高考數學二輪復習 專題7.1 函數與方程思想、數形結合思想課件 理.ppt
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第1講函數與方程思想 數形結合思想 一 函數與方程思想 思想概述 函數與方程是中學數學的重要概念 它們之間有著密切的聯(lián)系 函數與方程的思想是中學數學的基本思想 主要依據題意 構造恰當的函數 或建立相應的方程來解決問題 是歷年高考的重點和熱點 方程的思想與函數的思想密切相關 方程f x 0的解就是函數y f x 的圖象與x軸的交點的橫坐標 函數y f x 也可以看作二元方程f x y 0 通過方程進行研究 方程f x a有解 當且僅當a屬于函數f x 的值域 函數與方程的這種相互轉化關系十分重要 函數與方程的思想在解題中的應用可從以下幾個方面思考 1 函數與不等式的相互轉化 對函數y f x 當y 0時 就轉化為不等式f x 0 借助于函數的圖象和性質可解決有關問題 而研究函數的性質也離不開不等式 2 數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數 用函數的觀點去處理數列問題十分重要 數列也可用方程思想求解 3 1 解析幾何中的許多問題 需要通過解二元方程組才能解決 這都涉及二次方程與二次函數的有關理論 2 立體幾何中有關線段 角 面積 體積的計算 經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決 建立空間直角坐標系后 立體幾何與函數的關系更加密切 類型講解 類型一函數方程思想在不等式恒成立 函數零點問題中的應用 例1 已知函數f x ex ax 其中a 0 1 若對一切x R f x 1恒成立 求a的取值集合 2 在函數f x 的圖象上取定兩點A x1 f x1 B x2 f x2 x1 x2 記直線AB的斜率為k 證明 存在x0 x1 x2 使f x0 k成立 1 解f x ex a 令f x 0 得x lna 當x lna時 f x 0 當x lna時 f x 0 f x 在 lna 上是減函數 在 lna 上是增函數 故當x lna時 f x 取最小值f lna a alna 于是對一切x R f x 1恒成立 當且僅當a alna 1 令g t t tlnt 則g t lnt 當0 t 1時 g t 0 g t 單調遞增 當t 1時 g t 0 g t 單調遞減 故當t 1時 g t 取最大值g 1 1 因此 當且僅當a 1時 式成立 綜上所述 a的取值集合為 1 規(guī)律方法 1 本題求解的關鍵在于恰當構造函數 第 1 問中x R 恒有f x 1 轉化為求函數f x min 1 即轉化為a alna 1 構造函數 求a alna最大值為1 從而把不等式 轉化為方程 第 2 問中在第 1 問中判定 x1 x2 符號 構建函數F t et t 1 利用單調性加以確定 抓住函數這一靈魂 找到解題的利器 2 題目綜合考查導數 斜率公式 函數的零點 不等式等基礎知識 靈活利用函數方程思想 有效實施方程 不等式 函數之間相互轉化 規(guī)律方法 1 等差 等比數列中 通項公式 前n項和公式 可以看成n的函數 可以用函數方法解決 2 而數列求值問題的實質是解方程 所以 方程思想在數列問題中也有著重要的作用 2 幾何最值是高考的熱點 在圓錐曲線的綜合問題中經常出現 求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中 抓住函數關系 將目標量表示為一個 或者多個 變量的函數 然后借助于函數最值的探求來使得問題得以解決 二 數形結合思想 思想概述 數形結合思想的實質是把抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機結合 達到抽象思維和形象思維的和諧統(tǒng)一 通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析 化抽象為直觀 化直觀為精確 從而使問題得到解決 數形結合包含 以形助數 和 以數輔形 兩個方面 其應用大致可以分為兩種情形 一是借助形的生動性和直觀性來闡明數形之間的聯(lián)系 即以形作為手段 數作為目的 比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質 二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性 即以數作為手段 形作為目的 如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質 在運用數形結合思想分析和解決問題時 要注意三點 1 要徹底明白一些概念和運算法則的幾何意義以及曲線的代數特征 對題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義 2 選擇好突破口 恰當設參 合理用參 建立關系 由數思形 以形想數 做好數形轉化 3 挖掘隱含條件 準確界定參數的取值范圍 參數的范圍決定圖形的范圍 數形結合思想是重要的思維方式 在高考中占有非常重要的地位 近幾年的高考題中的曲線方程問題 函數與不等式問題 參數范圍問題 可行域與目標函數最值 向量兩重性等 都用到了數形結合的思想方法 它不僅是我們解題的一種思想方法 還是我們進一步學習 研究數學的有力武器 解析 1 畫可行域如圖所示 類型二解析幾何中的數形結合思想 例2 在平面直角坐標系xOy中 過定點C 0 p 作直線與拋物線x2 2py p 0 相交于A B兩點 1 若點N是點C關于坐標原點O的對稱點 求 ABN面積的最小值 2 是否存在垂直于y軸的直線l 使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值 若存在 求出l的方程 若不存在 請說明理由 解 1 如圖所示 依題意 點N的坐標為N 0 p 可設A x1 y1 B x2 y2 直線AB的方程為y kx p 與x2 2py聯(lián)立消去y得x2 2pkx 2p2 0 2 如圖所示 假設滿足條件的直線l存在 其方程為y a 設AC的中點為O l與以AC為直徑的圓相交于點P Q PQ的中點為H 規(guī)律方法 1 本題是一個考查直線與圓錐曲線位置關系的開放性問題 數形結合思想中一個非常重要的方面是以數解形 通過方程等代數的方法來研究幾何問題 也就是解析法 解析法與幾何法結合來解題 會有更大的功效 2 此類題目的求解要結合該類圖形的幾何性質 將條件信息和結論信息結合在一起 觀察圖形特征 轉化為代數語言 即方程 組 或不等式 組 從而將問題解決- 配套講稿:
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