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考點11 柱體、錐體、臺體的表面積 1．設直棱柱高為h，底面多邊形周長為c，則直棱柱側(cè)面積公式為S直棱柱側(cè)＝ch，即直棱柱側(cè)面積等于它的底面周長和高的乘積． 2．若正棱錐的底面邊長為a，底面周長為c，斜高為h′，則正n棱錐的側(cè)面積公式為S正棱錐側(cè)＝nah′＝ch′，即正棱錐的側(cè)面積等于它的底面的周長和斜高乘積的一半． 3．若圓柱、圓錐、圓臺沿其母線剪開后展開，其側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)，其側(cè)面積公式分別為S圓柱側(cè)＝2πRh，S圓錐側(cè)＝πRl，S圓臺側(cè)＝π(R＋r)l． 【例】若圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為( ) A．π B．2π C．3π D．4π 【規(guī)律總結(jié)】圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關問題的關鍵． 1．各棱長均為2的正三棱錐的表面積是( ) A． B．4 C．4 D．16 【答案】C 【解析】每個面的面積為22＝，∴該正三棱錐的表面積為4． 【解題技巧】用展開圖來計算棱柱、棱錐、棱臺的表面積 幾何體的展開圖 側(cè)面展開圖的構(gòu)成 一組平行四邊形 一組三角形 一組梯形 即棱錐、棱柱、棱臺的表面積=側(cè)面積+底面積 2．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 【答案】C 3．若一個圓臺的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于( ) A．6 B．6π C．3π D．6π 【答案】C 【解析】圓臺的兩底面半徑分別是1,2，高為2，則母線長為＝，則其側(cè)面積等于π(1＋2)＝3π． 【解題技巧】由三視圖求表面積時，關鍵是利用三視圖還原出幾何體．要注意三視圖中的數(shù)據(jù)，還原成直觀圖(或?qū)嵨?后的變化． 4．已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于( ) A． B．1 C． D． 【答案】D 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) A．180 B．200 C．220 D．240 【答案】D 【解析】幾何體為直四棱柱，其高為10，底面是上底為2，下底為8，高為4，腰為5的等腰梯形，故兩個底面面積的和為(2＋8)42＝40，四個側(cè)面面積的和為(2＋8＋52)10＝200，所以直四棱柱的表面積為S＝40＋200＝240． 【易錯易混】本題在求解過程中易錯誤將3作為等腰梯形的腰長，從而誤求結(jié)果為200． 6．四棱錐P－ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖所示，則四棱錐P－ABCD的表面積為________． 【答案】(2＋)a2 7．某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角是45，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑． 【解析】圓臺的軸截面如圖所示． 設圓臺上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，延長AA1交OO1的延長線于點S． 在Rt△SOA中，∠ASO＝45，則∠SAO＝45， ∴SO＝AO＝3x cm，OO1＝2x cm， ∴(2x＋6x)2x＝392，解得x＝7． 又母線長AA1＝OO1， ∴圓臺的高OO1＝14 cm，母線長為14 cm， 底面半徑分別為7 cm和21 cm． 1．一個長、寬、高分別為a、b、c的長方體的體積是8，它的表面積是32，且滿足b2＝ac，那么這個長方體棱長的和是( ) A．28 B．32 C．36 D．40 2．圓柱的底面積為S，側(cè)面展開圖為一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是( ) A．4πS B．2πS C．πS D．πS 【答案】A 【解析】設底面半徑為r，故S＝πr2．由側(cè)面展開圖為正方形，則高h＝2πr，則圓柱的側(cè)面積為2πrh＝4π(πr2)＝4πS，故選A． 3．一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積為( ) A．12π B．18π C．24π D．36π 【答案】C 【解析】由三視圖知該幾何體為圓錐，底面半徑r＝3，母線l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π．故選C． 4．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是________． 【答案】12π． 【解析】此幾何體的上部為球，球的直徑為2，下部為一圓柱，圓柱的高為3，底面圓的直徑為2，所以S表＝4π＋π＋π＋2π3＝12π． 5．一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之比為________． 6．如圖，以圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面的中心為頂點作圓錐，則該圓錐與圓柱等底等高．若圓錐的軸截面是一個正三角形，求圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積的比值． 【答案】． 【解析】設圓錐底面的半徑為r，則母線長為2r，高為r， 中央電視臺總部大樓玻璃幕墻 如圖所示中央電視臺總部大樓外面由大面積玻璃窗與菱形鋼網(wǎng)格結(jié)合而成，外表面的玻璃幕墻（10萬平方米，共27400余塊）由強烈的不規(guī)則幾何圖案組成．采用特種玻璃，其表面被燒制成灰色瓷釉，能更有效遮蔽日曬，適應北京的空氣質(zhì)量環(huán)境，在空氣污染很嚴重的日子里，這種玻璃就像融化在空氣中似的，人們只能看到大樓的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，彷佛閃電被凝固在空中．你知道整棟大樓共需要多少塊玻璃嗎？這就要計算玻璃幕墻的表面積．