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第2講不等式及線性規(guī)劃 高考定位不等式的性質(zhì) 求解 證明及應(yīng)用是每年高考必考的內(nèi)容 對(duì)不等式的考查一般以選擇題 填空題為主 1 主要考查不等式的求解 利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃求最值 2 不等式相關(guān)的知識(shí)可以滲透到高考的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域 往往作為解題工具與數(shù)列 函數(shù) 向量相結(jié)合 在知識(shí)的交匯處命題 難度中檔 在解答題中 特別是在解析幾何中求最值 范圍或在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常利用不等式進(jìn)行求解 但難度偏高 真題感悟 B D C 3 考點(diǎn)整合 1 解含有參數(shù)的一元二次不等式 要注意對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論 對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)與0的大小進(jìn)行討論 在轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的一元二次不等式后 對(duì)判別式與0的大小進(jìn)行討論 當(dāng)判別式大于0 但兩根的大小不確定時(shí) 對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論 3 平面區(qū)域的確定方法是 直線定界 特殊點(diǎn)定域 二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的半平面的交集 線性目標(biāo)函數(shù)z ax by中的z不是直線ax by z在y軸上的截距 把目標(biāo)函數(shù)化為y x 可知是直線ax by z在y軸上的截距 要根據(jù)b的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值 什么情況下取得最小值 4 不等式的證明不等式的證明要注意和不等式的性質(zhì)結(jié)合起來(lái) 常用的方法有 比較法 作差法 作商法 要注意討論分母 分析法 綜合法 數(shù)學(xué)歸納法 反證法 還要結(jié)合放縮和換元的技巧 其中 比較法是應(yīng)用最為廣泛的證明方法 在導(dǎo)數(shù) 解含參不等式 數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)都有滲透 B 探究提高在使用基本不等式求最值時(shí)一定要檢驗(yàn)等號(hào)能否取到 有時(shí)也需進(jìn)行常值代換 答案B 探究提高在利用基本不等式求最值時(shí) 要特別注意 拆 拼 湊 等技巧 使其滿足基本不等式中 正 即條件要求中字母為正數(shù) 定 不等式的另一邊必須為定值 等 等號(hào)取得的條件 的條件才能應(yīng)用 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 答案 1 C 2 B 1 3 探究提高一是轉(zhuǎn)化關(guān) 即通過(guò)分離參數(shù)法 先轉(zhuǎn)化為f a g x 或f a g x 對(duì) x D恒成立 再轉(zhuǎn)化為f a g x max 或f a g x min 二是求最值關(guān) 即求函數(shù)g x 在區(qū)間D上的最大值 或最小值 問(wèn)題 探究提高主 輔元互換可以實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的有效轉(zhuǎn)化 由繁到簡(jiǎn) 應(yīng)用這種方法的過(guò)程中關(guān)鍵還是把握恒成立的本質(zhì) 巧用轉(zhuǎn)化思想 靈活處理 從而順利解決問(wèn)題 答案 1 B 2 R 答案B 探究提高線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化 即數(shù)形結(jié)合的思想 需要注意的是 一 準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域 二 畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí) 要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較 避免出錯(cuò) 三 一般情況下 目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得 B 探究提高對(duì)于線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題 需注意 1 當(dāng)最值是已知時(shí) 目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān) 解題時(shí)應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化 2 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知 且約束條件中含有參數(shù)時(shí) 因?yàn)槠矫鎱^(qū)域是變動(dòng)的 所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口 先確定最優(yōu)解 然后變動(dòng)參數(shù)范圍 使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可 答案B探究提高線性規(guī)劃求最值問(wèn)題要明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 1 目標(biāo)函數(shù)為一次函數(shù) 幾何意義可等價(jià)為橫 縱截距 平移直線即可求出最值 2 目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù) 可等價(jià)距離的平方 但要注意求距離最值時(shí) 若利用垂線段 需考慮垂足是否在可行域內(nèi) 所以此時(shí)更要注意數(shù)形結(jié)合的重要性 3 目標(biāo)函數(shù)為一次函數(shù)絕對(duì)值 可構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離 但莫忘等價(jià)變形 即莫忘除以系數(shù) 4 目標(biāo)函數(shù)為一次分式 可等價(jià)直線的斜率 1 1 應(yīng)用不等式的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn) 1 兩個(gè)不等式相加的前提是兩個(gè)不等式同向 兩個(gè)不等式相乘的前提是兩個(gè)不等式同向 且不等式兩邊均大于0 不等式原則上不能相減或相除 2 不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù) 但要注意區(qū)分不等式各性質(zhì)的是否可逆性 2 多次使用基本不等式的注意事項(xiàng)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí) 一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立 并且要注意取等號(hào)的條件的一致性 否則就會(huì)出錯(cuò) 因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí) 列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟 也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法 3 均值不等式除了在客觀題考查外 在解答題的關(guān)鍵步驟中也往往起到 巧解 的作用 但往往需先變換形式才能應(yīng)用 4 解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要作出可行域 再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義 數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn) 或邊界上的點(diǎn) 但要注意作圖一定要準(zhǔn)確 整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決 5 解答不等式與導(dǎo)數(shù) 數(shù)列的綜合問(wèn)題時(shí) 不等式作為一種工具常起到關(guān)鍵的作用 往往涉及到不等式的證明方法 如比較法 分析法 綜合法 放縮法 換元法等 在求解過(guò)程中 要以數(shù)學(xué)思想方法為思維依據(jù) 并結(jié)合導(dǎo)數(shù) 數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解題 在復(fù)習(xí)中通過(guò)解此類問(wèn)題 體會(huì)每道題中所蘊(yùn)含的思想方法及規(guī)律 逐步提高自己的邏輯推理能力