2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第九章 9-3幾何概型《教案》.doc
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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第九章 9-3幾何概型教案1幾何概型設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等),每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣;隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)這時(shí),事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)成正比,與d的形狀和位置無(wú)關(guān)把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型2在幾何概型中,事件A的概率計(jì)算公式P(A).3幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè);(2)等可能性:每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零()(2)幾何概型中,每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(5)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù),取到1的概率是P.()1在線段0,3上任投一點(diǎn),則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為_(kāi)答案解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為0,1,長(zhǎng)度為1,0,3區(qū)間長(zhǎng)度為3,故所求概率為.2(xx遼寧改編)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中,其中AB2,BC1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是_答案解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A,則P(A).3(xx福建)如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子,有180粒落到陰影部分,據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_(kāi)答案0.18解析由題意知,這是個(gè)幾何概型問(wèn)題,0.18,S正1,S陰0.18.4(xx山東)在區(qū)間3,3上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x使得|x1|x2|1成立的概率為_(kāi)答案解析由絕對(duì)值的幾何意義知:使|x1|x2|1成立的x值為x1,3,由幾何概型知所求概率為P.題型一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型例1(1)在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,求cos x的值介于0到之間的概率(2)如圖所示,在ABC中,B60,C45,高AD,在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,求BM1的概率解(1)如圖,由函數(shù)ycos x的圖象知,當(dāng)1x或x1時(shí),0cos x.由概率的幾何概型知:cos x的值介于0到之間的概率為.(2)因?yàn)锽60,C45,所以BAC75,在RtABD中,AD,B60,所以BD1,BAD30.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,使BM1”,則可得BAMBAD時(shí)事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式,得P(N).思維升華幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn):一是無(wú)限性;二是等可能性基本事件可以抽象為點(diǎn),盡管這些點(diǎn)是無(wú)限的,但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的,因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率(1)(xx湖南改編)在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X,則X1的概率為_(kāi)(2)在半徑為1的圓內(nèi)的一條直徑上任取一點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦,則弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是_答案(1)(2)解析(1)在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X,則X1,即2X1的概率為P.(2)記事件A為“弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”,如圖,不妨在過(guò)等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦,當(dāng)弦為CD時(shí),就是等邊三角形的邊長(zhǎng)(此時(shí)F為OE中點(diǎn)),弦長(zhǎng)大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF,由幾何概型公式得:P(A).題型二與面積、體積有關(guān)的幾何概型例2(1)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是_(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱,點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心,在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)思維點(diǎn)撥求隨機(jī)點(diǎn)所在區(qū)域與所有區(qū)域的面積或體積比答案(1)(2)解析(1)如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是.(2)先求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率,圓柱的體積V圓柱1222,以O(shè)為球心,1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球13.則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率為,故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1.思維升華數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的方法用圖解題的關(guān)鍵:用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式,在圖形中畫(huà)出事件A發(fā)生的區(qū)域,通用公式:P(A).(1)在區(qū)間,內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)分別記為a,b,則函數(shù)f(x)x22axb22有零點(diǎn)的概率為_(kāi)(2)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCDA1B1C1D1 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)答案(1)1(2)1解析(1)由函數(shù)f(x)x22axb22有零點(diǎn),可得(2a)24(b22)0,整理得a2b22,如圖所示,(a,b)可看成坐標(biāo)平面上的點(diǎn),試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a,b)|a,b,其面積S(2)242.事件A表示函數(shù)f(x)有零點(diǎn),所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸(a,b)|a2b22,即圖中陰影部分,其面積為SM423,故P(A)1.(2)V正238,V半球13,故點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為1.題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭,它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的如果甲船停泊時(shí)間為1 h,乙船停泊時(shí)間為2 h,求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率思維點(diǎn)撥當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)變量控制時(shí),一般是把兩個(gè)連續(xù)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決解這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y,A為“兩船都不需要等待碼頭空出”,則0x24,0y24,要使兩船都不需要等待碼頭空出,當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上,即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x,y)|yx1或xy2,x0,24,y0,24A為圖中陰影部分,全部結(jié)果構(gòu)成集合為邊長(zhǎng)是24的正方形及其內(nèi)部所求概率為P(A).思維升華生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法:(1)審題:通過(guò)閱讀題目,提煉相關(guān)信息(2)建模:利用相關(guān)信息的特征,建立概率模型(3)解模:求解建立的數(shù)學(xué)模型(4)結(jié)論:將解出的數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論(xx重慶)某校早上8:00開(kāi)始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:307:50之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(kāi)(用數(shù)字作答)答案解析在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出由小王(x)和小張(y)到校的時(shí)間對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)所構(gòu)成的平面區(qū)域,再畫(huà)出小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)所構(gòu)成的平面區(qū)域,計(jì)算出兩區(qū)域的面積,利用幾何概型的概率公式計(jì)算即可設(shè)小王到校時(shí)間為x,小張到校時(shí)間為y,則小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿足xy5.如圖,原點(diǎn)O表示7:30,在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出小王和小張到校的時(shí)間構(gòu)成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域),該正方形區(qū)域的面積為400,小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的圖形(圖中陰影部分)的面積為1515,故所求概率P.混淆長(zhǎng)度型與面積型幾何概型致誤典例:在長(zhǎng)度為1的線段上任取兩點(diǎn),將線段分成三段,試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率易錯(cuò)分析不能正確理解題意,無(wú)法找出準(zhǔn)確的幾何度量來(lái)計(jì)算概率規(guī)范解答解設(shè)x、y表示三段長(zhǎng)度中的任意兩個(gè)因?yàn)槭情L(zhǎng)度,所以應(yīng)有0x1,0y1,0xy1,即(x,y)對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)的點(diǎn),如圖所示要形成三角形,由構(gòu)成三角形的條件知所以x,y,故圖中陰影部分符合構(gòu)成三角形的條件因?yàn)殛幱安糠值娜切蔚拿娣e占大三角形面積的,故這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為.溫馨提醒解決幾何概型問(wèn)題的易誤點(diǎn):(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型,導(dǎo)致錯(cuò)誤(2)利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否具有等可能性,導(dǎo)致錯(cuò)誤方法與技巧1區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)2轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題,可以將其幾何化,如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對(duì)應(yīng),然后利用幾何概型概率公式(1)一般地,一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,只需把這個(gè)變量放在坐標(biāo)軸上即可;(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述,則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述,則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件,利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型失誤與防范1準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”是解題關(guān)鍵2幾何概型中,線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間:35分鐘)1(xx陜西改編)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為_(kāi)答案解析取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種,所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種,概率為.2設(shè)p在0,5上隨機(jī)地取值,則方程x2px0有實(shí)根的概率為_(kāi)答案解析一元二次方程有實(shí)數(shù)根0,而p24(p1)(p2),解得p1或p2,故所求概率為P.3在區(qū)間1,4內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則2xx2的概率是_答案解析不等式2xx2,可化為x2x20,則1x2,故所求概率為.4已知ABC中,ABC60,AB2,BC6,在BC上任取一點(diǎn)D,則使ABD為鈍角三角形的概率為_(kāi)答案解析如圖,當(dāng)BE1時(shí),AEB為直角,則點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí),ABD為鈍角三角形;當(dāng)BF4時(shí),BAF為直角,則點(diǎn)D在線段CF(不包含C、F點(diǎn))上時(shí),ABD為鈍角三角形所以ABD為鈍角三角形的概率為.5如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是_答案1解析設(shè)分別以O(shè)A,OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C,OA的中點(diǎn)為D,如圖,連結(jié)OC,DC.不妨令OAOB2,則ODDADC1.在以O(shè)A為直徑的半圓中,空白部分面積S1111,所以整體圖形中空白部分面積S22.又因?yàn)镾扇形OAB22,所以陰影部分面積為S32.所以P1.6已知集合A|,nZ,若從A中任取一個(gè)元素均可作為直線l的傾斜角,則直線的斜率小于零的概率是_答案解析由于傾斜角范圍為0,),故當(dāng)0n8時(shí),集合A中共有9個(gè)解,分別為0,.其中當(dāng)為,時(shí),此時(shí)為鈍角,直線l的斜率小于零故直線l的斜率小于零的概率P.7(xx湖北)在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|m的概率為,則m_.答案3解析由|x|m,得mxm.當(dāng)m2時(shí),由題意得,解得m2.5,矛盾,舍去當(dāng)2mn.如圖,由題意知,在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m,n),點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率,易知直線mn恰好將矩形平分,所求的概率為P.9小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng),他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn),若此點(diǎn)到圓心的距離大于,則周末去看電影;若此點(diǎn)到圓心的距離小于,則去打籃球;否則,在家看書(shū)則小波周末不在家看書(shū)的概率為_(kāi)答案解析去看電影的概率P1,去打籃球的概率P2,不在家看書(shū)的概率為P.10已知向量a(2,1),b(x,y)(1)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求滿足ab1的概率;(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值,求滿足ab0的概率解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次,所包含的基本事件總數(shù)為6636(個(gè));由ab1有2xy1,所以滿足ab1的基本事件為(1,1),(2,3),(3,5),共3個(gè);故滿足ab1的概率為.(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值,則全部基本事件的結(jié)果為(x,y)|1x6,1y6;滿足ab0的基本事件的結(jié)果為A(x,y)|1x6,1y6且2xy0;畫(huà)出圖形如圖,矩形的面積為S矩形25,陰影部分的面積為S陰影252421,故滿足ab0,b0時(shí),yax在(0,)上遞減,在(,)上遞增;且yx和y4x在(0,)上遞增,對(duì)x1,2可使|f(x)g(x)|8恒成立的情況有x,x,x,4x,故事件A包含的基本事件有4種,P(A),故所求概率是.(2)設(shè)事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”,a是從區(qū)間1,4中任取的數(shù),b是從區(qū)間1,4中任取的數(shù),點(diǎn)(a,b)所在的區(qū)域是長(zhǎng)為3,寬為3的矩形區(qū)域要使x1,2時(shí),|f(x)g(x)|8恒成立,需f(1)g(1)ab8且f(2)g(2)2a8,事件B表示的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分矩形區(qū)域的面積S339,陰影部分的面積S陰(2)3,根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求概率為P.- 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