2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.4 二項(xiàng)分布學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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2.4 二項(xiàng)分布 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型.2.掌握二項(xiàng)分布公式.3.能利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題． 知識(shí)點(diǎn)一 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 思考1 要研究拋擲硬幣的規(guī)律，需做大量的擲硬幣試驗(yàn)，試驗(yàn)的條件有什么要求？ 思考2 試驗(yàn)結(jié)果有哪些？ 思考3 各次試驗(yàn)的結(jié)果有無影響？ 梳理 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn) (1)由________次試驗(yàn)構(gòu)成． (2)每次試驗(yàn)____________完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有____________的狀態(tài)，即________． (3)每次試驗(yàn)中P(A)＝p＞0. 特別地，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)也稱為伯努利試驗(yàn)． 知識(shí)點(diǎn)二 二項(xiàng)分布 在體育課上，某同學(xué)做投籃訓(xùn)練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投籃命中這個(gè)事件，用Bk表示僅投中k次這個(gè)事件． 思考1 用Ai如何表示B1，并求P(B1)． 思考2 試求P(B2)和P(B3)． 梳理 一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率均為p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P()＝1－p＝q. 若隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝Cpkqn－k， 其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)． 類型一 求獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 例1 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響．(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答) 引申探究 若本例條件不變，求兩人各射擊2次，甲、乙各擊中1次的概率．(1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率； (2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率． 反思與感悟 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟 (1)判斷：依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)． (2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆． (3)計(jì)算：就每個(gè)事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練1 9粒種子分別種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為.若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種，否則這個(gè)坑需要補(bǔ)種種子． (1)求甲坑不需要補(bǔ)種的概率； (2)記3個(gè)坑中恰好有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為P1，另記有坑需要補(bǔ)種的概率為P2，求P1＋P2的值． 類型二 二項(xiàng)分布 例2 學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)． (1)求在1次游戲中， ①摸出3個(gè)白球的概率； ②獲獎(jiǎng)的概率； (2)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的概率分布． 反思與感悟 (1)當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí)，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p. (2)解決二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) ①對(duì)于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必須在滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才能應(yīng)用，否則不能應(yīng)用該公式； ②判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次． 跟蹤訓(xùn)練2 袋子中有8個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取三次，求有放回時(shí)，取到黑球個(gè)數(shù)的概率分布． 類型三 二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用 例3 一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是. (1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的概率分布； (2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的概率分布； (3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率． 反思與感悟 對(duì)于概率問題的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別應(yīng)用相加或相乘事件公式；最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解． 跟蹤訓(xùn)練3 一個(gè)口袋內(nèi)有n(n>3)個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)紅球和(n－3)個(gè)白球，已知從口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球是紅球的概率為p.若6p∈N，有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個(gè)球)，在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于，求p與n的值． 1．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是________． 2．某人進(jìn)行射擊訓(xùn)練，一次擊中目標(biāo)的概率為，經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為________． 3．甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，甲隊(duì)與乙隊(duì)實(shí)力之比為3∶2，比賽時(shí)均能正常發(fā)揮技術(shù)水平，則在5局3勝制中，甲隊(duì)打完4局才勝的概率為____________． 4．下列說法正確的是________．(填序號(hào)) ①某同學(xué)投籃的命中率為0.6，在他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X～B(10,0.6)； ②某福彩的中獎(jiǎng)概率為p，某人一次買了8張，中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X～B(8，p)； ③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹梗瑒t摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量，且X～B. 5．從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個(gè)交通燈，假設(shè)在各個(gè)交通燈遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的概率分布． 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要從三方面考慮：第一，每次試驗(yàn)是在相同條件下進(jìn)行的；第二，各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；第三，每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件發(fā)生，事件不發(fā)生． 2．如果1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰為[(1－p)＋p]n展開式的第k＋1項(xiàng)，故稱該公式為二項(xiàng)分布公式． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1 條件相同． 思考2 正面向上或反面向上，即事件發(fā)生或者不發(fā)生． 思考3 無，即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立． 梳理 (1)n (2)相互獨(dú)立 兩種對(duì)立 A與 知識(shí)點(diǎn)二 思考1 B1＝(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3)， 因?yàn)镻(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且A12 3、1A23、1 2A3兩兩互斥， 故P(B1)＝0.80.22＋0.80.22＋0.80.22 ＝30.80.22＝0.096. 思考2 P(B2)＝30.20.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512. 題型探究 例1 解 (1)記“甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P(A1)＝1－P(1)＝1－()3＝. (2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2， 則P(A2)＝C()2＝， P(B2)＝C()1(1－)＝， 由于甲、乙射擊相互獨(dú)立， 故P(A2B2)＝＝. 引申探究 解 記“甲擊中1次”為事件A4，記“乙擊中1次”為事件B4， 則P(A4)＝C(1－)＝， P(B4)＝C(1－)＝. 所以甲、乙各擊中1次的概率為 P(A4B4)＝＝. 跟蹤訓(xùn)練1 解 (1)因?yàn)榧卓觾?nèi)3粒種子都不發(fā)芽的概率為 3＝， 所以甲坑不需要補(bǔ)種的概率為 1－＝. (2)3個(gè)坑恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為 P1＝C2＝. 由于3個(gè)坑都不需補(bǔ)種的概率為3， 則有坑需要補(bǔ)種的概率為 P2＝1－3＝. 所以P1＋P2＝＋＝. 例2 解 (1)①設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)， 則P(A3)＝＝. ②設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B， 則B＝A2∪A3. 又P(A2)＝＋＝，且A2，A3互斥， 所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝. (2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2， 則P(X＝0)＝(1－)2＝， P(X＝1)＝C(1－)＝， P(X＝2)＝()2＝. 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 P 跟蹤訓(xùn)練2 解 取到黑球個(gè)數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均為， 所以P(X＝0)＝C03 ＝， P(X＝1)＝C2＝， P(X＝2)＝C2＝， P(X＝3)＝C30＝. 故X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 例3 解 (1)由ξ～B，則 P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表： ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個(gè)是綠燈，第k＋1個(gè)是紅燈)＝k，k＝0,1,2,3,4； P(η＝5)＝P(5個(gè)均為綠燈)＝5. 故η的概率分布如下表： η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率為P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0) ＝1－5＝. 跟蹤訓(xùn)練3 解 由題設(shè)知，Cp2(1－p)2>. ∵p(1－p)>0， ∴不等式化為p(1－p)>， 解得下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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