2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第四章 數(shù)列 考點(diǎn)測試30 等比數(shù)列 文(含解析).docx
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考點(diǎn)測試30等比數(shù)列高考概覽本考點(diǎn)是高考必考知識點(diǎn),??碱}型為選擇題、填空題和解答題,分值5分、12分,中、低等難度考綱研讀1理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系一、基礎(chǔ)小題1在等比數(shù)列an中,已知a11,a48,則a5()A16 B16或16C32 D32或32答案A解析由a4a1q3,則q2,所以a5a4q16故選A2在等比數(shù)列an中,已知a7a125,則a8a9a10a11()A10 B25 C50 D75答案B解析因?yàn)閍7a12a8a11a9a105,所以a8a9a10a115225故選B3已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù),且a2a69a4,a21,則a1的值為()A3 B3 C D答案D解析設(shè)數(shù)列an的公比為q,由a2a69a4,得a2a2q49a2q2,解得q29,所以q3或q3(舍去),所以a1故選D4已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sna3n1b,則()A3 B1 C1 D3答案A解析等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sna3n1b,a1S1ab,a2S2S13abab2a,a3S3S29ab3ab6a,等比數(shù)列an中,aa1a3,(2a)2(ab)6a,解得3故選A5若等比數(shù)列an滿足anan116n,則公比為()A2 B4 C8 D16答案B解析由anan1aq16n0知q0,又q216,所以q4故選B6設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若3,則()A2 B C D1或2答案B解析設(shè)S2k,則S43k,由數(shù)列an為等比數(shù)列(易知數(shù)列an的公比q1),得S2,S4S2,S6S4為等比數(shù)列,又S2k,S4S22k,S6S44k,S67k,故選B7設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比q2,且a1a2a3a30230,則a3a6a9a30()A210 B220 C216 D215答案B解析因?yàn)閍1a2a3a,a4a5a6a,a7a8a9a,a28a29a30a,所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9a28a29a30(a2a5a8a29)3230所以a2a5a8a29210則a3a6a9a30(a2q)(a5q)(a8q)(a29q)(a2a5a8a29)q10210210220,故選B8在數(shù)列an中,已知a11,an2(an1an2a2a1)(n2,nN*),則這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)和S4_答案27解析由已知n2時(shí),an2Sn1,an12Sn,an1an2an,即an13an(n2),anS41261827二、高考小題9(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為()Af Bf Cf Df答案D解析由題意知,十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f,公比為的等比數(shù)列,設(shè)該等比數(shù)列為an,則a8a1q7,即a8f,故選D10(2018浙江高考)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1a2a3a4ln (a1a2a3)若a11,則()Aa1a3,a2a3,a2a4Ca1a4 Da1a3,a2a4答案B解析設(shè)f(x)ln xx(x0),則f(x)1,令f(x)0,得0x1,令f(x)1,f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,)上為減函數(shù),f(x)f(1)1,即有l(wèi)n xx1從而a1a2a3a4ln (a1a2a3)a1a2a31,a41,公比q0,矛盾若q1,則a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1q)(1q2)0,ln (a1a2a3)ln a10,也矛盾1q0從而q20,a1a3同理,q21,a2a2故選B11(2017全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞 C5盞 D9盞答案B解析由題意可知,由上到下燈的盞數(shù)a1,a2,a3,a7構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,S7381,a13故選B12(2017北京高考)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11,a4b48,則_答案1解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為qa1b11,a4b48,a22,b22113(2017江蘇高考)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn已知S3,S6,則a8_答案32解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q當(dāng)q1時(shí),S33a1,S66a12S3,不符合題意,q1,由題設(shè)可得解得a8a1q7273214(2016全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310,a2a45,則a1a2an的最大值為_答案64解析設(shè)an的公比為q,于是a1(1q2)10,a1(qq3)5,聯(lián)立得a18,q,an24n,a1a2an2321(4n)2n2n222664,a1a2an的最大值為64三、模擬小題15(2018呼和浩特調(diào)研)已知等比數(shù)列an的公比q0,且a5a74a,a21,則a1()A B C D2答案B解析因?yàn)閍n是等比數(shù)列,所以a5a7a4a,所以a62a4,q22,又q0,所以q,a1,故選B16(2018安徽皖江名校聯(lián)考)已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a2a416,S37,則a8()A32 B64 C128 D256答案C解析a2a4a16,a34(負(fù)值舍去),a3a1q24,S37,S23,3q24q40,解得q或q2,an0,q2,a11,a827128故選C17(2018長沙統(tǒng)考)設(shè)首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論正確的是()ASn43an BSn32anCSn3an2 DSn2an1答案B解析由題意,ann1,Sn31n32n1,所以Sn32an,故選B18(2018唐山期末)在數(shù)列an中,已知a11,an12an,Sn為an的前n項(xiàng)和,若Sn為等比數(shù)列,則()A1 B1 C2 D2答案B解析由a11,an12an,得a22,a34,所以S1a11,S2S1a23,S3S2a37而Sn為等比數(shù)列,所以(3)2(1)(7),解得1故選B19(2019陜西西安市八校聯(lián)考)設(shè)公比為q的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S23a22,S43a42,則q_答案或1解析公比為q的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S23a22,S43a42,S4S2a4a33a43a2,即2q2q30,q或120(2018烏魯木齊一診)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則以S1,S3,S4為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第8項(xiàng)與第4項(xiàng)之比為_答案解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q當(dāng)q1時(shí),S1a1,S33a1,S44a1顯然不符合題意,所以q1因?yàn)镾1,S3,S4為等差數(shù)列的前三項(xiàng),所以S4S3S3S1,即a4a3a2,得a2q2a2qa2,所以q2q1,解得q(負(fù)值舍去)所以該等差數(shù)列的第8項(xiàng)與第4項(xiàng)之比為一、高考大題1(2018全國卷)已知數(shù)列an滿足a11,nan12(n1)an,設(shè)bn(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說明理由;(3)求an的通項(xiàng)公式解(1)由條件可得an1an將n1代入,得a24a1,而a11,所以a24將n2代入,得a33a2,所以a312從而b11,b22,b34(2)bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列由題設(shè)條件可得,即bn12bn,又b11,所以bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1,所以ann2n12(2018全國卷)等比數(shù)列an中,a11,a54a3(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63,求m解(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得anqn1由已知得q44q2,解得q0(舍去),q2或q2故an(2)n1或an2n1(2)若an(2)n1,則Sn由Sm63得(2)m188,此方程沒有正整數(shù)解若an2n1,則Sn2n1由Sm63得2m64,解得m6綜上,m63(2017全國卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,a11,b11,a2b22(1)若a3b35,求bn的通項(xiàng)公式;(2)若T321,求S3解設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an1(n1)d,bnqn1由a2b22得dq3(1)由a3b35得2dq26聯(lián)立和解得(舍去)或因此bn的通項(xiàng)公式為bn2n1(2)由b11,T321得q2q200解得q5或q4當(dāng)q5時(shí),由得d8,則S321當(dāng)q4時(shí),由得d1,則S36二、模擬大題4(2018陜西質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn4an3(1)證明:數(shù)列an是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN*),且b12,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解(1)證明:當(dāng)n1時(shí),a14a13,解得a11當(dāng)n2時(shí),anSnSn14an4an1,整理得anan1,又a110,an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列(2)ann1,由bn1anbn(nN*),得bn1bnn1當(dāng)n2時(shí),可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11,當(dāng)n1時(shí),上式也成立,所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3n115(2018湖北八校第一次聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a11,a24,an24an14an(1)求證:an12an是等比數(shù)列;(2)求an的通項(xiàng)公式解(1)證明:由an24an14an得an22an12an14an2(an12an)22(an2an1)2n(a22a1)0,2,an12an是等比數(shù)列(2)由(1)可得an12an2n1(a22a1)2n,是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,則ann2n16(2019江西南昌調(diào)研)已知數(shù)列an中,a11,anan1n,記T2n為an的前2n項(xiàng)的和,bna2na2n1,nN*(1)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并求出bn;(2)求T2n解(1)anan1n,an1an2n1,即an2anbna2na2n1,bn是公比為的等比數(shù)列a11,a1a2,a2b1a1a2bnn1(2)由(1)可知an2an,a1,a3,a5,是以a11為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列;a2,a4,a6,是以a2為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3- 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