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2019-2020年蘇教版高中數學（必修1）2.5《函數與方程》教案 教學目標： 使學生掌握二次函數與二次方程這二者之間的相互聯系，能運用數形結合、等價轉化等數學思想. 教學重點： 利用函數的圖象研究二次方程的根的分布問題. 教學難點： 利用函數的圖象研究二次方程的根的分布問題. 教學過程： Ⅰ.復習引入 初中二次函數的圖象及有關的問題 Ⅱ.講授新課 　　問題：二次函數y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之間有怎樣的關系？ 　　我的思路：（1）當△＝b2－4ac＞0時，二次函數y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有兩個交點（x1，0）、（x2，0），（不妨設x1＜x2）對應的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有兩個不等實根x1、x2； 　?。?）當△＝b2－4ac＝0時，二次函數y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有且只有一個交點（x0，0），對應的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有兩個相等實根x0； 　?。?）當△＝b2－4ac＜0時，二次函數y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸沒有公共點，對應的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）沒有實根． 　?。劾?］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}與B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，aR}，若A∪B＝A，求a的取值范圍． 　　解析：本例主要考查學生對于二次方程的根的分布解決能力和靈活轉化意識． 　　∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴BA． 　　若B＝，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，則△＝4a2－4（a＋2）＜0， 　　∴－1＜a＜2； 　　若B≠，解法一：△＝4a2－4（a＋2）≥0，　　∴a≥2或a≤－1． 　　∵方程x2－2ax＋a＋2＝0的兩根為x1，2＝a． 　　則B＝{x|a－≤x≤a＋}，由題意知 　　 　　解之得2≤a≤，綜合可知a（－1，］． 　　解法二：f（x）＝x2－2ax＋a＋2， 　　如圖知 　　解之得2≤a≤，綜上可知a（－1，］． 　?。劾?］已知x的不等式＞ax的解區(qū)間是（0，2），求a的值． 　　解析：本題主要考查含參數無理不等式的解法，運用逆向思維解決問題． 　　解法一：在同一坐標系中，分別畫出兩個函數y1＝和y2＝ax的圖象． 如下圖所示，欲使解區(qū)間恰為（0，2），則直線y＝ax必過點（2，2），則a＝1． 解法二：∵0＜x＜2，當a≥0時，則4x－x2＞a2x2． 　　∴0＜x＜，則＝2，∴a＝1． 　　當a＜0時，原不等式的解為（0，4），與題意不符， ∴a＜0舍去． 綜上知a＝1． 　?。劾?］已知函數f（x）＝x2＋2bx十c（c＜b＜1），f（1）＝0，且方程f（x）＋1＝0有實根， 　　（1）證明：－3＜c≤－1且b≥0； 　?。?）若m是方程f（x）＋1＝0的一個實根，判斷f（m－4）的正負，并說明理由． 　　解析：（1）由f（1）＝0，則有b＝－， 　　又因為c＜b＜1，消去b解之得－3＜c＜－；　　　　　　　　　　　　　　　?、? 　　又方程f（x）＋1＝0有實根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有實根， 　　故△＝4b2－4（c＋1）≥0，消去b解之得c≥3或c≤－1；　　　　　　　　　　　② 　　由①②可知，－3＜c≤－1且b≥0． 　　（2）f（x）＝x2＋2bx＋c＝（x－c）（x－1），f（m）＝－1＜0，∴c＜m＜1， 　　從而c－4＜m－4＜－3＜c， 　　∴f（m－4）＝（m－4－c）（m－4－1）＞0，即f（m－4）的符號為正． Ⅲ.課后作業(yè) 1．關于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是（－∞，－）∪（，＋∞），求ab的值 　 解析：方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－、， 　　則 ∴ ∴ab＝24． 2．方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，求實數a的取值范圍． 　　解析：方法一：利用韋達定理，設方程x2－2ax＋4＝0的兩根為x1、x2， 　　則解之得2≤a＜． 　　方法二：利用二次函數圖象的特征，設f（x）＝x2－2ax＋4， 　　則解之得2≤a＜． 3．已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集為{x|－3＜x＜－2}，求不等式6x2－5x＋a＞0的解集． 解析：由題意，方程ax2－5x＋b＝0的兩根為－3、－2，由韋達定理得 則所求不等式為6x2－5x－1＞0，解之得x＜－或x＞1． 4．關于x的不等式組的整數解的集合為{－2}，求實數k的取值范圍． 　　解析：不等式組可化為， 　　∵x＝－2，（如下圖） 　　∴（2x＋5）（x＋k）＜0必為－＜x＜－k，－2＜－k≤3，得－3≤k＜2．