2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》.doc
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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)教案1角的概念(1)任意角:定義:一個(gè)角可以看做平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形;分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S|k360,kZ(3)象限角:使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限2弧度制(1)定義:把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,正角的弧度數(shù)是正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化:180 rad,1 rad,1 rad.(3)扇形的弧長(zhǎng)公式:l|r,扇形的面積公式:Slr|r2.3任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)時(shí),sin y,cos x,tan (x0)三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表:三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sin Rcos Rtan |k,kZ4.三角函數(shù)線如下圖,設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過(guò)P作PMx軸,垂足為M,過(guò)A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線;有向線段OM為余弦線;有向線段AT為正切線【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)角終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,),那么sin ,cos ;同理角終邊上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0),那么sin y0,cos x0.()(2)銳角是第一象限角,反之亦然()(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(4)點(diǎn)P(tan ,cos )在第三象限,則角終邊在第二象限()(5)(0,),則tan sin .()(6)為第一象限角,則sin cos 1.()1角870的終邊所在的象限是第_象限答案三解析由8701 080210,知870角和210角終邊相同,在第三象限2已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_答案解析設(shè)圓的半徑為r,則sin 1,r,2弧度的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為2r.3已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角終邊上一點(diǎn),且sin ,則y_.答案8解析因?yàn)閟in ,所以y0,且y264,所以y8.4函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)答案(kZ)解析2cos x10,cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)題型一角及其表示例1(1)終邊在直線yx上的角的集合是_(2)如果是第三象限角,那么角2的終邊落在_答案(1)|k,kZ(2)第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上解析(1)在(0,)內(nèi)終邊在直線yx上的角是,終邊在直線yx上的角的集合為|k,kZ(2)2k2k,kZ,4k224k3,kZ.角2的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角(2)利用終邊相同的角的集合S|2k,kZ判斷一個(gè)角所在的象限時(shí),只需把這個(gè)角寫成0,2)范圍內(nèi)的一個(gè)角與2的整數(shù)倍的和,然后判斷角的象限(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),對(duì)于始邊為x軸非負(fù)半軸的角,下列命題中正確的是_(填序號(hào))第一象限中的角一定是銳角;終邊相同的角必相等;相等的角終邊一定相同;不相等的角終邊一定不同(2)已知角45,在區(qū)間720,0內(nèi)與角有相同終邊的角_.答案(1)(2)675或315解析(1)第一象限角是滿足2k2k,kZ的角,當(dāng)k0時(shí),它都不是銳角,與角終邊相同的角是2k,kZ;當(dāng)k0時(shí),它們都與不相等,亦即終邊相同的角可以不相等,但不相等的角終邊可以相同(2)由終邊相同的角關(guān)系知k36045,kZ,取k2,1,得675或315.題型二三角函數(shù)的概念例2(1)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y2x上,則cos 2_.(2)若sin tan 0,且0,則角是第_象限角思維點(diǎn)撥(1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個(gè)點(diǎn)沒(méi)有關(guān)系,因此知道了終邊所在的直線,可在這個(gè)直線上任取一點(diǎn),然后按照三角函數(shù)的定義來(lái)計(jì)算,最后用倍角公式求值(2)可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷答案(1)(2)三解析(1)取終邊上一點(diǎn)(a,2a),a0,根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,可得cos ,故cos 22cos21.(2)由sin tan 0可知sin ,tan 異號(hào),從而角為第二或第三象限角由0可知cos ,tan 異號(hào),從而角為第三或第四象限角,故角為第三象限角思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義,求一個(gè)角的三角函數(shù)值,需確定三個(gè)量:角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.(2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號(hào)來(lái)確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào),理解并記憶:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(1)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(8m,6sin 30),且cos ,則m的值為_(kāi)(2)若是第二象限角,則_0.(判斷大小)答案(1)(2)0,即m.(2)是第二象限角,1cos 0,0sin 1,sin(cos )0,0),所在圓的半徑為R.(1)若60,R10 cm,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積;(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C (C0),當(dāng)為多少弧度時(shí),該扇形有最大面積?思維點(diǎn)撥(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到;(2)建立關(guān)于的函數(shù)解(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l,弓形面積為S弓,則60,R10,l10 (cm),S弓S扇S10102sin 50 (cm2)(2)扇形周長(zhǎng)C2Rl2RR,R,S扇R22.當(dāng)且僅當(dāng)24,即2時(shí),扇形面積有最大值.思維升華涉及弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算時(shí),可用的公式有角度表示和弧度表示兩種,其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易記好用,在使用前,應(yīng)將圓心角用弧度表示弧長(zhǎng)和扇形面積公式:l|R,S|R2.已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm,當(dāng)它的半徑為_(kāi)和圓心角為_(kāi)弧度時(shí),扇形面積最大,這個(gè)最大面積是_答案1 cm21 cm2解析設(shè)扇形圓心角為,半徑為r,則2r|r4,|2.S扇形|r22rr2(r1)21,當(dāng)r1時(shí),(S扇形)max1,此時(shí)|2.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例:(1)函數(shù)y 的定義域?yàn)開(kāi)(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動(dòng)當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于C(2,1)時(shí),的坐標(biāo)為_(kāi)思維點(diǎn)撥(1)求函數(shù)定義域可轉(zhuǎn)化為解不等式sin x,利用三角函數(shù)線可直觀清晰地得出角x的范圍(2)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵,可在圖中作三角形,尋找P點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系解析(1)sin x,作直線y交單位圓于A、B兩點(diǎn),連結(jié)OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍,故滿足條件的角的集合為x|2kx2k,kZ(2)如圖所示,過(guò)圓心C作x軸的垂線,垂足為A,過(guò)P作x軸的垂線與過(guò)C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2,所以劣弧2,即圓心角PCA2,則PCB2,所以PBsin(2)cos 2,CBcos(2)sin 2,所以xP2CB2sin 2,yP1PB1cos 2,所以(2sin 2,1cos 2)答案(1)2k,2k, kZ(2)(2sin 2,1cos 2)溫馨提醒(1)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況,然后觀察適合條件的角的位置;(2)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題要抓住旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角的變化,結(jié)合弧長(zhǎng)公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系.方法與技巧1在利用三角函數(shù)定義時(shí),點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn),如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)OPr一定是正值2三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn),也是難點(diǎn),在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦3在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí),利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧失誤與防范1注意易混概念的區(qū)別:象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角第一類是象限角,第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化,在同一個(gè)式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用3已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間:40分鐘)1角的終邊過(guò)點(diǎn)P(1,2),則sin _.答案解析由三角函數(shù)的定義,得sin .2若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng),則其圓心角(0,)的弧度數(shù)為_(kāi)答案解析設(shè)圓半徑為r,則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為r,所以rr,.3已知角x的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin,cos),則角x的最小正值為_(kāi)答案解析因?yàn)閟in xcos,cos xsin,所以x2k(kZ),故當(dāng)k1時(shí),x,即角x的最小正值為.4若是第三象限角,則y的值為_(kāi)答案0解析是第三象限角,2k2k(kZ),kk(kZ),角在第二象限或第四象限當(dāng)在第二象限時(shí),y0,當(dāng)在第四象限時(shí),y0,綜上,y0.5已知角的終邊與480角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)P(x,y)在角的終邊上(不是原點(diǎn)),則的值等于_答案解析由題意知角的終邊與240角的終邊相同,又P(x,y)在角的終邊上,tan tan 240,于是.6設(shè)為第二象限角,其終邊上一點(diǎn)為P(m,),且cos m,則sin 的值為_(kāi)答案解析設(shè)P(m,)到原點(diǎn)O的距離為r,則cos m,r2,sin .7如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為,則cos _.答案解析由題意及圖,易知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以cos .8函數(shù)y 的定義域是_答案(kZ)解析由題意知即x的取值范圍為2kx2k,kZ.9已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(,m) (m0)且sin m,試判斷角所在的象限,并求cos 和tan 的值解由題意,得r,所以sin m.因?yàn)閙0,所以m,故角是第二或第三象限角當(dāng)m時(shí),r2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,),角是第二象限角,所以cos ,tan ;當(dāng)m時(shí),r2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,),角是第三象限角,所以cos ,tan .10已知扇形的圓心角是,半徑為R,弧長(zhǎng)為l.(1)若60,R10 cm,求扇形的弧長(zhǎng)l.(2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?(3)若,R2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面積解(1)60,l10(cm)(2)由已知得,l2R20,所以SlR(202R)R10RR2(R5)225,所以當(dāng)R5時(shí),S取得最大值25,此時(shí)l10,2.(3)設(shè)弓形面積為S弓由題知lcm,S弓S扇形S三角形2222sin()(cm2)B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間:20分鐘)1若一扇形的圓心角為72,半徑為20 cm,則扇形的面積為_(kāi)cm2.答案80解析72,S扇形r220280(cm2)2已知角2k(kZ),若角與角的終邊相同,則y的值為_(kāi)答案1解析由2k(kZ)及終邊相同的概念知,角的終邊在第四象限,又角與角的終邊相同,所以角是第四象限角,所以sin 0,tan 0.所以y1111.3在直角坐標(biāo)系中,O是原點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),將OA繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450到B點(diǎn),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1,)解析設(shè)B(x,y),由題意知OAOB2,BOx60,且點(diǎn)B在第一象限,x2cos 601,y2sin 60,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,)4設(shè)MP和OM分別是角的正弦線和余弦線,則給出的以下不等式:MPOM0;OM0MP;OMMP0;MP0OM.其中正確的是_答案解析角在第二象限,OM0,正確5如圖所示,動(dòng)點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A(4,0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度,點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度,求點(diǎn)P,點(diǎn)Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間、相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P,Q點(diǎn)各自走過(guò)的弧長(zhǎng)解設(shè)P,Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是t,則tt|2.所以t4(秒),即第一次相遇的時(shí)間為4秒設(shè)第一次相遇點(diǎn)為C,第一次相遇時(shí)P點(diǎn)和Q點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)到終邊在4的位置,則xCcos42,yCsin42.所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)P點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)為4,Q點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)為4.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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