《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第2課時(shí) 高度、角度問題練習(xí) 新人教A版必修5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第2課時(shí) 高度、角度問題練習(xí) 新人教A版必修5.doc（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第一章　1.2　第2課時(shí) 高度、角度問題 A級　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．某工程中要將一長為100 m傾斜角為75的斜坡，改造成傾斜角為30的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(　A　) A．100 m　　　　　　 B．100 m C．50(＋) m D．200 m [解析]　如圖，由條件知， AD＝100sin75＝100sin(45＋30) ＝100(sin45cos30＋cos45sin30)＝25(＋)， CD＝100cos75＝25(－)， BD＝＝＝25(3＋)． ∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)． 2．要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的∠BCD＝120，CD＝40 m，則電視塔的高度為(　D　) A．10 m B．20 m C．20 m D．40 m [解析]　設(shè)AB＝x m，則BC＝x m，BD＝x m，在△BCD中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos120， ∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)． 3．若甲船在B島的正南方A處，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們的航行時(shí)間是(　A　) A． min B． h C．21.5 min D．2.15 h [解析]　當(dāng)時(shí)間t<2.5 h時(shí)，如圖． ∠CBD＝120，BD＝10－4t，BC＝6t． 在△BCD中，利用余弦定理，得 CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2(10－4t)6tcos120＝28t2－20t＋100． 當(dāng)t＝＝(h)，即 min時(shí)，CD2最小，即CD最小為． 當(dāng)t≥2.5 h時(shí)，CF＝15，CF2＝>CD2， 故距離最近時(shí)，t<2.5 h，即t＝ min． 4．(2018－2019學(xué)年度湖南武岡二中高二月考)在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30，60，則塔高為(　A　) A． m B． m C．200 m D．200 m [解析]　如圖， 由題意可知，∠ABC＝30，AB＝200， ∴AC＝200tan30＝． 過點(diǎn)D作DE⊥AB，E為垂足，在△DEB中， DE＝，∠DBE＝60， ∴BE＝＝， ∴塔高CD＝AB－BE＝ m． 5．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距(　D　) A．10 m B．100 m C．20 m D．30 m [解析]　設(shè)炮塔頂A、底D，兩船B、C，則∠ABD＝45，∠ACD＝30，∠BDC＝30，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DBDCcos30＝900， ∴BC＝30． 6．如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB＝45，沿傾斜角為30的山坡向山頂走1 000 m到達(dá)S點(diǎn)，又測得山頂仰角∠DSB＝75，則山高BC為(　D　) A．500 m B．200 m C．1 000 m D．1 000 m [解析]　∵∠SAB＝45－30＝15， ∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45－(90－75)＝30， 在△ABS中，AB＝＝ ＝1 000， ∴BC＝ABsin45＝1 000＝1 000(m)． 二、填空題 7．一樹干高15 m，被臺風(fēng)吹斷并歪倒，折斷部分(長5 m)與殘存樹干成120角，樹干折斷處距離地面的高度是____m.(不求近似值) [解析]　如圖，大樹折斷部分BC＝5 m，殊存樹干為AB，折斷部分與殘存樹干所成的角為∠ABC＝120． 作AD⊥CB交CB延長線于點(diǎn)D， 作BE⊥AC于點(diǎn)E，BE的長為樹干折斷處距離地面的高度． ∵樹干高15 m，∴AB＋BC＝15(m)， ∴AB＝15－BC＝10(m)． ∵∠ABC＝120，∴∠ABD＝60． ∴∠BAD＝90－∠ABD＝30． ∴BD＝AB＝5(m)． ∴AD＝＝＝5(m)． ∴CD＝CB＋BD＝10(m)． ∴AC＝＝＝5(m)， ∵S△ABC＝ACBE＝BCAD， ∴BE＝＝＝(m)． 8．甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處，乙船正以a n mile/h的速度向北行駛．已知甲船的速度是a n mile/h，問甲船應(yīng)沿著__北偏東30__方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？ [解析]　如圖，設(shè)經(jīng)過t h兩船在C點(diǎn)相遇， 則在△ABC中， BC＝at，AC＝at，B＝180－60＝120， 由＝， 得sin∠CAB＝＝＝． ∵0<∠CAB<90， ∴∠CAB＝30，∴∠DAC＝60－30＝30． 即甲船應(yīng)沿北偏東30的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇． 三、解答題 9．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(－1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A處2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ [解析]　設(shè)緝私船用t小時(shí)在D處追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠CAB＝(－1)2＋22－2(－1)2cos120＝6，∴BC＝． 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠ABC＝sin∠BAC＝， ∴∠ABC＝45，∴BC與正北方向垂直． ∴∠CBD＝120.在△BCD中，由正弦定理，得 ＝， ∴＝，∴sin∠BCD＝， ∴∠BCD＝30． 故緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船． B級　素養(yǎng)提升 一、選擇題 1．渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120角的方向行駛，水流速度為4 km/h，則渡輪實(shí)際航行的速度為(精確到0.1 km/h)(　C　) A．14.5 km/h B．15.6 km/h C．13.5 km/h D．11.3 km/h [解析]　由物理學(xué)知識， 畫出示意圖，如圖．AB＝15，AD＝4， ∠BAD＝120.在?ABCD中，D＝60， 在△ADC中，由余弦定理，得 AC＝ ＝＝≈13.5(km/h)． 故選C． 2．某人在C點(diǎn)測得某塔在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿南偏東40方向前進(jìn)10 m到D，測得塔頂A的仰角為30，則塔高為(　C　) A．15 m B．5 m C．10 m D．12 m [解析]　如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45，則OC＝OA＝h． 在Rt△AOD中，∠ADO＝30，則OD＝h． 在△OCD中，∠OCD＝120，CD＝10， 由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OCCDcos∠OCD， 即(h)2＝h2＋102－2h10cos120， ∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)． 3．如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30，45，60，且AB＝BC＝60 m，則建筑物的高度為(　D　) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m [解析]　設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得 cos∠PBA＝， ① cos∠PBC＝. ② ∵∠PBA＋∠PBC＝180， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)， 即建筑物的高度為30 m． 二、填空題 4．學(xué)校里有一棵樹，甲同學(xué)在A地測得樹尖的仰角為45，乙同學(xué)在B地測得樹尖的仰角為30，量得AB＝AC＝10 m樹根部為C(A、B、C在同一水平面上)，則∠ACB＝__30__． [解析]　如圖，AC＝10，∠DAC＝45，∴DC＝10， ∵∠DBC＝30，∴BC＝10， cos∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝30． 5．如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)．從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝__150__ m ． [解析]　如圖， 在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45，∴AC＝100． 在△AMC中，∠CAM＝75，∠ACM＝60， ∴∠AMC＝45． 由正弦定理知＝，∴AM＝100． 在Rt△AMN中，∠NAM＝60， ∴MN＝AMsin60＝100＝150(m)． 三、解答題 6．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12 n mile，漁船乙以10 n mile/h的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2 h追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sinα的值． [解析]　(1)依題意可得，在△ABC中，∠BAC＝180－60＝120，AB＝12，AC＝102＝20，∠BCA＝α． 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC ＝122＋202－21220cos120＝784． 解得BC＝28． 所以漁船甲的速度為＝14 n mile/h． (2)在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝． 即sinα＝＝＝． C級　能力拔高 1．據(jù)氣象臺預(yù)報(bào)，在S島正東距S島300 km的A處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30 km的速度向北偏西30的方向移動(dòng)，在距臺風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響． 問：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始受到臺風(fēng)的影響？持續(xù)時(shí)間多久？說明理由． [解析]　如圖，設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過t h到達(dá)B點(diǎn)，由題意： ∠SAB＝90－30＝60， 在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60， 由余弦定理，得 SB2＝SA2＋AB2－2SAABcos∠SAB ＝3002＋(30t)2－230030tcos60． 若S島受到臺風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件 |SB|≤270即SB2≤2702， 化簡整理得t2－10t＋19≤0，解之得5－≤t≤5＋， 所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過(5－)h S島開始受到影響，(5＋)h后影響結(jié)束，持續(xù)時(shí)間： (5＋)－(5－)＝2(h)． 答：S島從現(xiàn)在起經(jīng)過(5－)h受到臺風(fēng)影響，且持續(xù)時(shí)間為2 h． 2．如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時(shí)6 km的速度步行了1 min以后，在點(diǎn)D處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值為60． (1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時(shí)，走了幾分鐘； (2)求塔的高AB.(結(jié)果保留根號，不求近似值) [解析]　(1)依據(jù)題意知，在△DBC中，∠BCD＝30，∠DBC＝180－45＝135，CD＝6 000＝100(m)， ∠BDC＝45－30＝15，由正弦定理，得＝， ∴BC＝＝＝ ＝＝50(－1)(m)， 在Rt△ABE中，tanα＝， ∵AB為定長，當(dāng)BE的長最小時(shí)，α取最大值60， 這時(shí)BE⊥CD，當(dāng)BE⊥CD時(shí)，在Rt△BEC中，EC＝BCcos∠BCE＝50(－1)＝25(3－)(m)， 設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時(shí)，走了t min，則t＝60＝60＝(min)． (2)由(1)知當(dāng)α取得最大值60時(shí)，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BCsin∠BCD， 所以AB＝BEtan60＝BCsin∠BCDtan60＝50(－1)＝25(3－)(m)，即所求塔高為25(3－)m．