2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題30 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算檢測(cè) 理.doc
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專題30 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算本專題特別注意:1.復(fù)數(shù)四則運(yùn)算2. 復(fù)數(shù)加減的幾何意義3. 復(fù)數(shù)與數(shù)列的綜合4.復(fù)數(shù)與二項(xiàng)式定理的綜合問題 5. 復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件,并會(huì)應(yīng)用2了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的表示方法,能進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算3了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義,會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用【方法總結(jié)】1.設(shè)zabi(a,bR),利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是求解復(fù)數(shù)常用的方法.2.實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身,兩個(gè)純虛數(shù)的積是實(shí)數(shù).3.復(fù)數(shù)問題幾何化,利用復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義,轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論,有效利用數(shù)和形的結(jié)合,取得事半功倍的效果.【高考模擬】一、單選題1已知,其中是虛數(shù)單位,是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)( )A B C D 【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)原式,利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),求得復(fù)數(shù),從而可得結(jié)果.【詳解】,故選C.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí),主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算,通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn),防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò),造成不必要的失分.2已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為( )A B C D 【答案】D【解析】【分析】將復(fù)數(shù)的分子分母同乘以1+i,利用多項(xiàng)式的乘法分子展開,求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)3(2017太原市一模)已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是( )A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算后取所得結(jié)果的共軛即可.【詳解】,故所求共軛復(fù)數(shù)為,故選A.【點(diǎn)睛】本題考察復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.4已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則下列命題為真命題的是( )A 的共軛復(fù)數(shù)為 B 的虛部為-1C 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 D 【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再判斷每一個(gè)選項(xiàng)的真假.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算,考查復(fù)數(shù)的幾何意義、實(shí)部虛部和模的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的實(shí)部是a,虛部為b,不是bi.5歐拉公式 (為虛數(shù)本位)是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的,將指數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集,建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,表示的復(fù)數(shù)的模為( )A B C 1 D 【答案】C【解析】【分析】直接由題意可得=cos+isin,再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得答案【詳解】由題意,=cos+isin,表示的復(fù)數(shù)的模為故選:C【點(diǎn)睛】本題以歐拉公式為背景,考查利用新定義解決問題的能力,考查了復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題6若在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為,則復(fù)數(shù)的虛部為( )A 12 B 5 C D 【答案】D【解析】【分析】先求復(fù)數(shù)z,再求復(fù)數(shù),再求它的虛部.【詳解】【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的虛部概念,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的實(shí)部是a,虛部為b,不是bi.7讀了高中才知道,數(shù)絕對(duì)不止1,2,3啊,比如還有這種奇葩數(shù),他的平方居然是負(fù)數(shù)!那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法法則運(yùn)算得到結(jié)果【詳解】由題意得,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限,故選【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義,根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行運(yùn)算化成的形式即可得到答案8已知是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù),則下面說法正確的是( )A 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第四象限 B C 的虛部為1 D 【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得復(fù)數(shù)=2i2,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、虛部的定義、模的運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義、虛部的定義、模的運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題9設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則( )A 3 B C 9 D 10【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、模的計(jì)算公式即可得出【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、模的計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題10復(fù)數(shù)等于( )A B C D 【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)分式,分子、分母分別平方,再按照復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題11設(shè)為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),則( )A B C D 【答案】A【解析】【分析】先求出,從而求出的值即可.【詳解】,共軛復(fù)數(shù),則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及共軛復(fù)數(shù),是一道基礎(chǔ)題.12為虛數(shù)單位,則( )A B C D 【答案】C【解析】分析:由復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì),可得,其中為自然數(shù),則,即可求解答案. 點(diǎn)睛:本題主要考查了虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,其中熟記虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),利用乘公比錯(cuò)誤相減法求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,以及推理與運(yùn)算能力.13歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的,他將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于( )A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】B【解析】分析:由歐拉公式,可得,結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào),即可得出結(jié)論.詳解:由歐拉公式,可得,因?yàn)?,所以表示的?fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限的問題,在解題的過程中,首先應(yīng)用歐拉公式將復(fù)數(shù)表示出來,之后借助于三角函數(shù)值的符號(hào)求得結(jié)果.14下列3個(gè)命題:若,則;若是純虛數(shù),則;若,且,則.其中真命題的個(gè)數(shù)是( )A 0 B 1 C 2 D 3【答案】B【解析】分析:通過舉反例可判斷錯(cuò)誤,由復(fù)數(shù)的乘法法則判斷正確,由復(fù)數(shù)的概念可判斷錯(cuò)誤.點(diǎn)睛:本題以命題的真假判斷為載體考查了復(fù)數(shù)的基本概念和性質(zhì),特殊值排除法??捎糜诖祟悊栴}的求解.15對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)對(duì)和,定義運(yùn)算,若,則復(fù)數(shù)為 ( )A B C D 【答案】D【解析】分析:利用定義,列出方程表示出,分子、分母同時(shí)乘以得到的值詳解:因?yàn)?,又所?所以 故選:D點(diǎn)睛:本題是新定義的問題,解題的關(guān)鍵是理解新定義,將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決16已知復(fù)數(shù)滿足,則等于( )A B C D 【答案】C【解析】分析:由題可知,表示平行四邊形的相鄰兩邊,表示平行四邊形的一條對(duì)角線,求另一條一條對(duì)角線的長(zhǎng).點(diǎn)睛:本題考查復(fù)數(shù)加減法的幾何意義,余弦定理等,屬中檔題.17定義運(yùn)算,若復(fù)數(shù)滿足,則( )A B C D 【答案】D【解析】分析:先根據(jù)定義運(yùn)算化簡(jiǎn)求出復(fù)數(shù)z,再求詳解:由題得iz+z=-2,所以(1+i)z=-2,所以,所以,故答案為:D.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)18歐拉公式(為虛數(shù)單位),是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的,他將指數(shù)函數(shù)定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式,若將表示的復(fù)數(shù)記為,則的值為( )A B C D 【答案】A【解析】分析:由歐拉公式可求得,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得結(jié)論.詳解:,故選A.點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí),主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算,通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn),防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò),造成不必要的失分.19對(duì)于復(fù)數(shù),給出下列三個(gè)運(yùn)算式子:(1),(2),(3).其中正確的個(gè)數(shù)是( )A B C D 【答案】D【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得(1)正確;根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可得到(2)正確;根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則可判斷(3)正確,從而可得結(jié)果.點(diǎn)睛:本題主要考查復(fù)數(shù)模的公式、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則,意在考查基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度,以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力,屬于難題.20為虛數(shù)單位,則( )A B C D 【答案】C【解析】分析:由復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算得到,即,即可求解答案.詳解:由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知,則,所以,故選C. 點(diǎn)睛:本題主要考查了虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,其中熟記虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),得到式子的計(jì)算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,以及推理與運(yùn)算能力. 21(1)設(shè)集合,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)設(shè),是兩個(gè)復(fù)數(shù),已知,且是純虛數(shù),求.【答案】(1) .(2)或.【解析】【分析】(1)移項(xiàng)通分,直接利用分式不等式的解法化簡(jiǎn)集合,然后對(duì)分三種情況討論,分別利用包含關(guān)系列不等式求解即可;(2)設(shè),由,可得,由是純虛數(shù),可得,聯(lián)立求解即可的結(jié)果.【詳解】(2)解:設(shè),+b2=22,即,又,且是純虛數(shù),由得,.或.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的子集,以及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與基本概念,屬于中檔題. 復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí),主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算,通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn),防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò),造成不必要的失分.22已知【答案】【解析】【分析】把z1、z2代入關(guān)系式,化簡(jiǎn)即可【詳解】【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的運(yùn)算,難點(diǎn)是乘除法法則,設(shè),則,.23已知復(fù)數(shù)其中i為虛數(shù)單位當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù);若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】分析:,利用純虛數(shù)的定義,由,解出即可得出利用復(fù)數(shù)的幾何意義,由題意得,解出即可得出點(diǎn)睛:本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)、不等式的解法、幾何意義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題24已知復(fù)數(shù)滿足: 求的值【答案】 【解析】分析:利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)相等即可得出.詳解:設(shè),而即 則 點(diǎn)睛:本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問題高考必考,常見考點(diǎn)有:點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.25已知,為實(shí)數(shù).(1)若,求;(2)若,求實(shí)數(shù),的值.【答案】(1);(2)-3,2【解析】分析:(1)利用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義化簡(jiǎn),利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可;(2)利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則將,化為,由復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)可得,從而可得結(jié)果. 點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí),主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算,通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn),防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò),造成不必要的失分26已知復(fù)數(shù).實(shí)數(shù)取什么值時(shí),是(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?【答案】(1) 當(dāng)時(shí),為實(shí)數(shù).(2) 當(dāng) 時(shí),為虛數(shù).(3) 不存在實(shí)數(shù)使得為純虛數(shù).【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念建立等量關(guān)系關(guān)系即可詳解:(1)若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)則,即,即a=6點(diǎn)睛:本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,根據(jù)實(shí)部和虛部的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵27設(shè)為虛數(shù)單位,為正整數(shù),(1)證明:;(2),利用(1)的結(jié)論計(jì)算?!敬鸢浮?1)證明見解析.(2) .【解析】分析:(1)利用數(shù)學(xué)歸納法先證明,先證明當(dāng)時(shí)成立,假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,只需證明當(dāng)時(shí),命題也成立,證明過程注意三角函數(shù)和差公式的應(yīng)用;(2)由(1)結(jié)論得 ,結(jié)合誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)可得結(jié)果.詳解:(1)1當(dāng)時(shí),左邊,右邊,所以命題成立2假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即,則當(dāng)時(shí), 所以,當(dāng)時(shí),命題也成立綜上所述,(為正整數(shù))成立(2) 由(1)結(jié)論得 點(diǎn)睛:本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)、歸納推理的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)歸納法證明,屬于中檔題.利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的步驟是:(1)驗(yàn)證時(shí)結(jié)論成立;(2)假設(shè)時(shí)結(jié)論正確,證明時(shí)結(jié)論正確(證明過程一定要用假設(shè)結(jié)論);(3)得出結(jié)論.28已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,).(1)若是實(shí)數(shù),求的值;(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,求的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】分析:(1)由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得.據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程組,解得.(2)結(jié)合(1)中的結(jié)果得到關(guān)于m的不等式組,求解不等式組可知.點(diǎn)睛:本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)的方法等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.29如果,求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】分析:由復(fù)數(shù)相等的充分必要條件得到關(guān)于x,y的方程組,求解方程組可得.詳解:由題意得,解得.x點(diǎn)睛:本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充分必要條件及其應(yīng)用等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、填空題30設(shè)是一元二次方程的兩個(gè)虛根,若,則實(shí)數(shù)_.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的兩個(gè)虛根,計(jì)算它們的乘積的??傻玫闹?【詳解】【點(diǎn)睛】對(duì)于實(shí)系數(shù)的一元二次方程,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)虛根且它們是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)滿足.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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