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4.2.2 最大值、最小值問題（二）
[基礎達標]
1.內(nèi)接于半徑為R的半圓中的矩形，周長最大的矩形邊長為( )
A.和R B.R和R
C.R和R D. 以上都不對
解析：選B.設矩形一邊長為x，則另一邊長為2，則l＝2x＋4(0
0，當R0)，y′＝－x2.
由y′＝0，得x＝25，當x∈(0，25)時，y′>0；當x∈(25，＋∞)時，y′<0，所以x＝25時，y取最大值．
3.內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為( )
A．R B．2R
C.R D.R
解析：選C.設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(R－h(huán))2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h(huán)2)＝πRh2－h(huán)3，
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R或h＝0(舍去)．
當00；當0)，為使耗電量最小，則速度應為________．
解析：由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或40，由于040時，y′>0.所以，當x＝40時，y有最小值．
答案：40
8.已知函數(shù)f(x)＝xln x．若對于任意x∈不等式2f(x)≤－x2＋ax－3恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：由題意知，2xln x≤－x2＋ax－3，則a≥2ln x＋x＋.設h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，則h′(x)＝＋1－＝.當x∈時，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，e]時，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增．由h＝－2＋＋3e，h(e)＝2＋e＋，h－h(huán)(e)＝2e－－4＞0，可得h＞h(e)．所以當x∈時，h(x)的最大值為h＝－2＋＋3e.故a≥－2＋＋3e.
答案：[－2＋＋3e，＋∞)
9.一矩形鐵皮的長為8 cm，寬為5 cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？
解：設小正方形的邊長為x cm，則盒子底面長為(8－2x) cm，寬為(5－2x) cm.
V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x(00得10)，f′(x)＝，當x∈(0，e)時，f′(x)>0，當x∈(e，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)最大＝f(e)＝，∴em2－m－1≥e－1，∴m2－m－1≥－1，即m2－m≥0，解得m≤0或m≥1.
2.要做一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72 cm3，其底面兩鄰邊邊長之比為1∶2，那么長為________，寬為________，高為________時，可使表面積最?。?
解析：設體積為V，相鄰兩邊長分別為x cm，2x cm，高為y cm，則V＝2x2y，
∴y＝＝，
∴S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋.
∴S′＝8x－，
令S′＝0，得x＝3.
∴長為6 cm，寬為3 cm，高為4 cm時可使表面積最小．
答案：6 cm 3 cm 4 cm
3.已知f(x)＝2ax－，是否存在正數(shù)a，使對任意x1，x2∈[，1]，|f(x1)－f(x2)|<1都成立？
解：∵f′(x)＝2a＋，x∈[，1]，a>0，
∴f′(x)>0，即f(x)在上是增函數(shù)．
∴f(x)的最大值為f(1)＝2a－1，f(x)的最小值為f＝a－4.
由已知，得
得a<－2，與a是正數(shù)矛盾，故不存在這樣的正數(shù)a.
4. 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2，短半軸長為1，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記|CD|＝2x，梯形的面積為S.
(1)求面積S以x為自變量的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；
(2)求面積S的最大值．
解：
(1)依題意，以AB的中點O為原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則點C(x，y)滿足方程x2＋＝1，且x>0，y>0，∴y＝2(00，f(x)為增函數(shù)；
當
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第四章
導數(shù)應用
4.2.2
最大值、最小值問題二作業(yè)
北師大版選修1
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