《2019年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 命題的概念和例子講義（含解析）湘教版選修2-1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 命題的概念和例子講義（含解析）湘教版選修2-1.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1．1.1　命題的概念和例子 [讀教材填要點] 1．命題的概念 可以判斷成立或不成立的語句叫作命題． 2．命題的分類 (1)真命題：成立的命題叫作真命題． (2)假命題：不成立的命題叫作假命題． (3)猜想：暫時不知道真假的命題可以叫作猜想． [小問題大思維] 1．如果一個語句是命題，它必須具備什么條件？ 提示：如果一個語句是命題，那么該語句所陳述的事情必須能夠判斷其成立或不成立． 2．?dāng)?shù)學(xué)中的定義、公理、定理、公式等是否是命題？是真命題還是假命題？ 提示：數(shù)學(xué)中的定義、定理、公理、公式等都是命題，且都是真命題． 命題的概念 判斷下列語句是否是命題，并說明理由． (1)求證π是無理數(shù)； (2)若x∈R，則x2＋4x＋5≥0； (3)一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)； (4)梯形是不是平面圖形呢？ [自主解答]　(1)是祈使句，不是命題； (2)可以判斷其是否成立，故為命題； (3)是命題，并且是假命題，因為一個數(shù)的算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)； (4)“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題． 判斷一個語句是否是命題，關(guān)鍵是看語句的格式，也就是要看它是否符合“可以判斷成立或不成立”這個條件，如果滿足這個條件，該語句就是命題，否則就不是． 1．判斷下列語句是否為命題，并說明理由． (1)若平行四邊形的邊都相等，則它是菱形； (2)空集是任何非空集合的真子集； (3)對頂角相等嗎？ (4)x>3. 解：(1)能判斷其是否成立，是命題； (2)能判斷其是否成立，是命題； (3)是疑問句，不是命題； (4)不能判斷其是否成立，不是命題． 真假命題的判斷 判斷下列命題的真假，并說明理由． (1)如果學(xué)好了數(shù)學(xué)，那么就會使用電腦； (2)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若a，b都是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)． [自主解答]　(1)是假命題，學(xué)好數(shù)學(xué)與會使用電腦不具有因果關(guān)系，因而無法推出結(jié)論，故為假命題． (2)是真命題，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (3)是真命題，由正方形的定義知正方形既是矩形又是菱形． (4)是真命題， 令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)， 則ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1， 顯然2k1k2＋k1＋k2是一個整數(shù)， 故ab是奇數(shù)． 若將本例(4)中的“奇數(shù)”改為“無理數(shù)”，判斷該命題的真假． 解：當(dāng)a＝，b＝－時，a，b都是無理數(shù)，但 (－)＝－5是有理數(shù)，故該命題為假命題． 判斷命題真假的策略 (1)要判斷一個命題是真命題，一般要有嚴(yán)格的證明或有事實依據(jù)，比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證． (2)要判斷一個命題是假命題，只要舉一個反例即可． 2．判斷下列命題的真假，并說明理由． (1)形如a＋b的數(shù)是無理數(shù)； (2)一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列為遞增數(shù)列； (3)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱； (4)能被2整除的數(shù)一定能被4整除． 解：(1)假命題，反例：a是有理數(shù)且b＝0，則a＋b是有理數(shù)． (2)假命題．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＝－1，q＝2，則該數(shù)列為遞減數(shù)列． (3)真命題．根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知奇函數(shù)的圖象一定關(guān)于原點對稱． (4)假命題．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除． 命題的綜合問題 試探究命題“方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解”為真命題時，a，b滿足的條件． [自主解答]　方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，要考慮方程為一元一次方程和一元二次方程兩種情況： 當(dāng)a＝0時，方程ax2＋bx＋1＝0為bx＋1＝0，只有當(dāng)b≠0時，方程有實數(shù)解x＝－； 當(dāng)a≠0時，方程ax2＋bx＋1＝0為一元二次方程，方程有實數(shù)解的條件為Δ＝b2－4a≥0. 綜上知，當(dāng)a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0時，方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解． (1)并不是任何語句都是命題．要判斷一個句子是否為命題，關(guān)鍵在于能否判斷其成立或不成立．一般地，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題． (2)一個命題要么是真的，要么是假的，二者必居其一． 3．下面的命題中是真命題的是(　　) A．y＝sin2x的最小正周期為2π B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根同號，則>0 C．如果M?N，那么M∪N＝M D．在△ABC中，若>0，則B為銳角 解析：選B　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A為假命題；當(dāng)M?N時，M∪N＝N，故C為假命題；在三角形ABC中，當(dāng)>0時，向量與的夾角為銳角，B應(yīng)為鈍角，故D為假命題．故選B. 解題高手 妙解題 什么是智慧，智慧就是簡單、高效、不走彎路 若命題“如果5x－1>a，那么x>1”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍． [巧思]　“如果5x－1>a，那么x>1”是真命題，則不等式5x－1>a的解集是x>1的子集． [妙解]　由5x－1>a，得x>(1＋a)． ∵命題“如果5x－1>a那么x>1”是真命題， ∴?(1，＋∞)． ∴≥1，即a≥4. 即a的取值范圍是[4，＋∞)． 1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩人王維的《相思》，這首詩中，在當(dāng)時條件下，可以作為命題的是(　　) A．紅豆生南國　　　　 B．春來發(fā)幾枝 C．愿君多采擷 D．此物最相思 解析：“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實，所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不是命題，故選A. 答案：A 2．下列命題中的真命題是(　　) A．互余的兩個角不相等 B．相等的兩個角是同位角 C．若a2＝b2，則|a|＝|b| D．三角形的一個外角等于和它不相鄰的一個內(nèi)角 解析：由平面幾何知識可知A、B、D三項都是錯誤的． 答案：C 3．給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒有實數(shù)根”，則使該命題為真命題的a的一個值可以是(　　) A．4 B．2 C．0 D．－3 解析：方程無實根時，應(yīng)滿足Δ＝a2－4<0.故a＝0時適合條件． 答案：C 4．設(shè)a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則： ①(ab)c＝(ca)b； ②|a|－|b|<|a－b|； ③(bc)a－(ca)b不與c垂直； ④(3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命題的有________(只填序號)． 解析：因為a，b，c相互不共線， 所以(ab)c與(ca)b不一定相等． 又因為[(bc)a－(ca)b]c＝(bc)(ac)－(ca)(bc)＝0，所以①③為假命題，易證②④為真命題． 答案：②④ 5．下列命題： ①y＝x2＋3為偶函數(shù)；②0不是自然數(shù)；③{x∈N|0＜x＜12}是無限集；④如果ab＝0，那么a＝0或b＝0. 其中是真命題的是________(寫出所有真命題的序號)． 解析：①為真命題，②③④為假命題． 答案：① 6．若命題p(x)：x2＋2>3x為真命題，求x的取值范圍． 解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0. 解得x>2或x<1， ∴x的取值范圍是(2，＋∞)∪(－∞，1)． 一、選擇題 1．下列語句中是命題的是(　　) A．周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？ B．sin 0＝0 C．求x2－2x＋1>0的解集 D．作△ABC∽△EFG 解析：A選項是疑問句，不是命題，C、D選項中的語句顯然不是． 答案：B 2．已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題，那么下列命題中真命題的個數(shù)為(　　) ①M中的元素都不是P的元素； ②M中有不屬于P的元素； ③M中有屬于P的元素； ④M中的元素不都是P的元素． A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：①③錯誤；②④正確． 答案：B 3．下列命題中，為真命題的是(　　) A．對角線相等的四邊形是矩形 B．若一個球的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則其體積變?yōu)樵瓉淼?倍 C．若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等 D．直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝1相切 解析：等腰梯形對角形相等，不是矩形，故A中命題是假命題；由球的體積公式可知B中命題為真命題；C中命題為假命題，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均數(shù)相等，但標(biāo)準(zhǔn)差顯然不相等；圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝<1，故直線與圓相交，所以D中命題為假命題． 答案：B 4．給出下列命題： ①若直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，則l⊥m； ②若a，b都是正實數(shù)，則a＋b≥2； ③若x2>x，則x>1； ④函數(shù)y＝x3是指數(shù)函數(shù)． 其中假命題的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①中，顯然l∥m或l與m重合，所以①是假命題；由基本不等式，知②是真命題；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命題；④中，函數(shù)y＝x3是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，所以④是假命題．故選C. 答案：C 二、填空題 5．下列語句： ①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程嗎？ ②拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸至少有一個交點； ③互相包含的兩個集合相等； ④若m＞0，a＞b＞0，則＞. 其中真命題的序號為________． 解析：①不是命題；②錯，可能沒交點；③正確，若A?B，B?A，則A＝B；④顯然正確，可以證明． 答案：③④ 6．給出下列命題： ①方程x2－x＋1＝0有兩個實根； ②對于實數(shù)x，若x－2＝0，則x－2≤0； ③若p＞0，則p2＞p； ④正方形不是菱形． 其中真命題是________，假命題是________． 解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝時，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形． 答案：②?、佗邰? 7．函數(shù)f(x)的定義域為A，若當(dāng)x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時，總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；②指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x(x∈R)是單函數(shù)；③在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．其中的真命題是________．(填序號) 解析：由x＝x，未必有x1＝x2，故①為假命題；對于f(x)＝2x，當(dāng)f(x1)＝f(x2)時一定有x1＝x2，故②為真命題；當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)時，一定有“若f(x1)＝f(x2)，則x1＝x2”，故③為真命題．故真命題是②③. 答案：②③ 8．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．當(dāng)a＝0時，－3≤0恒成立； 當(dāng)a≠0時，則有解得－3≤a<0. 綜上，－3≤a≤0. 答案：[－3,0] 三、解答題 9．判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由． (1)一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)． (2)大角所對的邊大于小角所對的邊． (3)x＋y是有理數(shù)，則x，y也都是有理數(shù)． (4)求證x∈R，方程x2＋x＋1＝0無實根． 解：(1)是假命題，1不是合數(shù)，也不是質(zhì)數(shù)． (2)是假命題，必須在同一個三角形或全等三角形中． (3)是假命題，如x＝，y＝－. (4)祈使句，不是命題． 10．判斷命題：“若a＋b＝2，則直線x＋y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的真假． 解：由已知a＋b＝2， 圓心(a，b)到直線x＋y＝0的距離d＝＝＝＝r， 所以直線與圓相切，即命題為真.