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2019-2020年高一數(shù)學(xué)《直線與圓》練習(xí) 一、填空題： 1 圓x2+y2－4x=0在點(diǎn)P（1，）處的切線方程為 ． 2 由點(diǎn)M(5,3)向圓所引切線長等于 ． 3 在圓上,與直線4x+3y-12=0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ． 4．已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為｜a｜、｜b｜、 ｜c(diǎn)｜的三角形是 三角形． 5．M(為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系為 ． 6．將直線沿軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓 相切，則實(shí)數(shù)的值為 ． 7．已知定點(diǎn)A(1,1)，B(3,3)，點(diǎn)P在x軸上，且取得最大值，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 ． 8．過點(diǎn)（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝ ___ 9．直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為 ． 10．已知A（－4，0），B（2，0）,AB為直徑的圓與軸的負(fù)半軸交于C，則過C點(diǎn)的圓的切線方程為 ． 11．求圓C1: 與圓C2: 的公共弦所在直線被圓C3: 所截得的弦長 ． 12．已知點(diǎn)A(－2，－1)和B(2，3)，圓C：x2＋y2 = m2，當(dāng)圓C與線段AB沒有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍 . 13．若直線y＝x＋m與曲線＝x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． 14．如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上,點(diǎn)O在曲線 最小值為 ． 二、解答題 15．直線經(jīng)過點(diǎn)P被圓截得的弦長為8, 求此弦所在直線方程. 16．已知圓，直線. （1）求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)； （2）求直線被圓截得的弦長最小時(shí)的方程. 17．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng). （1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值. 18．已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)?若存在，寫出直線的方程；若不存在，說明理由 19．自點(diǎn)(－3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線方程． 20．已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，,求點(diǎn)Q的軌跡方程 直線與圓 一、填空題 1．圓x2+y2－4x=0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為x－y+2=0． 解法一：x2+y2－4x=0， y=kx－k+x2－4x+(kx－k+)2=0 該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即Δ=0，解得k=∴y－=（x－1），即x－y+2=0 4．已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為|a|,|b|,|c|的三角形 （是直角三角形） 解：由題意得=1，即c2=a2+b2，∴由|a|,|b|,|c|構(gòu)成的三角形為直角三角形． 5．M(為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系為（相離）． 解：由M在圓內(nèi)知，圓心0到直線的距離，故相離． 6．將直線沿軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓 相切，則實(shí)數(shù)的值為-3或7． 解：由題意可知：直線沿軸向左平移1個(gè)單位后的直線為： .已知圓的圓心為，半徑為.直線與圓相切，則圓心到直線的距 離等于圓的半徑，因而有，得或7． 7．已知定點(diǎn)A(1,1)，B(3,3)，點(diǎn)P在x軸上，且取得最大值，則P點(diǎn)坐標(biāo)為解：P點(diǎn)即為過A、B兩點(diǎn)且與x軸相切的圓的切點(diǎn)，設(shè)圓方程為 ， 所以有 8．過點(diǎn)（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝ 解：劣弧所對(duì)的圓心角最小,也就是弦長最短,此時(shí)圓心到直線的距離最大,所以當(dāng)圓心與已知點(diǎn)的連線與直線l垂直時(shí),弦長最短.所以直線l的斜率． 變式：（xx年天津卷）設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦AB的長為，則 . y O C A B 解：由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，得，解得. 10．已知A（－4，0），B（2，0）以AB為直徑的圓 與軸的負(fù)半軸交于C，則過C點(diǎn)的圓的切線方程為 . x 解：以AB為直徑的圓D的方程， 點(diǎn)C(0，-)，CD的斜率，從而切線的 斜率為，又過點(diǎn)C(0，-)，故切線方程為 ． 11．求圓C1: 與圓C2: 的公共弦所在直線被圓C3:所截得的弦長（）． 解: 圓C1與圓C2的公共弦所在直線方程為: ， 即x+y-1=0，圓心C3到直線x+y-1=0的距離. 所以所求弦長為. 12．已知點(diǎn)A(－2，－1)和B(2，3)，圓C：x2＋y2 = m2，當(dāng)圓C與線段AB沒有公共 點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍 . 解：∵過點(diǎn)A、B的直線方程為在l：x－y＋1 = 0, 作OP垂直AB于點(diǎn)P，連結(jié)OB. 由圖象得：|m|＜OP 或|m|＞OB時(shí)，線段AB與圓x2＋y2 = m2無交點(diǎn). （I）當(dāng)|m|＜OP時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離公式得： ，即. （II）當(dāng)＞OB時(shí), ,即 . ∴當(dāng)和時(shí)，圓x2＋y2 = m2與線段AB無交點(diǎn). 變式2：（xx年湖北卷）若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 . 解：依題意有，解得，∴的取值范圍是. 變式3：若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：∵曲線表示半圓，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是或. 14．如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上,點(diǎn)O在曲線最 小值為( ) 二、解答題 15．直線經(jīng)過點(diǎn)P被圓截得的弦長為8, 求此弦所在直線方程 思路分析：利用圓中“半徑、半弦、弦心距”構(gòu)成直角三角形可解. 解: (1)當(dāng)斜率k不存在時(shí), 過點(diǎn)P的直線方程為, 代入,得.∴弦長為,符合題意 (2)當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)所求方程為,即 由已知,弦心距，,解得 所以此直線方程為 ,即 所以所求直線方程為 或 點(diǎn)評(píng): 關(guān)于圓的弦長問題,可用幾何法從半徑、弦心距、半弦所組成的直角三角形求解,也可用代數(shù)法的弦長公式求解本題還要注意,斜率不存在時(shí)直線符合題意 16．知圓，直線. （1）求證：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)； （2）求直線被圓截得的弦長最小時(shí)的方程. 17．知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng). （1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值. 解：（1）設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)(2，1)連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)， 取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為 . （2）設(shè)，則m表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)， 取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值 為. 點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合，要指出對(duì)應(yīng)什么樣的形，這是解決該類題的關(guān)鍵所在。還可以考慮用圓的參數(shù)方程解題。 變式1：如果實(shí)數(shù)滿足,求的最大值、2x-y的最小值 點(diǎn)撥與提示: （1）用圓的切線的性質(zhì)來求解，（2）由圓的參數(shù)方程設(shè)圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，代入2x-y，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題來求解. 解：（1）問題可轉(zhuǎn)化為求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率的最大值, 由圖形性質(zhì)可知, 由原點(diǎn)向圓作切線, 其中切線斜率的最大值即為的最大值 設(shè)過原點(diǎn)的直線為y=kx,即kx-y=0, 由,解得或, （2）x,y滿足, 另法：應(yīng)用線性規(guī)劃的思路，如圖，2x-y的最小值或最大值就在直線2x-y＝b與圓的切點(diǎn)處達(dá)到． 由,解得或,． 變式2：（xx年湖南卷）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是（ ） A.36 B. 18 C. D. 變式3：已知，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是 . 解：設(shè)，則.設(shè)圓心為，則，∴的最小值為. 18．已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,寫出直線L的方程；若不存在,說明理由 解：設(shè)直線L的斜率為１，且L的方程為y=x+b,則　消元得方程 2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,設(shè)此方程兩根為x1,x2，則x1＋x2＝-(b+1), y1+y2= x1＋x2+2b=b-1, 則AB中點(diǎn)為，又弦長為＝，由題意可列式 ＝解得b=1或b=-9，經(jīng)檢驗(yàn)b=-9不合題意．所以所求 直線方程為y=x+1 點(diǎn)評(píng)：在解決存在性問題時(shí)，一般都是假設(shè)存在，然后推理求解，最后是檢驗(yàn)。此類題極容易漏掉檢驗(yàn)． 19．自點(diǎn)（－3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓 相切，求光線L所在直線方程． 解：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1， 它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 設(shè)光線L所在直線方程是：y－3＝k(x＋3). 由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心(2，－2)到這條直線的距離等于1，即．整理得 解得． 故所求的直線方程是，或， 即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0． 20.如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，,求點(diǎn)Q的軌跡方程 點(diǎn)撥與提示：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程 對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程 解： 依題意知四邊形PAQB為矩形。設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|=，所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2)， 即x2+y2－4x－10=0，因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在 此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng) 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)， 所以x1=, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0 整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 變式1：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程. 變式2：已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（ ） 解：設(shè).∵，∴， ∴，∴.∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，∴， ∴，即，∴點(diǎn)的軌跡方程是. 反思：直線與圓在以前的高考題都是以低、中檔題出現(xiàn)。08高考對(duì)圓的要求為C級(jí)，這要引起足夠的重視．本專題重點(diǎn)：判斷直線與的位置關(guān)系，求弦長、切線長，求切線方程，求有關(guān)的軌跡問題，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍以及最值問題等．在求圓的切線時(shí)，易忽略直線斜率是否存在．在求參數(shù)的范圍、最值問題時(shí)，要從代數(shù)方法、數(shù)形結(jié)合的兩種方法入手來培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．