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第3節(jié)　平拋運動 學習目標 核心提煉 1.知道平拋運動的定義、軌跡和研究方法。 2.理解平拋運動的規(guī)律，掌握相關(guān)運動學公式。 3.靈活運用運動合成與分解的思想解決平拋或類平拋運動問題。 1個概念——平拋運動 1個規(guī)律——平拋運動規(guī)律 1種方法——平拋運動的合成與分解 一、平拋運動 閱讀教材第55～56頁“什么是平拋運動”部分，知道平拋運動的概念及平拋運動的軌跡是什么特性的曲線。 1.定義 把物體以一定的初速度沿水平方向拋出，不考慮空氣阻力，物體只在重力作用下所做的運動。 2.運動軌跡 平拋運動是勻變速曲線運動，軌跡是拋物線。 3.實驗探究 ? ? 思維拓展 如圖1所示，一小球離開水平桌面后，在空中飛行。 圖1 (1)小球離開水平桌面時其速度有何特點？ (2)小球在空中運動時受幾個力？其運動的加速度改變嗎？ (3)結(jié)合曲線運動的條件，說明小球的運動軌跡為什么是曲線？ 答案　(1)由于慣性，小球離開桌面時速度方向沿水平方向。 (2)受重力和空氣阻力，由于空氣阻力較小，可忽略不計，由于重力恒定不變，故其運動的加速度保持不變。 (3)由于小球在空中運動時初速度方向是水平的，重力方向是豎直的，運動方向與受力方向不共線，故軌跡是曲線。 二、平拋運動的規(guī)律 閱讀教材第56～57頁“平拋運動的規(guī)律”部分，平拋運動的分速度與合速度、分位移與合位移的關(guān)系。 1.速度 (1)水平方向：vx＝v0，即沿水平方向的勻速直線運動。 (2)豎直方向：vy＝gt，即豎直方向上的自由落體運動。 2.位移 (1)水平方向：x＝v0t。 (2)豎直方向：y＝gt2。 思考判斷 (1)平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向也可能時刻變化。(　　) (2)做平拋運動的物體質(zhì)量越大，水平位移越大。(　　) (3)做平拋運動的物體初速度越大，落地時豎直方向的速度越大。(　　) (4)從同一高度水平拋出的物體，不計空氣阻力，初速度大的落地速度大。(　　) 答案　(1)　(2)　(3)　(4)√ 　平拋運動的理解 [要點歸納] 1.物體做平拋運動的條件 物體的初速度v0方向水平且不等于零，只受重力作用，兩個條件缺一不可。 2.平拋運動的性質(zhì) 加速度為g的勻變速曲線運動。 3.平拋運動的三個特點 (1)理想化特點：物理上提出的平拋運動是一種理想化的模型，即把物體看成質(zhì)點，拋出后只考慮重力作用，忽略空氣阻力。 (2)勻變速特點：平拋運動的加速度恒定，始終等于重力加速度，且重力與速度不共線。 (3)速度變化特點：任意兩個相等的時間間隔內(nèi)速度的變化相同，Δv＝gΔt，方向豎直向下，如圖所示。 4.平拋運動的軌跡 由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，為拋物線方程，其運動軌跡為拋物線。 [精典示例] [例1] 關(guān)于平拋運動，下列說法正確的是(　　) A.因為平拋運動的軌跡是曲線，所以不可能是勻變速運動 B.平拋運動速度的大小與方向不斷變化，因而相等時間內(nèi)速度的變化量也是變化的，加速度也不斷變化 C.平拋運動可以分解為水平方向上的勻速直線運動與豎直方向上的豎直下拋運動 D.平拋運動是加速度恒為g的勻變速曲線運動 解析　做平拋運動的物體只受重力，其加速度恒為g，故為勻變速曲線運動，A錯誤，D正確；相等時間內(nèi)速度的變化量Δv＝gΔt是相同的，故B錯誤；平拋運動可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動，C錯誤。 答案　D [針對訓練1] 如圖2所示，在光滑的水平面上有一小球A以初速度v0運動，同時刻在它的正上方有一小球B以初速度v0水平拋出，并落于C點，忽略空氣阻力，則(　　) 圖2 A.小球A先到達C點 B.小球B先到達C點 C.兩球同時到達C點 D.無法確定 解析　B球做平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，可知相同時間內(nèi)水平位移和A球水平位移相等。 答案　C 　平拋運動的研究方法及規(guī)律 [要點歸納] 1.平拋運動的研究方法：研究曲線運動通常采用“化曲為直”的方法，即將平拋運動分解為豎直方向上的自由落體運動和水平方向上的勻速直線運動。 2.平拋運動的規(guī)律 速度 位移 水平分運動 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t 豎直分運動 豎直速度vy＝gt 豎直位移y＝gt2 合運動 大?。簐＝ 方向：與水平方向夾角 為θ，tan θ＝＝ 大小：s＝ 方向：與水平方向夾角為α， tan α＝＝ 圖示 3.平拋運動的幾個決定因素 (1)運動時間：由y＝gt2得t＝，可知做平拋運動的物體在空中運動的時間只與下落的高度有關(guān)，與初速度的大小無關(guān)。 (2)水平位移大小 由x＝v0t＝v0知，做平拋運動的物體的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同決定。 (3)落地時的速度大小 v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同決定。 4.平拋運動的兩個推論 (1)平拋運動某一時刻速度與水平方向夾角為θ，位移與水平方向夾角為α，則tan θ＝2tan α。 證明：因為tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α。 (2)做平拋運動的物體在任意時刻瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。 證明：如圖3所示，P點速度的反向延長線交OB于A點。 圖3 則OB＝v0t，AB＝＝gt2＝v0t。 可見AB＝OB。 [精典示例] [例2] 物體做平拋運動，在它落地前的1 s內(nèi)它的速度與水平方向夾角由30變成60，g取10 m/s2。求： (1)平拋運動的初速度v0； (2)平拋運動的時間； (3)平拋時的高度。 解析　(1)假定軌跡上A、B兩點是落地前1 s內(nèi)的始、終點，畫好軌跡圖，如圖所示。 對A點：tan 30＝① 對B點：tan 60＝② t′＝t＋1 s③ 由①②③解得t＝0.5 s，v0＝5 m/s。 (2)運動總時間t′＝t＋1 s＝1.5 s。 (3)高度h＝gt′2＝11.25 m。 答案　(1)5 m/s　(2)1.5 s　(3)11.25 m [針對訓練2] (xx全國卷Ⅰ)發(fā)球機從同一高度向正前方依次水平射出兩個速度不同的乒乓球(忽略空氣的影響)。速度較大的球越過球網(wǎng)，速度較小的球沒有越過球網(wǎng)，其原因是(　　) A.速度較小的球下降相同距離所用的時間較多 B.速度較小的球在下降相同距離時在豎直方向上的速度較大 C.速度較大的球通過同一水平距離所用的時間較少 D.速度較大的球在相同時間間隔內(nèi)下降的距離較大 解析　由題意知，兩個乒乓球均做平拋運動，則根據(jù)h＝gt2及v＝2gh可知，乒乓球的運動時間、下降的高度及豎直方向速度的大小均與水平速度大小無關(guān)，故選項A、B、D均錯誤；由發(fā)出點到球網(wǎng)的水平位移相同時，速度較大的球運動時間短，在豎直方向下落的距離較小，可以越過球網(wǎng)，故選項C正確。 答案　C 　與斜面結(jié)合的平拋運動問題 [要點歸納] 在解答平拋運動與斜面的結(jié)合問題時除要運用平拋運動的位移和速度規(guī)律，還要充分運用斜面傾角，找出位移或速度與斜面傾角的關(guān)系，從而使問題得到順利解決。常見的模型如下： 方法 內(nèi)容 斜面 總結(jié) 分解速度 水平：vx＝v0 豎直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，構(gòu)建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 豎直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，構(gòu)建位移三角形 [精典示例] [例3] (xx運城高一檢測)如圖4所示，小球以15 m/s的水平初速度向一傾角為37的斜面拋出，飛行一段時間后，恰好垂直撞在斜面上。(g取10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，tan 37＝)求： 圖4 (1)小球在空中的飛行時間； (2)拋出點距落球點的豎直高度。 思路探究 (1)“垂直撞在斜面上”表明小球撞斜面時速度方向與斜面垂直。 (2)若小球的末速度的方向(與水平方向夾角為θ)或位移的方向(與水平方向夾角為α)已知，可應用tan θ＝或tan α＝列式求解。 解析　(1)將小球垂直撞在斜面上的速度分解，如圖所示。 由圖可知θ＝37，φ＝90－37＝53。 tan φ＝，則t＝tan φ＝ s＝2 s (2)h＝gt2＝1022 m＝20 m。 答案　(1)2 s　(2)20 m [針對訓練3] (多選)在傾角為37的斜面上，從A點以6 m/s 的速度水平拋出一小球，小球落在B點，如圖5所示，則以下說法正確的是(g取10 m/s2sin 37＝0.6，cos 37＝0.8)(　　) 圖5 A.小球在空中飛行時間為0.85 s B.A、B兩點距離為6.75 m C.小球在B點時的速度方向與水平方向夾角的正切值為1.5 D.到達B點時的速度為12 m/s 解析　如圖所示，vx＝v0，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2，tan 37＝＝，所以t＝＝0.9 s，所以A錯誤；A、B兩點的距離s＝＝6.75 m，所以B正確；小球在B點，tan α＝＝＝1.5，所以C正確；到達B點時的速度v＝＝ m/s＜12 m/s，所以D錯誤。 答案　BC 1. (平拋運動的理解)如圖6所示，某同學讓帶有水的傘繞傘柄旋轉(zhuǎn)，可以看到傘面上的水滴沿傘邊水平飛出。若不考慮空氣阻力，水滴飛出后在空中的運動是(　　) 圖6 A.勻速直線運動 B.平拋運動 C.自由落體運動 D.圓周運動 解析　若不考慮空氣阻力，由于慣性水滴在水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上只受重力做自由落體運動，因此水滴飛出后在空中做平拋運動。B正確。 答案　B 2.(平拋運動規(guī)律的應用) (xx吉林高一檢測)如圖7所示，在水平路面上一運動員駕駛摩托車跨越壕溝，壕溝兩側(cè)的高度差為0.8 m。g取10 m/s2，則運動員跨過壕溝所用時間為(　　) 圖7 A.3.2 s B.1.6 s C.0.8 s D.0.4 s 解析　平拋運動在豎直方向上做自由落體運動，運動時間由高度決定，由h＝gt2得g＝＝ s＝0.4 s。 答案　D 3. (平拋運動規(guī)律的應用)(xx江蘇高考)如圖8所示，A、B兩小球從相同高度同時水平拋出，經(jīng)過時間t在空中相遇。若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則兩球從拋出到相遇經(jīng)過的時間為(　　) 圖8 A.t B.t C. D. 解析　設(shè)A、B兩小球的拋出點間的水平距離為L，分別以水平速度v1、v2拋出，經(jīng)過時間t的水平位移分別為x1、x2，根據(jù)平拋運動規(guī)律有x1＝v1t，x2＝v2t，又x1＋x2＝L，則t＝ ；若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則兩球從拋出到相遇經(jīng)過的時間為t′＝＝，故選項C正確。 答案　C 4.(平拋運動與斜面相結(jié)合問題)如圖9所示，若質(zhì)點以初速度v0正對傾角為θ＝37的斜面水平拋出，要求質(zhì)點到達斜面時位移最小，則質(zhì)點的飛行時間為(　　) 圖9 A. 　　　　 B. C. 　　　　 D. 解析　要使質(zhì)點到達斜面時位移最小，則質(zhì)點的位移應垂直斜面，如圖所示，有x＝v0t，y＝gt2，且tan θ＝＝＝，所以t＝＝＝，選項C正確。 答案　C 5.(平拋運動與斜面相結(jié)合問題) (xx?？诟咭粰z測)如圖10所示，一名滑雪運動員經(jīng)過一段加速滑行后從O點水平飛出，經(jīng)過3.0 s落到斜坡上的A點。已知O點是斜坡的起點，斜坡與水平面的夾角θ＝37，不計空氣阻力。(sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g取10 m/s2)求： 圖10 (1)O點與A點的距離L； (2)運動員落到A點時的速度大小。 解析　(1)由O點到A點，運動員做平拋運動， 豎直位移大小為h＝gt2＝1032m＝45 m O點與A點的距離L＝＝ m＝75 m (2)水平位移x＝Lcos 37＝750.8 m＝60 m 由x＝v0t 得v0＝＝ m/s＝20 m/s 到A點時豎直方向的速度vy＝gt＝30 m/s 故運動員落到A點時的速度 vA＝＝10 m/s 答案　(1)75 m　(2)10 m/s 基礎(chǔ)過關(guān) 1. (多選)某人向放在水平地面的正前方小桶中水平拋球，結(jié)果球劃著一條弧線飛到小桶的右側(cè)(如圖1所示)。不計空氣阻力，為了能把小球拋進小桶中，則下次再水平拋球時，他可能做出的調(diào)整為(　　) 圖1 A.減小初速度，拋出點高度不變 B.增大初速度，拋出點高度不變 C.初速度大小不變，降低拋出點高度 D.初速度大小不變，提高拋出點高度 解析　設(shè)小球被拋出時的高度為h，則h＝gt2，小球從拋出到落地的水平位移x＝v0t，兩式聯(lián)立得x＝v0，根據(jù)題意，再次拋小球時，要使小球運動的水平位移x減小，可以采用減小初速度v0或降低拋出點高度h的方法，故A、C正確。 答案　AC 2.物體做平拋運動，它的速度方向與水平方向的夾角θ的正切值tan θ隨時間t變化的圖象是下圖中的(　　) 解析　由平拋運動的規(guī)律可得tan θ＝＝t，因為為定值，則tan θ與t成正比。 答案　B 3. “套圈圈”是老少皆宜的游戲，如圖2所示，大人和小孩在同一豎直線上的不同高度處分別以水平速度v1、v2拋出鐵絲圈，都能套中地面上的同一目標。設(shè)大人和小孩的拋出點離地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，則v1∶v2等于(　　) 圖2 A.2∶1 B.1∶2 C.∶1 D.1∶ 解析　由平拋規(guī)律得，h＝gt2，x＝v0t，則v0＝x，＝＝，D正確。 答案　D 4.(xx濟南高一檢測) (多選)從同一點沿水平方向拋出的A、B兩個小球能落在同一個斜面上，運動軌跡如圖3所示，不計空氣阻力，則小球初速度vA、vB的關(guān)系和運動時間tA、tB的關(guān)系分別是(　　) 圖3 A.vA>vB B.vAtB D.tAvB，A正確，B錯誤。 答案　AD 5.(xx福州高一檢測)(多選)在一次體育活動中，兩位同學一前一后在同一水平直線上的兩個位置沿水平方向分別拋出兩個小球A和B，兩個小球的運動軌跡如圖4所示，不計空氣阻力。要使兩小球在空中發(fā)生碰撞，則必須(　　) 圖4 A.先拋出A球再拋出B球 B.同時拋出兩球 C.A球拋出速度大于B球拋出速度 D.使兩球質(zhì)量相等 解析　兩小球均做平拋運動，根據(jù)運動的合成與分解知，小球在豎直方向做自由落體運動，兩小球在空中發(fā)生碰撞時，兩小球在空中下落的高度一定相等，由h＝gt2得，兩小球在空中運動的時間相等，即必須同時拋出兩球，與兩球質(zhì)量無關(guān)，A、D錯誤，B正確；小球在水平方向做勻速直線運動，A球的水平位移要大于B球的水平位移兩球才能發(fā)生碰撞，由x＝v0t得，A球拋出速度要大于B球拋出速度，C正確。 答案　BC 6.(xx廣州高一檢測)在125 m的低空有一小型飛機以40 m/s的速度水平飛行，假定從飛機上釋放一物體，g取10 m/s2，求： (1)物體落地時間； (2)物體下落過程發(fā)生的水平位移大?。? (3)從釋放開始到第3 s末物體速度的大小。 解析　(1)由h＝gt2，得t＝， 代入數(shù)據(jù)得t＝5 s (2)水平位移x＝v0t，代入數(shù)據(jù)得 x＝405 m＝200 m (3)v0＝40 m/s，vy＝gt＝103 m/s＝30 m/s 3 s末速度大小為v＝ 代入數(shù)據(jù)得v＝50 m/s 答案　(1)5 s　(2)200 m　(3)50 m/s 能力提升 7.在平坦的壘球運動場上，擊球手揮動球棒將壘球水平擊出，壘球飛行一段時間后落地.若不計空氣阻力，則(　　) A.壘球落地時瞬時速度的大小僅由初速度決定 B.壘球落地時瞬時速度的方向僅由擊球點離地面的高度決定 C.壘球在空中運動的水平位移僅由初速度決定 D.壘球在空中運動的時間僅由擊球點離地面的高度決定 解析　壘球擊出后做平拋運動，在空中運動時間為t，由h＝gt2得t＝，故t僅由高度h決定，選項D正確；水平位移x＝v0t＝v0，故水平位移x由初速度v0和高度h共同決定，選項C錯誤；落地速度v＝＝，故落地速度v由初速度v0和高度h共同決定，選項A錯誤；設(shè)v與水平方向的夾角為θ，則tan θ＝，故瞬時速度的方向與初速度v0和高度h共同決定，選項B錯誤。 答案　D 8.(xx成都高一檢測)如圖5所示，傾角為θ的斜面上A點，以水平速度v0拋出一個小球，不計空氣阻力，它落到斜面上B點所用的時間為(　　) 圖5 A.　　　　　　 B. C. D. 解析　設(shè)A、B之間的距離為L，則水平方向：Lcos θ＝v0t，豎直方向：Lsin θ＝gt2，聯(lián)立解得t＝，故選B。 答案　B 9.(xx南京師大附中高一檢測)以初速度v0水平拋出一物體，當其豎直分位移為水平分位移的2倍時，物體的(　　) A.豎直分速度為水平分速度的2倍 B.瞬時速度的大小為v0 C.運動時間為 D.末速度與初速度的夾角為60 解析　豎直分位移為水平分位移的2倍時，有：gt2＝2v0t，解得t＝，故C正確；豎直分速度的大小vy＝gt＝4v0，是水平分速度的4倍，故A錯誤；根據(jù)平行四邊形定則得，瞬時大小為速度v＝＝v0, B錯誤；設(shè)末速度與初速度方向的夾角為θ，有tan θ＝＝4，可知θ≠60，故D錯誤。 答案　C 10.如圖6，窗子上、下沿間的高度H＝1.6 m，墻的厚度d＝0.4 m，某人在離墻壁距離L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m 處的P點，將可視為質(zhì)點的小物件以v的速度水平拋出，小物件直接穿過窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2。則v的取值范圍是(　　) 圖6 A.v＞7 m/s B.v＜2.3 m/s C.3 m/s＜v＜7 m/s D.2.3 m/s＜v＜3 m/s 解析　小物件做平拋運動，可根據(jù)平拋運動規(guī)律解題。若小物件恰好經(jīng)過窗子上沿，則有h＝gt，L＝v1t1，得v1＝7 m/s；若小物件恰好經(jīng)過窗子下沿，則有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，得v2＝3 m/s，所以3 m/s＜v＜7 m/s，故只有C項正確。 答案　C 11.(xx珠海高一檢測)如圖7所示為一小球做平拋運動的閃光照相照片的一部分，圖中背景方格的邊長均為5 cm，如果g取10 m/s2，那么： 圖7 (1)照相機的閃光頻率是________Hz； (2)小球運動中水平分速度的大小是________m/s； (3)小球經(jīng)過B點時的速度大小是________m/s。 解析　(1)因為xAB＝xBC，所以tAB＝tBC。在豎直方向上，由Δy＝gT2得50.05－30.05＝10T2，解得T＝0.1 s，故閃光頻率為10 Hz。 (2)水平分速度大小v＝＝ m/s＝1.5 m/s。 (3)vBy＝＝ m/s＝2.0 m/s 又知vBx＝1.5 m/s 所以vB＝＝ m/s＝2.5 m/s。 答案　(1)10　(2)1.5　(3)2.5 12.(xx威海高一檢測)一艘敵艦正以v1＝12 m/s的速度逃跑，執(zhí)行追擊任務的飛機，在距水面高度h＝320 m的水平線上以速度v2＝105 m/s同向飛行。為擊中敵艦，應“提前”投彈，空氣阻力可以不計，重力加速度g取10 m/s2，試求： (1)飛機投彈時，飛機與敵艦之間的水平距離； (2)若投彈后飛機仍以原速度飛行，在炸彈擊中敵艦時，飛機與敵艦的位置有何關(guān)系？ 解析　(1)投下的炸彈在豎直方向上做自由落體運動，在水平方向上以飛機的速度v2做勻速運動。炸彈在空中飛行的時間為t＝＝s＝8 s，在8 s時間內(nèi)，炸彈沿水平方向飛行的距離s2＝v2t，敵艦在同一方向上運動的距離為s1＝v1t，由圖可以看出，飛機投彈時飛機與敵艦之間的水平距離x應滿足關(guān)系式v2t＝x＋v1t。 代入已知數(shù)據(jù)，由以上各式可解得x＝744 m。 (2)在t＝8 s的時間內(nèi)，炸彈與飛機沿水平方向的運動情況相同，都以速度v2做勻速運動，水平方向上運動的距離都是s2＝v2t。所以在炸彈擊中敵艦時，飛機恰好從敵艦的正上方飛過。 答案　(1)744 m　(2)飛機恰好從敵艦的正上方飛過 13.如圖8所示，一小球自平臺上水平拋出，恰好落在臨近平臺的一傾角為α＝53的光滑斜面頂端，并剛好沿光滑斜面下滑，已知斜面頂端與平臺的高度差h＝0.8 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 53＝0.8，cos 53＝0.6，求： 圖8 (1)小球水平拋出的初速度v0是多少？ (2)斜面頂端與平臺邊緣的水平距離s是多少？ (3)若斜面頂端高H＝19.2 m，且小球離開平臺后剛好落在斜面底端，那么小球離開平臺時的速度有多大？ 解析　(1)由題意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，說明此時小球速度方向與斜面平行，否則小球會彈起，如圖所示。 所以vy＝v0tan 53，v＝2gh 代入數(shù)據(jù)，得vy＝4 m/s，v0＝3 m/s (2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s，s＝v0t1＝30.4 m＝1.2 m (3)設(shè)小球離開平臺后落在斜面底端的時間是t2，落點到平臺的水平距離為x。 則x＝s＋＝15.6 m，H＋h＝gt，x＝v0′t2 代入數(shù)據(jù)求得v0′＝7.8 m/s 答案　(1)3 m/s　(2)1.2 m　(3)7.8 m/s