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專題17 恒成立問題——數(shù)形結合法
【熱點聚焦與擴展】
不等式恒成立問題常見處理方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).
1、函數(shù)的不等關系與圖象特征：
（1）若，均有的圖象始終在的下方
（2）若，均有的圖象始終在的上方
2、在作圖前，可利用不等式的性質對恒成立不等式進行變形，轉化為兩個可作圖的函數(shù)
3、要了解所求參數(shù)在圖象中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作圖時可“先靜再動”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖象，再做含參數(shù)函數(shù)的圖象（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化）
5、在作圖時，要注意草圖的信息點盡量完備
6、什么情況下會考慮到數(shù)形結合？利用數(shù)形結合解決恒成立問題，往往具備以下幾個特點：
（1）所給的不等式運用代數(shù)手段變形比較復雜，比如分段函數(shù)，或者定義域含參等，而涉及的函數(shù)便于直接作圖或是利用圖象變換作圖
（2）所求的參數(shù)在圖象中具備一定的幾何含義
（3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖象上的特征
【經(jīng)典例題】
例1．【2018屆浙江省金華十校4月模擬】若對任意的，存在實數(shù)，使 恒成立，則實數(shù)的最大值為__________．
【答案】9
【解析】若對任意的， 恒成立，可得：
恒成立，
令，，
原問題等價于：，結合對勾函數(shù)的性質分類討論：
(1)當時，，，
原問題等價于存在實數(shù)滿足：，
故，解得：，則此時；
(2)當時，，，
原問題等價于存在實數(shù)滿足：，
原問題等價于存在實數(shù)滿足：，
故，解得：，則此時；
當時，，
原問題等價于存在實數(shù)滿足：，
故，解得：，則此時；
綜上可得：實數(shù)的最大值為.
點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：
(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
例2.【2018屆一輪訓練】已知log (x＋y＋4)
4x＋m－3恒成立，則x的取值范圍是________________．
【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【解析】不等式可化為m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4時恒成立．
令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.結合二次函數(shù)的圖象得
?
?
即x<－1或x>3.
故答案為：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
例5.已知不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________
【答案】
可得：，綜上可得：.
【名師點睛】（1）通過常系數(shù)函數(shù)圖象和恒成立不等式判斷出對數(shù)函數(shù)的單調性，進而縮小了參數(shù)討論的取值范圍.
（2）學會觀察圖象時要抓住圖象特征并抓住符合條件的關鍵點（例如本題中的）.
（3）處理好邊界值是否能夠取到的問題.
例6.若不等式對于任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍是___________
【答案】
【解析】本題選擇數(shù)形結合，可先作出在的圖象，扮演的角色為對數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關系可得，觀察圖象進一步可得只需時，，即，所以
例7. 已知函數(shù)，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是_____________
【答案】
m+1
m
【名師點睛】本題也可以用最值法求解：若，則，而是開口向上的拋物線，最大值只能在邊界處產(chǎn)生，所以，再解出的范圍即可.
例8.已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象只有一個交點,則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】或
【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖,
例9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時， ，若，則實數(shù)的取值范圍是_____________
【答案】
【解析】是奇函數(shù)且在時是分段函數(shù)（以為界），且形式比較復雜，恒成立的不等式較難轉化為具體的不等式，所以不優(yōu)先考慮參變分離或是最值法.從數(shù)形結合的角度來看，一方面的圖象比較容易作出，另一方面可看作是的圖象向右平移一個單位所得，相當于也有具體的圖象.所以考慮利用圖象尋找滿足的條件.先將寫為分段函數(shù)形式：，作出正半軸圖象后再根據(jù)奇函數(shù)特點，關于原點對稱作出負半軸圖象.恒成立，意味著的圖象向右平移一個單位后，其圖象恒在的下方.通過觀察可得在平移一個單位至少要平移個長度，所以可得：
答案：.
例10【2018屆河南省高三4月考試】已知函數(shù).
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
上恒成立，時再分兩種情況討論可得時，在上恒成立，當時，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得不滿足題意，進而可得結果.
試題解析：（1），
∵在處取到極值，
∴，即，∴.
經(jīng)檢驗，時，在處取到極小值.
（2），令，
①當時，，在上單調遞減.
又∵，∴時，，不滿足在上恒成立.
時，，單調遞增，∴.
又∵，∴，故不滿足題意.
③當時，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，在上單調遞減，
，∴，在上單調遞減.
又∵，∴時，，故不滿足題意.
綜上所述，.
【精選精練】
1．【2018屆東莞市高三畢業(yè)班第二次綜合考試】已知函數(shù)若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
【答案】C
2.若函數(shù)有極大值點和極小值點，則導函數(shù)的大致圖象可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
則導函數(shù)在區(qū)間上為正數(shù)，在區(qū)間上為負數(shù)，在區(qū)間上為正數(shù)；
觀察所給的函數(shù)圖象可知，只有C選項符合題意.
本題選擇C選項.
3．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函數(shù)的對稱軸為；∵該函數(shù)在上是增函數(shù)；∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍是，故選B.
4. 若,不等式恒成立,則的取值范圍是______
【答案】或
【解析】思路：本題中已知的范圍求的范圍，故構造函數(shù)時可看作關于的函數(shù)，恒成立不等式變形為 ,設,即關于的一次函數(shù)，由圖象可得：無論直線方向如何，若要，只需在端點處函數(shù)值均大于0即可，即,解得：或
答案：或
【名師點睛】（1）對于不等式，每個字母的地位平等，在構造函數(shù)時哪個字母的范圍已知，則以該字母作為自變量構造函數(shù).
（2）線段的圖象特征：若兩個端點均在坐標軸的一側，則線段上的點與端點同側.
（3）對點評（2）的推廣：已知一個函數(shù)連續(xù)且單調，若兩個端點在坐標軸的一側，則曲線上所有點均與端點同側.
5.設，若時均有，則_________
【答案】
答案：
6.【2018屆二輪訓練】當實數(shù)x，y滿足時，ax＋y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
要使平面區(qū)域在直線的下方，則只要在直線上或直線下方即可，即，得，綜上，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為.
7．【2018屆二輪訓練】已知函數(shù)f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝x＋1，g(x)＝＋，若a，b∈[－1,5]，且當x1，x2∈[a，b]時， ＞0恒成立，則b－a的最大值為________．
【答案】5
【解析】 且 恒成立， 在區(qū)間上單調第增，
∵函數(shù)
當 時， ，單調減；
當 單調增；
當時， ，單調遞增． 的最大值為．
故答案為5.
8．【2018屆吉林省長春市高三監(jiān)測（三）】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
9．【2018屆吉林省長春市高三監(jiān)測（三）】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】當，
當，
故.
故答案為：
10．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是__________．
【答案】3
【解析】令，則由題意可知，
∵，
∴，
當且僅當，即時，等號成立，
∴，從而．
故實數(shù)的最大值是．
故答案為：3.
另法：的圖象即函數(shù)的圖象向右、向上均平移1單位得到，結合圖象可得解.
11．【2018屆寧夏銀川高三4月模擬】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，給出以下命題：
①當時，；
②函數(shù)有個零點；
③若關于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是；
④對恒成立，
其中，正確命題的序號是__________．
【答案】①④
若方程有解，則，且對恒成立，故③錯誤，④正確.
故答案為①④.
12．函數(shù)的定義域為（為實數(shù)）.
（1）若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若在定義域上恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】試題分析：（1）利用單調性的定義，根據(jù)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，可得不等式恒成立，從而可求的取值范圍；（2）利用分離參數(shù)思想原題意等價于恒成立，
∵，∴函數(shù)在上單調減，
∴時，函數(shù)取得最小值，即.
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