2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.2 求曲線的方程講義(含解析)蘇教版選修2-1.doc
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26.2求曲線的方程在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點的坐標(biāo)分別為(2,3),(4,1)問題1:求平面上任一點M(x,y)到A點的距離提示:MA.問題2:試列出到點A、B距離相等的點滿足的方程提示:MAMB,即. 求曲線方程的一般步驟正確認(rèn)識求曲線方程的一般步驟:(1)“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”所謂“適當(dāng)”是指若曲線是軸對稱圖形,則可以選它的對稱軸為坐標(biāo)軸;其次,可以選曲線上的特殊點作為原點(2)“設(shè)曲線上任意一點M的坐標(biāo)為(x,y)”這一步實際上是在挖掘形成曲線的條件中所含的等量關(guān)系 (3)“列出符合p(M)的方程f(x,y)0.”這里就是等量關(guān)系的坐標(biāo)化,完成這一步需要使用解析幾何的基本公式及平面幾何、三角等基礎(chǔ)知識(4)“化方程f(x,y)0為最簡形式”化簡時需要使用代數(shù)中的恒等變形的方法(5)“說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”這一步的證明是必要的從教材內(nèi)容看,這一步不作要求,可以省略,但在完成第(4)步時,所用的變形方法應(yīng)都是可逆的,否則要作適當(dāng)說明直接法求曲線方程例1ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,acb,且a,c,b成等差數(shù)列,AB2,求頂點C的軌跡方程思路點撥由a,c,b成等差數(shù)列可得ab2c;由acb可知所求軌跡方程是整個軌跡方程的一部分;由AB2可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系于是可按求曲線方程的一般步驟求解. 精解詳析以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),B(1,0),設(shè)C點坐標(biāo)為(x,y),由已知得ACBC2AB.即 4,整理化簡得3x24y2120,即1.又acb,x0且x2.所以頂點C的軌跡方程為1(xcb且a,c,b成等差數(shù)列”改為“ABC的周長為6且AB2”,求頂點C的軌跡方程解:以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則A(1,0),B(1,0),設(shè)C(x,y),由已知得ACBCAB6.即4.化簡整理得3x24y2120,即1.A、B、C三點不能共線,x2.綜上,點C的軌跡方程為1(x2)2已知三點O(0,0),A(2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足| |()2.求曲線C的方程解:由(2x,1y),(2x,1y),得|,又()(x,y)(0,2)2y,由已知得 2y2,化簡得曲線C的方程是x24y.定義法求曲線方程例2已知圓A:(x2)2y21與定直線l:x1,且動圓P和圓A外切并與直線l相切,求動圓的圓心P的軌跡方程思路點撥利用平面幾何的知識,分析點P滿足的條件為拋物線,可用定義法求解精解詳析如圖,作PK垂直于直線x1,垂足為K,PQ垂直于直線x2,垂足為Q,則KQ1,所以PQr1,又APr1,所以APPQ,故點P到圓心A(2,0)的距離和到定直線x2的距離相等,所以點P的軌跡為拋物線,A(2,0)為焦點,直線x2為準(zhǔn)線2,p4,點P的軌跡方程為y28x.一點通若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義,可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程,然后用待定系數(shù)法求解,這種求軌跡的方法稱為定義法,利用定義法求軌跡要善于抓住曲線的定義的特征3點P與定點F(2,0)的距離和它到定直線x8的距離的比是12,求點P的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形解:設(shè)d是點F到直線x8的距離,根據(jù)題意,得.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知,點P的軌跡是以F(2,0)為焦點,x8為準(zhǔn)線的橢圓,則解得b2a2c216412.故點P的軌跡方程為1.4.如圖所示,已知點C為圓(x)2y24的圓心,點A(,0),P是圓上的動點,點Q在圓的半徑CP上,且0,2.當(dāng)點P在圓上運動時,求點Q的軌跡方程解:圓(x)2y24的圓心為C(,0),半徑r2,0,2,MQAP,點M為AP的中點,即QM垂直平分AP.連結(jié)AQ, 則AQQP,|QCQA|QCQP|CPr2.又|AC|22,根據(jù)雙曲線的定義,點Q的軌跡是以C(,0),A(,0)為焦點,實軸長為2的雙曲線,由c,a1,得b21,因此點Q的軌跡方程為x2y21.代入法求曲線方程例3動點M在曲線x2y21上移動,M和定點B(3,0)連線的中點為P,求P點的軌跡方程思路點撥設(shè)出點P、M的坐標(biāo),用M的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo),再借助M滿足的關(guān)系即可得到P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系精解詳析設(shè)P(x,y),M(x0,y0),P為MB的中點,即又M在曲線x2y21上,(2x3)2(2y)21.P點的軌跡方程為(2x3)24y21.一點通代入法:利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關(guān)系,把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點具體地說,就是用所求動點的坐標(biāo)(x,y)來表示已知動點的坐標(biāo),并代入已知動點滿足的曲線方程,由此即可求得所求動點坐標(biāo)的軌跡方程5已知圓C的方程為x2y24,過圓C上的一動點M作平行于x軸的直線m,設(shè)直線m與y軸的交點為N,若,求動點Q的軌跡方程解:設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,y),點M的坐標(biāo)為(x0,y0)(y00),則點N的坐標(biāo)為(0,y0)因為,即(x,y)(x0,y0)(0,y0)(x0,2y0),則x0x,y0.又因為點M在圓C上,所以xy4.即x24(y0)所以動點Q的軌跡方程是1(y0)6已知曲線C:y2x1,定點A(3,1),B為曲線C上的任意一點,點P在線段AB上,且有BPPA12,當(dāng)B點在曲線C上運動時,求點P的軌跡方程解:設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),B點坐標(biāo)為(x0,y0),由BPPA12,得2,即(3x,1y)2(xx0,yy0)點B(x0,y0)在曲線y2x1上,21.化簡得:2.即點P的軌跡方程為2.1求曲線的方程時,若題設(shè)條件中無坐標(biāo)系,則需要恰當(dāng)建系,要遵循垂直性和對稱性的原則,即借助圖形中互相垂直的直線建系,借助圖形的對稱性建系一方面讓盡量多的點落在坐標(biāo)軸上,另一方面能使求出的軌跡方程形式簡捷2求曲線的方程常用的方法(1)直接法;(2)定義法;(3)相關(guān)點代入法;(4)待定系數(shù)法等對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十六) 1到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程是_解析:設(shè)動點M(x,y),到兩坐標(biāo)軸的距離為|x|,|y|.則|x|y|,x2y2.答案:x2y22等腰三角形底邊的兩個頂點是B(2,1),C(0,3),則另一頂點A的軌跡方程是_解析:設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,y)由已知得ABAC,即.化簡得 x2y10.點A不能在直線BC上,x1,頂點A的軌跡方程為x2y10(x1)答案:x2y10(x1)3已知兩定點A(1,0),B(2,0),動點P滿足,則P點的軌跡方程是_解析:設(shè)P(x,y),由已知得,化簡得:x24xy20.即(x2)2y24.答案:(x2)2y244已知兩定點A(2,0),B(1,0),如果動點P滿足PA2PB,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于_解析:設(shè)P(x,y),由題知(x2)2y24(x1)2y2,整理得x24xy20,配方得(x2)2y24,可知圓的面積為4.答案:45已知直線l:2x4y30,P為l上的動點,O為坐標(biāo)原點,點Q分線段OP為12兩部分,則Q點的軌跡方程是_解析:據(jù)題意,3,設(shè)P(x,y),Q(x,y),則又P(x,y)在2x4y30上,2(3x)4(3y)30,即2x4y10,即點Q的軌跡方程為2x4y10.答案:2x4y106若動點P在曲線y2x21上移動,求點P與Q(0,1)連線中點M的軌跡方程解:設(shè)P(x0,y0),中點M(x,y),則又P(x0,y0)在曲線y2x21上,2y12(2x)21,即y4x2.點M的軌跡方程為y4x2.7已知雙曲線2x22y21的兩個焦點為F1、F2,P為動點,若PF1PF26,求動點P的軌跡E的方程解:依題意雙曲線方程可化為1,則F1F22.PF1PF26F1F22,點P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,其方程可設(shè)為1(ab0)由2a6,2c2得a3,c1.b2a2c28.則所求橢圓方程為1.故動點P的軌跡E的方程為1.8.如圖所示,A(m,m)和B(n,n)兩點分別在射線OS,OT上移動,且,O為坐標(biāo)原點,動點P滿足.(1)求mn的值;(2)求動點P的軌跡方程,并說明它表示什么曲線?解:(1)由(m,m)(n,n)2mn.得2mn,即mn.(2)設(shè)P(x,y)(x0),由,得(x,y)(m,m)(n,n)(mn,mn),整理得x24mn,又mn,P點的軌跡方程為x21(x0)它表示以原點為中心,焦點在x軸上,實軸長為2,焦距為4的雙曲線x21的右支- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.2 求曲線的方程講義含解析蘇教版選修2-1 2018 2019 學(xué)年 高中數(shù)學(xué) 部分 圓錐曲線 方程 曲線
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