二 平行線分線段成比例定理 一、基礎(chǔ)達標 1.如圖所示，△ACE的中點B，D分別在AC，AE上，下列推理不正確的是(　　) A.BD∥CE?＝ B.BD∥CE?＝ C.BD∥CE?＝ D.BD∥CE?＝ 解析　由平行線等分線段定理的推論，易知A，B，C都正確，D錯. 答案　D 2.如圖所示，AD是△ABC的中線，點E是CA邊的三等分點，BE交AD于點F，則AF∶FD為(　　) A.2∶1 B.3∶1 C.4∶1 D.5∶1 解析　過D作DG∥AC交BE于G， 則DG＝EC，又∵AE＝2EC， ∴AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1. 答案　C 3.如圖所示，在梯形ABCD中，BC∥AD，E是DC延長線上一點，AE交BD于點G，交BC于點F，下列結(jié)論：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正確的個數(shù)是(　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析　∵BC∥AD，∴①＝對， ②＝對， ④∵＝，∴＝， 故④也對.③錯. 答案　C 4.如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，則AB的長為________. 解析　∵DE∥BC，EF∥CD，BC＝3，DE＝2，∴＝＝＝，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，又＝，∴AB＝. 答案　 5.如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝2，EC＝1，BC＝4，則BF＝________. 解析　∵DF∥AC，∴＝＝. ∴BF＝4＝. 答案　 6.如圖所示，在?ABCD中，H，E分別是AD，AB延長線上一點，HE交DC于K，交AC于G，交BC于F. 求證：GHGK＝GEGF. 證明　要證GHGK＝GEGF，即證＝. 由AD∥BC得＝， 由AB∥CD得＝， ∴＝，即GHGK＝GEGF. 7.如圖所示，已知有?ABCD，點N是AB延長線上一點，DN交BC于點M，則－為(　　) A. B.1 C. D. 解析　由CD∥BN得＝，又四邊形ABCD為平行四邊形，故AB＝CD，∴＝，∴－＝－＝＝＝1. 答案　B 二、能力提升 8.如圖所示，AB∥GH∥CD，AB＝2，CD＝3，則GH的長是________. 解析　∵AB∥GH，∴＝，∵GH∥CD，∴＝，∴＋＝＋＝1，∴GH＝. 答案　 9.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為________. 解析　∵EF∥AB，且EF＝3＝(AB＋CD)， ∴EF是梯形中位線，設(shè)梯形ABFE的高為h， ∴S梯形ABFE＝(4＋3)h＝h，S梯形EFCD＝(2＋3)h＝h， ∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝h∶h＝. 答案　 10.已知AD∥EF∥BC，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AE∶BE＝2∶3，AD＝10 cm，BC＝15 cm，求EF的長. 解　如圖，連接BD交EF于點G. ∵＝， ∴＝，＝. ∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝. ∵BC＝15 cm，∴GF＝6 cm. 同理可得EG＝6 cm.∴EF＝EG＋GF＝12 cm. 11.如圖所示，BD∶DC＝5∶3，E為AD的中點，求BE∶EF的值. 解　過D作DG∥CA交BF于G，則＝＝. ∵E為AD的中點，DG∥AF， ∴△DGE≌△AFE，EG＝EF. ∴＝＝＝2＝. 故＝＝＋1＝＋1＝. 三、探究與創(chuàng)新 12.在△ABC中，點D在BC邊上，過點C任作一直線與邊AB及AD分別交于點F，E. (1)如圖(1)所示，DG∥CF交AB于點G，當D是BC邊的中點時，求證：＝； (2)如圖(2)所示，當＝時，求證：＝； (3)如圖(3)所示，當＝時，猜想：與之間是否存在著一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出它們之間的關(guān)系式，并給出證明過程；若不存在，請說明理由. (1)證明　∵DG∥CF，BD＝DC， ∴BG＝FG＝BF.∵EF∥DG，∴＝. ∴＝＝. (2)證明　過點D作DG∥CF交AB于點G，如題圖(2)所示， ∴＝.又＝，∴DC＝2BD＝BC. ∵DG∥FC，∴＝＝. ∴FG＝BF.∴＝＝. (3)解　當＝時，有關(guān)系式：＝. 證明如下：如題圖(3)所示，過點D作DG∥CF交AB于點G，∴＝.又∵＝，∴＝， ∵DG∥FC，∴＝＝， ∴FG＝BF，∴＝＝.