2 在推證n k 1時 必須用上歸納假設 3 利用歸納假設的技巧在推證n k 1時 可以通過湊 拆 配項等方法用上歸納假設 此時既要看準目標 又要掌握n k與n k 1之間的關系 在推證時 分析法 綜合法 反證法等方法都可以應用 失誤與防范 1 數學歸納法證題時初始值n0不一定是1 2 推證n k 1時一定要用上n k時的假設 否則不是數學歸納法
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