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第五節(jié) 橢圓
課時(shí)作業(yè)
A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練
1．已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．9
解析：由4＝(m>0)?m＝3，故選B.
答案：B
2．方程kx2＋4y2＝4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A．k>4 B．k＝4
C．k<4 D．0
b>0)，由已知可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1，故選A.
答案：A
4．橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率為( )
A. B．
C. D．－2
解析：由題意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.
答案：A
5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率乘積的最小值為( )
A. B．
C．1 D．
解析：如圖，假設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的點(diǎn)，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線(xiàn)的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.設(shè)|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，則在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化簡(jiǎn)得，(2－)a＋(2＋)a＝4c2，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線(xiàn)的離心率為e2，∴＋＝4，又＋≥2 ＝，
∴≤4，即e1e2≥，即橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率乘積的最小值為.故選B.
答案：B
6．若x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
解析：將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得＋＝1，因?yàn)閤2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以>2，解得0b>0)的離心率等于，其焦點(diǎn)分別為A，B.C為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則在△ABC中，的值等于________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
答案：3
9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線(xiàn)l交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，滿(mǎn)足|AF2|＝c.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)M，N是橢圓C短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)(異于橢圓C的頂點(diǎn))，直線(xiàn)MP，NP分別和x軸相交于R，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若||||＝4，求橢圓C的方程．
解析：(1)∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為c，
代入橢圓，得＋＝1.
解得|y|＝＝|AF2|，即＝c，
∴a2－c2＝ac.
∴e2＋e－1＝0，解得e＝.
(2)設(shè)M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)，
則直線(xiàn)MP的方程為y＝x＋b.
令y＝0，得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為.
直線(xiàn)NP的方程為y＝x－b.
令y＝0，得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為.
∴||||＝＝＝a2＝4，∴c2＝3，b2＝1，
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
10．(2018沈陽(yáng)模擬)橢圓C：＋＝1(a>b>0)，其中e＝，焦距為2，過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線(xiàn)l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在A(yíng)，M之間．又線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且＝λ.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)求實(shí)數(shù)λ的值．
解析：(1)由條件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)由題意可知A，B，M三點(diǎn)共線(xiàn)，
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)．
若直線(xiàn)AB⊥x軸，則x1＝x2＝4，不合題意．
則AB所在直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為k，
則直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－4)．
由
消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.①
由①的判別式Δ＝322k4－4(4k2＋3)(64k2－12)＝144(1－4k2)>0，
解得k2<，且
由＝＝，
可得k2＝，
將k2＝代入方程①，得7x2－8x－8＝0.
則x1＝，x2＝.
又因?yàn)椋?4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，
＝λ，所以λ＝，所以λ＝.
B組——能力提升練
1．(2018合肥市質(zhì)檢)已知橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為k1，橢圓M在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為k2，則的取值范圍為( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
解析：由于橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得＝，則該橢圓離心率的取值范圍為( )
A．(0，－1) B．(，1)
C．(0，) D．(－1,1)
解析：在△MF1F2中，＝，
而＝，
∴＝＝.①
又M是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，
F1，F(xiàn)2是該橢圓的焦點(diǎn)，
∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②
由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.
顯然，|MF2|>|MF1|，
∴a－c<|MF2|0，
∴e2＋2e－1>0，
解得e>－1，又e<1，
∴－1b>0)的離心率e＝，a＋b＝3.
(1)求橢圓C的方程．
(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)DP交x軸于點(diǎn)N，直線(xiàn)AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值．
解析：(1)因?yàn)閑＝＝，
所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線(xiàn)BP的方程為y＝k(x－2)，①
把①代入＋y2＝1，
解得P.
直線(xiàn)AD的方程為y＝x＋1.②
①與②聯(lián)立解得M.
由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線(xiàn)知＝，
得N.
所以MN的斜率為m＝
＝＝，
則2m－k＝－k＝(定值)．
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