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專(zhuān)題35 排列、組合 一、考綱要求： 1.理解排列與組合的概念. 2.理解排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.求解排列應(yīng)用問(wèn)題的六種常用方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 相隔問(wèn)題把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中 定序問(wèn)題 除法處理 對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 2.組合問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型與處理方法 (1）)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取. (2）)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解. 3.排列組合綜合題思路，先選后排，先組合后排列. 當(dāng)有多個(gè)限制條件時(shí)，應(yīng)以其中一個(gè)限制條件為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，限制條件多時(shí)，多考慮用間接法，但需確定一個(gè)總數(shù). 4.分配問(wèn)題的處理方法： (1）不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類(lèi)型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類(lèi)型中，不同分組方法的求法. (2）對(duì)于相同元素的“分配”問(wèn)題，常用的方法是采用“隔板法”. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國(guó)卷I）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有　　種．（用數(shù)字填寫(xiě)答案） 【答案】16 【解析】：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4 根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得，共有12+4=16種， 方法二，間接法：C63﹣C43=20﹣4=16種， 故答案為：16 例2.（2018浙江卷）從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成　　個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．（用數(shù)字作答） 【答案】1260． 例3.(2017天津高考)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．(用數(shù)字作答) 【答案】1 080　 【解析】：①當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCA＝960. ②當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A＝120. 故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1 080(個(gè))． 例4.．(2016四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．24　　　　　 B．48 C．60 D．72 【答案】D 【解析】：第一步，先排個(gè)位，有C種選擇； 第二步，排前4位，有A種選擇． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知有CA＝72(個(gè))． 13.若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　) A．60種 B．63種 C．65種 D．66種 【答案】　D　 【解析】：共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)， ∴不同的取法共有C＋C＋CC＝66種． 14．某班組織文藝晚會(huì)，準(zhǔn)備從A，B等8個(gè)節(jié)目中選出4個(gè)節(jié)目演出，要求A，B兩個(gè)節(jié)目至少有一個(gè)選中，且A，B同時(shí)選中時(shí)，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的種數(shù)為(　　) A．1 860 B．1 320 C．1 140 D．1 020 【答案】C 【解析】：當(dāng)A，B節(jié)目中只選一個(gè)時(shí)，共有CCA＝960種演出順序；當(dāng)A，B節(jié)目都被選中時(shí)，由插空法得共有CAA＝180種演出順序．所以一共有1 140種演出順序． 15．設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿(mǎn)足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為(　　) A．60 B．90 C．120 D．130 【答案】D 二、填空題 1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有________種． 【答案】60 【解析】：5人的全排列，B站在A的右邊與A站在B的右邊各占一半， ∴滿(mǎn)足條件的不同排法共A＝60種． 2．如圖，用五種不同顏色給A、B、C、D涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域涂色不同，共有________種涂法． A B C D 【答案】260　 【解析】：共有5414＋5433＝260種． 3．若C>3C，則m＝________. 【答案】7或8　 4.把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 【答案】　36　 【解析】：記其余兩種產(chǎn)品為D，E，A，B相鄰視為一個(gè)元素，先與D，E排列，有AA種方法．再將C插入，僅有3個(gè)空位可選，共有AAC＝263＝36種不同的擺法． 5．現(xiàn)有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，有________種不同的方法．(用數(shù)字作答)． 【答案】1 260 【解析】：第一步，從9個(gè)位置中選出2個(gè)位置，分給相同的紅球，有C種選法；第二步，從剩余的7個(gè)位置中選出3個(gè)位置，分給相同的黃球，有C種選法；第三步，剩下的4個(gè)位置全部分給4個(gè)白球，有1種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，排列方法共有CC＝1 260(種)． 6．從6名同學(xué)中選派4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科知識(shí)競(jìng)賽，若其中甲、乙兩名同學(xué)不能參加生物競(jìng)賽，則選派方案共有________種． 【答案】240 【解析】：特殊位置優(yōu)先考慮，既然甲、乙都不能參加生物競(jìng)賽，則從另外4個(gè)人中選擇一個(gè)參加，有C種方案，然后從剩下的5個(gè)人中選擇3個(gè)人參加剩下3科，有A種方案，故共有CA＝460＝240(種)方案． 7．在高三某班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)，且女生甲不能排第一個(gè)，那么出場(chǎng)的順序的排法種數(shù)為_(kāi)_______． 【答案】60 【解析】：不相鄰問(wèn)題插空法.2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N1＝AA＝72(種)，女生甲排第一個(gè)且2位男生不連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N2＝AA＝12(種)，所以出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為N＝N1－N2＝60. 8．把座位編號(hào)為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)． 【答案】96 【解析】：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分且不存在三連號(hào)．在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有C＝4(種)情況，再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，有A＝24(種)情況，則共有424＝96(種)情況． 9．某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案有________種. 【答案】60　 10．?dāng)z像師要對(duì)已坐定一排照像的5位小朋友的座位順序進(jìn)行調(diào)整，要求其中恰有2人座位不調(diào)整，則不同的調(diào)整方案的種數(shù)為_(kāi)_______．(用數(shù)字作答) 【答案】20　 【解析】：先從5位小朋友中選取2位，讓他們位置不變，其余3位都改變自己的位置，即3人不在其位，共有方案種數(shù)為N＝CCCC＝20種．