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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修五教案：1-1-2 余弦定理 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 1.1.2　余弦定理（共 1 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 一、知識與技能 1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法; 2.會利用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題; 3.能利用計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算. 二、過程與方法 1.利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論; 2.通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題. 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力； 2.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一． 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn) 余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用.  教學(xué)難點(diǎn) 1.向量知識在證明余弦定理時(shí)的應(yīng)用,與向量知識的聯(lián)系過程; 2.余弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路; 3.勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用． 教學(xué) 準(zhǔn)備 投影儀、幻燈片兩張 第一張:課題引入圖片(記作1.1.2A) 如圖(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2 問題:在圖(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a? 第二張:余弦定理(記作1. 1.2B) 余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍. 形式一: a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC, 形式二:cosA=,cosB=,cosC= 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應(yīng)用,在體會向量應(yīng)用的同時(shí),解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對角這兩類解三角形問題.當(dāng)時(shí)對于已知兩邊夾角求第三邊問題未能解決,下面我們來看幻燈片1.1.2A,如圖(1)，在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對于任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題. 在△ABC中,設(shè)BC=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)B、C、A來表示A. 師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示,DB可利用AB-AD轉(zhuǎn)化為AD,進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解. 解：過C作CD⊥AB,垂足為D,則在Rt△CDB中,根據(jù)勾股定理可得 A2=CD2+BD2. ∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2, 又∵BD2=(C-AD)2=C2-2CAD+AD2, ∴A2=B2-AD2+C2-2CAD+AD2=B2+C2-2CAD. 又∵在Rt△ADC中,AD=BCOsA, ∴a2=b2+c2-2abcosA. 類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB. c2=a2+b2-2abcosC. 另外,當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論,當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論,這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.(給出幻燈片1.1.2B) 推進(jìn)新課 1.余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍. 在幻燈片1.1.2B中我們可以看到它的兩種表示形式: 形式一: a2=b2+c2-2bccosA, b2=c+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC. 形式二: , , . 師 在余弦定理中,令C =90時(shí),這時(shí)cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.另外,對于余弦定理的證明,我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進(jìn)一步體會向量知識的工具性作用.  2.向量法證明余弦定理 (1)證明思路分析 師 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？ 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn),從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題．由于涉及邊長問題，那么可以與哪些向量知識產(chǎn)生聯(lián)系呢? 生 向量數(shù)量積的定義式ab=|a||b|cosθ,其中θ為A、B的夾角. 師 在這一點(diǎn)聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,但又有所區(qū)別.首先因?yàn)闊o須進(jìn)行正、余弦形式的轉(zhuǎn)換,也就少去添加輔助向量的麻煩.當(dāng)然,在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過向量加法的三角形法則,而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以兩向量夾角為引導(dǎo),比如證明形式中含有角C,則構(gòu)造這一數(shù)量積以使出現(xiàn)COsC.同樣在證明過程中應(yīng)注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提. (2)向量法證明余弦定理過程: 如圖，在△ABC中,設(shè)AB、BC、CA的長分別是c、a、b. 由向量加法的三角形法則，可得, ∴即B2=C2+A2-2ACCOsB. 由向量減法的三角形法則，可得, ∴即a2=b2+c2-2bccosA. 由向量加法的三角形法則,可得, ∴即c2=a2+b2-2abcosC.  (1)上述證明過程中應(yīng)注意正確運(yùn)用向量加法(減法)的三角形法則. (2)在證明過程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意的是兩向量夾角的確定,與屬于同起點(diǎn)向量,則夾角為A;與是首尾相接,則夾角為角B的補(bǔ)角180-B;與是同終點(diǎn),則夾角仍是角C.  師 思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？ 生（留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生自己動手推出）從余弦定理，又可得到以下推論： . 師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？ 生（學(xué)生思考片刻后會總結(jié)出）若△ABC中，C =90，則cosC=0，這時(shí)c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例． 師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)果都變成可定量計(jì)算的公式了． 師 在證明了余弦定理之后,我們來進(jìn)一步學(xué)習(xí)余弦定理的應(yīng)用(給出幻燈片1.1.2B) 通過幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到,利用余弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題: (1)已知三邊,求三個(gè)角. 這類問題由于三邊確定,故三角也確定,解唯一,課本P8例4屬這類情況. (2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角. 這類問題第三邊確定,因而其他兩個(gè)角唯一,故解唯一,不會產(chǎn)生類似利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷取舍等問題. 接下來,我們通過例題來進(jìn)一步體會一下. ［例題剖析］ 【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41，解三角形（角度精確到1，邊長精確到1 cm）. 解：根據(jù)余弦定理， a2=b2+c2-2bccosA=602+342-26034cos41≈3 600+1 156-4 0800.754 7≈1 676.82,所以A≈41 cm. 由正弦定理得sinC=≈≈0.544 0, 因?yàn)镃不是三角形中最大的邊，所以C是銳角.利用計(jì)數(shù)器可得C≈33, B=180-A-C=180-41-33=106. 【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形. 解：由余弦定理的推論,得 cosA=≈0.554 3,A≈5620′; cosB=≈0.839 8,B≈3253′; C =180-(A+B)=180-(5620′+3253′)=9047′.  補(bǔ)充例題： 【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精確到1) 分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問題,可以利用余弦定理,意在使學(xué)生熟悉余弦定理的形式二. 解：∵, ∴A≈44. ∵cosC=≈0.807 1, ∴C≈36. ∴B=180-(A+C)=180-(44+36)=100.  (1)為保證求解結(jié)果符合三角形內(nèi)角和定理,即三角形內(nèi)角和為180,可用余弦定理求出兩角,第三角用三角形內(nèi)角和定理求出. (2)對于較復(fù)雜運(yùn)算,可以利用計(jì)算器運(yùn)算. 【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=8228′,解這個(gè)三角形(邊長保留四個(gè)有效數(shù)字,角度精確到1′). 分析:此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類型,可通過余弦定理形式一先求出第三邊,在第三邊求出后其余角求解有兩種思路:一是利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角,二是利用兩邊和一邊對角利用正弦定理求解,但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經(jīng)驗(yàn),若用正弦定理需對兩種結(jié)果進(jìn)行判斷取舍,而在0～180之間,余弦有唯一解,故用余弦定理較好. 解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-22.7303.696cos8228′, 得c≈4.297. ∵cosA=≈0.776 7, ∴A≈392′. ∴B=180-(A+C)=180-(392′+8228′)=5830′.  通過例2,我們可以體會在解斜三角形時(shí),如果正弦定理與余弦定理都可選用,那么求邊用兩個(gè)定理均可,求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩. 【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60,求C及S△ABC. 分析:根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C,再利用正弦定理求出邊C,而三角形面積由公式S△ABC=acsinB可以求出. 若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關(guān)于C的方程,亦能達(dá)到求C的目的. 下面給出兩種解法. 解法一:由正弦定理得, ∴A1=81.8,A2=98.2, ∴C1=38.2,C2=21. 8. 由,得c1=3,c2=5, ∴S△ABC=或S△ABC=. 解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB, ∴72=c+82-28ccos60, 整理得c2-8c+15=0, 解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=或S△ABC= .  在解法一的思路里,應(yīng)注意由正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果,避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處,體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處,即可以用之建立方程,從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決,故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意. 綜合上述例題,要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形,同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊、一角解三角形可用余弦定理解之. 課堂練習(xí) 1.在△ABC中: (1)已知c=8,b=3,b=60,求A; (2)已知a=20,bB=29,c=21，求B; (3)已知a=33,c=2,b=150,求B; (4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A. 解： (1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-283cos60=49.∴A=7. (2)由,得.∴B=90. (3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2332cos150=49.∴b=7. (4)由,得.∴A=45. 評述:此練習(xí)目的在于讓學(xué)生熟悉余弦定理的基本形式,要求學(xué)生注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性及解題效率. 2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1). (1)a=31,b=42,c=27; (2)a=9,b=10,c=15. 解：(1)由,得≈0.675 5,∴A≈48. 由≈-0.044 2,∴B≈93. ∴C=180-(A+B)=180-(48+93)≈39. (2)由得≈0.813 3, ∴A≈36. 由≈0.763 0, ∴B≈40. ∴C=180-(A+B)=180-(36+40)≈104. 評述:此練習(xí)的目的除了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉余弦定理之外,還要求學(xué)生能夠利用計(jì)算器進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算.同時(shí),增強(qiáng)解斜三角形的能力. 課堂小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí),我們一起研究了余弦定理的證明方法,同時(shí)又進(jìn)一步了解了向量的工具性作用,并且明確了利用余弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題: （1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊、一角解三角形． 布置作業(yè) 課本第8頁練習(xí)第1（1）、2（1）題. 板書設(shè)計(jì) 余弦定理 1.余弦定理　　　　 2.證明方法: 3.余弦定理所能解決的兩類問題: (1)平面幾何法; (1)已知三邊求任意角; 教學(xué)反思 課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對過去的知識有了新的認(rèn)識，同時(shí)使新知識建立在已有知識的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識結(jié)構(gòu)．設(shè)置這樣的問題，是為了更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡潔，通過向量知識給予證明,引起學(xué)生對向量知識的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)感受向量法證明余弦定理的簡便之處.教科書就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力．