2018版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.5.1 二項式定理學案 蘇教版選修2-3.doc
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15.1二項式定理學習目標1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理的特征及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題知識點二項式定理思考1我們在初中學習了(ab)2a22abb2,試用多項式的乘法推導(ab)3,(ab)4的展開式思考2上述兩個等式的右側有何特點?思考3能用類比方法寫出(ab)n(nN*)的展開式嗎?梳理二項式定理及其概念(1)二項式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)叫做二項式定理,_叫做(ab)n的二項展開式,它一共有_項(2)二項展開式的通項_叫做二項展開式的第r1項(也稱通項),用Tr1表示,即Tr1_.(3)二項式系數(shù)_叫做第r1項的二項式系數(shù)類型一二項式定理的正用、逆用引申探究將本例(1)改為求(2x)5的展開式例1(1)求(3)4的展開式(2)化簡:C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.反思與感悟(1)(ab)n的二項展開式有n1項,是和的形式,各項的冪指數(shù)規(guī)律是:各項的次數(shù)和等于n.字母a按降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n逐項減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項起,次數(shù)由0逐項加1直到n.(2)逆用二項式定理可以化簡多項式,體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項式的特點,向二項展開式的形式靠攏跟蹤訓練1化簡(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.類型二二項展開式的通項例2已知二項式(3)10.(1)求展開式第4項的二項式系數(shù);(2)求展開式第4項的系數(shù);(3)求第4項反思與感悟(1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)C(r0,1,2,n),它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念(2)第r1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號,而此項的二項式系數(shù)為C.例如,在(12x)7的展開式中,第四項是T4C173(2x)3,其二項式系數(shù)是C35,而第四項的系數(shù)是C23280.跟蹤訓練2已知n展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162.(1)求n的值;(2)求展開式中含x3的項,并指出該項的二項式系數(shù)例3已知在n的展開式中,第6項為常數(shù)項(1)求n;(2)求含x2的項的系數(shù);(3)求展開式中所有的有理項反思與感悟(1)求二項展開式的特定項的常見題型求第r項,TrCanr1br1;求含xr的項(或xpyq的項);求常數(shù)項;求有理項(2)求二項展開式的特定項的常用方法對于常數(shù)項,隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)對于有理項,一般是先寫出通項公式,其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解對于二項展開式中的整式項,其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù),求解方式與求有理項一致跟蹤訓練3(1)若9的展開式中x3的系數(shù)是84,則a_.(2)已知n為等差數(shù)列4,2,0,的第六項,則(x)n的二項展開式的常數(shù)項是_1(x2)8的展開式中x6的系數(shù)是_2二項式(x)12的展開式中的常數(shù)項是第_項3已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30,則a_.4化簡:(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.5求()4的展開式1求二項展開式的特定項應注意的問題通項公式的主要作用是求展開式中的特殊項,常見的題型有:求第r項;求含xr(或xpyq)的項;求常數(shù)項;求有理項其中求有理項時一般根據(jù)通項公式所得到的項,其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)整數(shù)的整除性來求解另外,若通項中含有根式,一般把根式化為分數(shù)指數(shù)冪,以減少計算中的錯誤2二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別二項式系數(shù)C與展開式中對應項的系數(shù)不一定相等,二項式系數(shù)一定為正,而項的系數(shù)有時可以為負答案精析問題導學知識點思考1(ab)3a33a2b3ab2b3,(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考2(ab)3的展開式有4項,每項的次數(shù)是3;(ab)4的展開式有5項,每一項的次數(shù)為4.思考3能,(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN*)梳理(1)右邊的多項式n1(2)CanrbrCanrbr(3)C(r0,1,2,n)題型探究例1(1)解方法一(3)4(3)4C(3)3()C(3)2()2C(3)()3C()481x2108x54.方法二(3)4()4(13x)41C3xC(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)解原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.引申探究解方法一(2x)5C(2x)5C(2x)4C(2x)3()2C(2x)2()3C(2x)()4C()532x580x2.方法二(2x)5(2x31)5(12x3)51C(2x3)C(2x3)2C(2x3)3C(2x3)4C(2x3)580x232x5.跟蹤訓練1解原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.例2解(3)10的展開式的通項是Tr1C(3)10r()rC310r()r(r0,1,2,10)(1)展開式的第4項(r3)的二項式系數(shù)為C120.(2)展開式的第4項的系數(shù)為C37()377 760.(3)展開式的第4項為T4T3177 760.跟蹤訓練2解(1)因為T3C()n224C,T2C()n12C,依題意,得4C2C162,所以2CC81,所以n281,n9.(2)設第r1項含x3項,則Tr1C()9rr(2)rC,所以3,r1,所以第二項為含x3的項,T22Cx318x3.二項式系數(shù)為C9.例3解通項公式為Tr1C (3)rC(3)r.(1)第6項為常數(shù)項,當r5時,有0,即n10.(2)令2,得r(n6)2,所求的系數(shù)為C(3)2405.(3)由題意,得令t(tZ),則102r3t,即r5t.rZ,t應為偶數(shù)令t2,0,2,即r2,5,8.第3項,第6項與第9項為有理項,它們分別為405x2,61 236,295 245x2.跟蹤訓練3(1)1解析展開式的通項為Tr1Cx9r(a)rrC(a)rx92r(0r9,rN)當92r3時,解得r3,代入得x3的系數(shù),根據(jù)題意得C(a)384,解得a1.(2)160解析由題意得n6,Tr12rCx62r,令62r0得r3,常數(shù)項為C23160.當堂訓練11122.93.64.x55解()4C()4C()3C()2()2C()3C()4x24x6.- 配套講稿:
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