2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案 新人教A版必修4.doc
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2.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解基底的含義,理解并掌握平面向量基本定理,會(huì)用基底表示平面內(nèi)任一向量(重點(diǎn))2.掌握兩個(gè)向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義(難點(diǎn))3.兩個(gè)向量的夾角與兩條直線所成的角(易混點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1平面向量基本定理?xiàng)l件e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2,使a1e12e2基底不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底思考:(1)0能與另外一個(gè)向量a構(gòu)成基底嗎?(2)平面向量的基底是唯一的嗎?提示(1)不能基向量是不共線的,而0與任意向量是共線的(2)不是平面內(nèi)任何不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底,基底一旦確定,平面內(nèi)任何一向量都可以用這一基底唯一表示2向量的夾角條件兩個(gè)非零向量a和b產(chǎn)生過(guò)程作向量a,b,則AOB叫做向量a與b的夾角范圍0,特殊情況0a與b同向90a與b垂直,記作ab180a與b反向基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底()(2)若e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量,則1e12e2(1,2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量()(3)若ae1be2ce1de2(a,b,c,dR),則ac,bd.()解析(1)錯(cuò)誤根據(jù)基底的概念可知,平面內(nèi)不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)向量的基底(2)正確根據(jù)平面向量基本定理知對(duì)平面內(nèi)任意向量都可以由向量e1,e2線性表示(3)錯(cuò)誤當(dāng)e1與e2共線時(shí),結(jié)論不一定成立答案(1)(2)(3)2若ABC是等邊三角形,則與的夾角的大小為_120由向量夾角的定義知與的夾角與B互補(bǔ),大小為120.3如圖231所示,向量可用向量e1,e2表示為_圖2314e13e2由圖可知,4e13e2.合 作 探 究攻 重 難用基底表示向量(1)D,E,F(xiàn)分別為ABC的邊BC,CA,AB上的中點(diǎn),且a,b,給出下列結(jié)論:ab;ab;ab;a.其中正確的結(jié)論的序號(hào)為_(2)如圖232,已知梯形ABCD中,ABCD,AB2CD,E,F(xiàn)分別是DC,AB的中點(diǎn),設(shè)a,b,試用a,b表示,.圖232思路探究用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平行四邊形法則(1)(1)如圖,bba,正確;ab,正確;ba,b(ba)ba,正確;a,不正確(2)因?yàn)镈CAB,AB2DC,E,F(xiàn)分別是DC,AB的中點(diǎn),所以a,b.babba.規(guī)律方法用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)和兩個(gè)“模型”(1)依據(jù):向量加法的三角形法則和平行四邊形法則;向量減法的幾何意義;數(shù)乘向量的幾何意義(2)模型:跟蹤訓(xùn)練1在ABC中,EFBC,EF交AC于F,設(shè)a,b,則等于() 圖233AabBabCab DabA,.又EFBC,(),()ab.向量的夾角(1)已知向量a,b,c滿足|a|1,|b|2,cab,ca,則a,b的夾角等于_(2)若a0,b0,且|a|b|ab|,求a與ab的夾角. 思路探究可作出平面圖形利用向量夾角定義及平面幾何知識(shí)來(lái)解決(1)120作a,b,則cab(如圖所示),則a,b夾角為180C.|a|1,|b|2,ca,C60,a,b的夾角為120.(2)解由向量運(yùn)算的幾何意義知ab,ab是以a,b為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線如圖,|a|b|ab|,BOA60.又ab,且在菱形OACB中,對(duì)角線OC平分BOA,a與ab的夾角是30.規(guī)律方法兩向量夾角的實(shí)質(zhì)與求解方法:(1)兩向量夾角的實(shí)質(zhì):從同一起點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)非零向量構(gòu)成的不大于平角的角,結(jié)合平面幾何知識(shí)加以解決.(2)求解方法:利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合,作出兩個(gè)向量的夾角,按照“一作二證三算”的步驟求出.提醒:尋找兩個(gè)向量的夾角時(shí)要緊扣定義中“共起點(diǎn)”這一特征,避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.跟蹤訓(xùn)練2在ABC中,若A120,ABAC,則與夾角的大小為_150如圖所示,因?yàn)锳120,ABAC,所以B30,所以與的夾角為180B150.平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用探究問(wèn)題若存在實(shí)數(shù)1,2,1,2及不共線的向量e1,e2,使向量a1e12e2,a1e12e2,則1,2,1,2有怎樣的大小關(guān)系?提示:由題意1e12e21e12e2,即(11)e1(22)e2,由于e1,e2不共線,故11,22.如圖234所示,在OAB中,a,b,點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)若OM與BN相交于點(diǎn)P,求. 圖234思路探究可利用t及s兩種形式來(lái)表示,并都轉(zhuǎn)化為以a,b為基底的表達(dá)式根據(jù)任一向量基底表示的唯一性求得s,t,進(jìn)而得.解A()ab.因?yàn)榕c共線,故可設(shè)tab.又與共線,可設(shè)s,ss()(1s)asb,所以解得所以ab.母題探究:1.將本例中“M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)”改為“M是AB上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)”,“點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四分點(diǎn)”改為“N為OA的中點(diǎn)”,求BPPN的值圖235解ab,()ab,因?yàn)镺,P,M和B,P,N分別共線,所以存在實(shí)數(shù),使ab,ab,所以ab,又b,所以解得所以,即BPPN41.2將本例中點(diǎn)M,N的位置改為“,N為OA中點(diǎn)”,其他條件不變,試用a,b表示.圖236解ba,ab,因?yàn)锳,P,M三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)使得ba,所以(1)ab.因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)使得ab,所以a(1)b.即解得所以ab.規(guī)律方法1.任意一向量基底表示的唯一性的理解:條件一平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1,e2條件二a1e11e2且a2e12e2結(jié)論2.任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用:平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1,e2的線性組合1e12e2.在具體求1,2時(shí)有兩種方法:(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理(2)利用待定系數(shù)法,即利用定理中1,2的唯一性列方程組求解當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知平行四邊形ABCD,則下列各組向量中,是該平面內(nèi)所有向量基底的是()A.,B.,C., D.,D由于,不共線,所以是一組基底2已知ABCD中DAB30,則與的夾角為()A30 B60C120D150D與的夾角與DAB互補(bǔ),其大小為18030150.3設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若3,則()A.B.C.D.A因?yàn)?,所以3()33,所以34,所以.4已知向量a,b是一組基底,實(shí)數(shù)x,y滿足(3x4y)a(2x3y)b6a3b,則xy的值為_3因?yàn)閍,b是一組基底,所以a與b不共線,因?yàn)?3x4y)a(2x3y)b6a3b,所以解得所以xy3.5已知ABC中,D為BC的中點(diǎn),E,F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn),若a,b,用a,b表示,. 圖237解a(ba)ab;a(ba)ab;a(ba)ab.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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