2018版高中數(shù)學 第二章 概率 習題課 離散型隨機變量的方差與標準差學案 蘇教版選修2-3.doc
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習題課 離散型隨機變量的方差與標準差 學習目標 1.進一步理解離散型隨機變量的方差的概念.2.熟練應用公式及性質(zhì)求隨機變量的方差.3.體會均值和方差在決策中的應用． 1．方差、標準差的定義及方差的性質(zhì) (1)方差及標準差的定義： 設離散型隨機變量X的概率分布為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①方差V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.(其中μ＝E(X)) ②標準差為________________． (2)方差的性質(zhì)：V(aX＋b)＝________. 2．兩個常見分布的方差 (1)兩點分布：若X～0－1分布，則V(X)＝_________________________________； (2)二項分布：若X～B(n，p)，則V(X)＝________________________________. 類型一 二項分布的方差問題 例1 一出租車司機從某飯店到火車站途中有六個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率是. (1)求這位司機遇到紅燈數(shù)ξ的均值與方差； (2)若遇上紅燈，則需等待30 s，求司機總共等待時間η的均值與方差． 反思與感悟 解決此類問題的第一步是判斷隨機變量服從什么分布，第二步代入相應的公式求解．若它服從兩點分布，則方差為p(1－p)；若它服從二項發(fā)布，則方差為np(1－p)． 跟蹤訓練1 在某地舉辦的射擊比賽中，規(guī)定每位射手射擊10次，每次一發(fā)．記分的規(guī)則為：擊中目標一次得3分；未擊中目標得0分；并且凡參賽的射手一律另加2分．已知射手小李擊中目標的概率為0.8，求小李在比賽中得分的均值與方差． 類型二 均值、方差在決策中的應用 例2 某投資公司在2017年年初準備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇： 項目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率為和； 項目二：通信設備．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和. 針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由． 反思與感悟 離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．因此在實際決策問題中，需先運算均值，看一下誰的平均水平高，然后再計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定，當然不同的模型要求不同，應視情況而定． 跟蹤訓練2 已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.記甲射中的環(huán)數(shù)為ξ，乙射中的環(huán)數(shù)為η. (1)求ξ，η的概率分布； (2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)． 1．設一隨機試驗的結(jié)果只有A和，且P(A)＝m，令隨機變量ξ＝則ξ的方差V(ξ)＝________. 2．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，V(Y)分別是________． 3．已知隨機變量ξ的概率分布為 ξ 0 1 x P p 若E(ξ)＝，則V(ξ)的值為________． 4．有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機變量X，Y，已知E(X)＝E(Y)，V(X)>V(Y)，則自動包裝機________的質(zhì)量較好．(填“甲”或“乙”) 1．已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)y＝aX＋b的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性質(zhì)求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)． 2．若能分析出所給隨機變量服從兩點分布或二項分布，則可直接用它們的均值、方差公式計算． 3．作為統(tǒng)計量，均值和方差本身無優(yōu)劣，用均值和方差進行決策，一定要結(jié)合實際問題，只有理解了實際問題的本質(zhì)，才能作出正確的決策． 答案精析 知識梳理 1．(1)②σ＝ (2)a2V(X) 2．(1)p(1－p) (2)np(1－p) 題型探究 例1 解 (1)易知司機遇上紅燈次數(shù)ξ服從二項分布， 且ξ～B(6，)，故E(ξ)＝6＝2， V(ξ)＝6(1－)＝. (2)由已知η＝30ξ， 故E(η)＝30E(ξ)＝60，V(η)＝900V(ξ) ＝1 200. 跟蹤訓練1 解 用ξ表示小李擊中目標的次數(shù)，η表示他的得分，則由題意知ξ～B(10,0.8)，η＝3ξ＋2. 因為E(ξ)＝100.8＝8，V(ξ)＝100.80.2＝1.6， 所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝38＋2＝26， V(η)＝V(3ξ＋2)＝32V(ξ)＝91.6 ＝14.4. 例2 解 若按項目一投資，設獲利X1萬元， 則X1的概率分布如下表： X1 300 －150 P ∴E(X1)＝300＋(－150) ＝200. V(X1)＝(300－200)2＋(－150－200)2＝35 000， 若按項目二投資，設獲利X2萬元， 則X2的概率分布如下表： X2 500 －300 0 P ∴E(X2)＝500＋(－300)＋0＝200. V(X2)＝(500－200)2＋(－300－200)2＋(0－200)2＝140 000， ∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)＜V(X2)， 這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥． 綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資． 跟蹤訓練2 解 (1)依據(jù)題意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1. ∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2， ∴乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η的概率分布分別為 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)結(jié)合(1)中ξ，η的概率分布，可得 E(ξ)＝100.5＋90.3＋80.1＋70.1＝9.2， E(η)＝100.3＋90.3＋80.2＋70.2＝8.7， V(ξ)＝(10－9.2)20.5＋(9－9.2)20.3＋(8－9.2)20.1＋(7－9.2)20.1＝0.96， V(η)＝(10－8.7)20.3＋(9－8.7)20.3＋(8－8.7)20.2＋(7－8.7)20.2＝1.21. ∵E(ξ)>E(η)，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高． 又∵V(ξ)
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