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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章3-1《不等關(guān)系與不等式》（第2課時(shí)）《教案》 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．知識(shí)與技能：通過具體情景，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量不等關(guān)系，理解不等式（組）的實(shí)際背景，掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式． 2．過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會(huì)依據(jù)具體問題的實(shí)際背景分析問題、解決問題的方法． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過解決具體問題，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣． 二、重難點(diǎn)： 重點(diǎn)：掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式． 難點(diǎn)：利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式 三、教學(xué)模式與教法、學(xué)法 教學(xué)模式 ：本課采用“探究——發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式． 教師的教法：利用多媒體輔助教學(xué)，突出活動(dòng)的組織設(shè)計(jì)與方法的引導(dǎo)． “抓三線”，即(一)知識(shí)技能線（二）過程與方法線（三）能力線. “抓兩點(diǎn)”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，二抓知識(shí)的切入點(diǎn). 學(xué)法：突出探究、發(fā)現(xiàn)與交流． 四、教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引入新知 歸納抽象形成概念 比較分析，深化認(rèn)識(shí) 一、溫故知新， 1．同向不等式、異向不等式的概念： 同向不等式：如：與；與． 異向不等式：如：與． 2．?dāng)?shù)運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系： ； ； ． 問題1.我們已學(xué)習(xí)過等式、不等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？ 回顧知識(shí)，提出問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。 學(xué)生；等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式. 由復(fù)習(xí)引入，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部發(fā)現(xiàn)問題。 二、知識(shí)探究： 性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向_________. 性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向________.（ 性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向________. 師 不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言表達(dá)出來.（讓三位同學(xué)板演） 性質(zhì)1：a＜ba+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞ba+c＞b+c（或a-c＞b-c）. 性質(zhì)2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0ac＞bc(或). 性質(zhì)3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0ac＜bc(或). （用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)不等式的性質(zhì)，目的是為下面用符號(hào)進(jìn)行不等式性質(zhì)與證明打基礎(chǔ)，給學(xué)生也有一適應(yīng)過程.老師對(duì)學(xué)生的板演作點(diǎn)評(píng)） 師 性質(zhì)2、性質(zhì)3兩條性質(zhì)中，對(duì)a、b、c有什么要求？ 教師精講；師 若點(diǎn)Ａ對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)Ｂ對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為b，因?yàn)辄c(diǎn)Ａ在點(diǎn)Ｂ的左邊，所以可得a＞b.a＞b表示a減去b所得的差是一個(gè)大于０的數(shù)即正數(shù)，即a＞ba-b＞0.它的逆命題是否正確？ 師 類似地，如果a＜b，則a減去b是負(fù)數(shù)，如果a=b，則a減去b等于０，它們的逆命題也正確.一般地, a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0. 師 這就是實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的一部分，還有任意兩個(gè)正數(shù)的和與積都是正數(shù)等.等價(jià)符號(hào)左邊不等式反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，右邊不等式反映的則是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合起來就成為實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，它是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，是證明不等式以及解不等式的主要依據(jù). 讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氛圍.在教師的指導(dǎo)下，一方面讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從已知到未知，步步深入的過程，讓學(xué)生自己感受生活中的不等關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)化的過程。 生 對(duì)a、b沒什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負(fù)數(shù). 培養(yǎng)學(xué)生分析，抽象能力、感受等比數(shù)列發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程。 培養(yǎng)學(xué)生善于聯(lián)想，體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而加深對(duì)等差數(shù)列及其性質(zhì)的理解。 三、典例分析： 【例1】 比較下列各組數(shù)的大?。╝≠b）. (1)與 (a＞0,b＞0); （2）a4－b4與4a3（a－b）. 師 比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來確定. 師 同學(xué)們完成得很好，證明不等式時(shí)，應(yīng)注意有理有據(jù)、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，還應(yīng)條理清晰.比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用. 【問題2】 求證：（1）a＞b且c＞0ac＞bc； （2）a＞ba+c＞b+c. 師 請(qǐng)同學(xué)們思考第一小問該如何證明？ 師 這位同學(xué)證明的思路很好，很嚴(yán)密.同學(xué)們還有其他的證明思路嗎？ （按照教材對(duì)不等式的證明要求，此處對(duì)不等式證明的分析法與綜合法沒有點(diǎn)明，只是讓學(xué)生通過具體的問題了解不等式證明的分析法與綜合法的證題思路） 【問題3】已知a＞b＞0,c＜0，求證：. 師 前面我們已經(jīng)利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)證明了一些簡(jiǎn)單的不等式.請(qǐng)同學(xué)思考此該如何證明？ 引導(dǎo)學(xué)生共同分析解決問題，熟悉并強(qiáng)化理解。 解：（1）， ∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0. ∴.（2）a4-b4-4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］ =-(a-b)2(3a2+2ab+b2) =-(a-b)2［2a2+(a+b)2］, ∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào)), 又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0. ∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0. ∴a4-b4＜4a3(a-b). 例題2. 生 可用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意兩個(gè)正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c＞0，即ac＞bc. 例題3.生 可由條件到結(jié)論.∵a＞b＞0，兩邊同乘以正數(shù)，得＞，即＜b.又∵c＜0，∴. 課堂練習(xí) 1.已知x＞y＞z＞0，求證：. 分析：證明簡(jiǎn)單不等式常依據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)及直接運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)及推論，也可作差比較. 證明：∵x＞y,∴x-y＞0.∴. 又y＞z,∴.① ∵y＞z,∴-y＜-z.∴x-y＜x-z. ∴0＜x-y＜x-z.∴. 又z＞0,∴.② 由①②得. 2.試判斷下列各對(duì)整式的大?。?1)m2-2m+5和－2m+5；(2)a2-4a+3和－4a+1. 點(diǎn)撥：根據(jù)不等式的性質(zhì)1，我們可以得到另一種比較兩個(gè)數(shù)(或代數(shù)式)的大小的方法： 若A－B＞0，則A＞B；若A－B=0，則A=B；若A－B＜0，則A＜B. 這種比較大小的方法，稱為“作差比較法”，簡(jiǎn)稱“比差法”.本例就可以用這種方法. 學(xué)生分組討論自主探究，教師巡視指導(dǎo)，作出評(píng)價(jià)。 1.小結(jié)：運(yùn)用性質(zhì)證明不等式時(shí)，應(yīng)注意有理有據(jù)，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，還應(yīng)條理清晰.上述的證明方法采用的證明思路是由條件到結(jié)論，也可采用由結(jié)論到條件的證明思路去證明，請(qǐng)同學(xué)們不妨嘗試一下. 2.解：(1)∵（m2-2m+5）-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5 =m2，∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0. ∴m2-2m+5≥-2m+5. (2)∵(a2-4a+3)-(-4a+1) =a2-4a+3+4a-1=a2+2, ∵a2≥0，∴a2+2≥2＞0. ∴a2-4a+3＞-4a+1. 引導(dǎo)學(xué)生通過自主分析思考、合作交流解決問題，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。 五、課堂小結(jié)： 常用的不等式的基本性質(zhì)及證明： （1）a＞b,b＞c a＞c; a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0 (a-b)+(b-c)＞0a-c＞0a＞c. （2）a＞ba+c＞b+c; a＞ba-b＞0 (a-b)+(c-c)＞0 (a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c. （3）a＞b,c＞0ac＞bc; a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0 (a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc. （4）a＞b,c＜0ac＜bc. a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0 (a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完善的過程. 課后作業(yè) 1.課本P75 習(xí)題3.1 B組 第1\、2、3、4題 2. 配套練習(xí) 學(xué)生課后完成. 進(jìn)一步對(duì)所學(xué)知識(shí)鞏固深化。 .