2018年秋高中數(shù)學 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1課時 一元二次不等式及其解法學案 新人教A版必修5.doc
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第1課時一元二次不等式及其解法學習目標:1.掌握一元二次不等式的解法(重點).2.能根據“三個二次”之間的關系解決簡單問題(難點)自 主 預 習探 新 知1一元二次不等式的概念只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)思考:不等式x2y20是一元二次不等式嗎?提示此不等式含有兩個變量,根據一元二次不等式的定義,可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值,叫做這個一元二次不等式的解,其解的集合,稱為這個一元二次不等式的解集思考:類比“方程x21的解集是1,1,解集中的每一個元素均可使等式成立”不等式x21的解集及其含義是什么?提示不等式x21的解集為x|x1,該集合中每一個元素都是不等式的解,即不等式的每一個解均使不等式成立4三個“二次”的關系:設f(x)ax2bxc(a0),方程ax2bxc0的判別式b24ac判別式000解不等式f(x)0或f(x)0的步驟求方程f(x)0的解有兩個不等的實數(shù)解x1,x2有兩個相等的實數(shù)解x1x2沒有實數(shù)解畫函數(shù)yf(x)的示意圖得等的集不式解f(x)0x|xx1_或xx2Rf(x)0x|x1xx2思考:若一元二次不等式ax2x10的解集為R,則實數(shù)a應滿足什么條件?提示結合二次函數(shù)圖象可知,若一元二次不等式ax2x10的解集為R,則解得a,所以不存在a使不等式ax2x10的解集為R.基礎自測1思考辨析(1)mx25x0,則一元二次不等式ax210無解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的兩根為x1,x2(x1x2),則一元二次不等式ax2bxc0的解集為x|x1x0的解集為R.()答案(1)(2)(3)(4)提示:(1)錯誤當m0時,是一元一次不等式;當m0時,是一元二次不等式(2)錯誤因為a0,所以不等式ax210恒成立,即原不等式的解集為R.(3)錯誤當a0時,ax2bxc0的解集為x|x1xx2,否則不成立(4)正確因為(2)2120的解集為R.2(2018全國卷)已知集合Ax|x2x20,則RA()Ax|1x2Bx|1x2Cx|x1x|x2 Dx|x1x|x2B通解Ax|(x2)(x1)0x|x1或x2,所以RAx|1x2,故選B.優(yōu)解因為Ax|x2x20,所以RAx|x2x20x|1x2,故選B.3不等式x22x52x的解集是_x|x5或x2x,得x24x50,因為x24x50的兩根為1,5,故x24x50的解集為x|x54不等式3x25x40的解集為_. 【導學號:91432278】原不等式變形為3x25x40.因為(5)2434230,所以3x25x40無解由函數(shù)y3x25x4的圖象可知,3x25x40;(2)4x218x0;(3)2x23x20,所以方程2x27x30有兩個不等實根x13,x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開口向上,所以原不等式的解集為.(2)原不等式可化為20,所以原不等式的解集為.(3)原不等式可化為2x23x20,因為942270;(2)x24x40;(3)x22x30.【導學號:91432279】解(1)0,方程2x23x20的根是x1,x22,不等式2x23x20的解集為.(2)0,方程x24x40的根是x1x22,不等式x24x40的解集為.(3)原不等式可化為x22x30,由于0,方程x22x30無解,不等式x22x30的解集為R.(4)原不等式可化為3x25x20,方程3x25x20的兩根為x1,x21,不等式3x25x20的解集為.含參數(shù)的一元二次不等式的解法解關于x的不等式ax2(a1)x10.思路探究:對于二次項的系數(shù)a是否分a0,a0三類進行討論?當a0時,是否還要比較兩根的大小?解當a0時,原不等式可化為x1.當a0時,原不等式可化為(ax1)(x1)0.當a0,1,x1.當a0時,原不等式可化為(x1)0.若1,則x1,即0a1,則1x.綜上所述,當a1;當0a1時,原不等式的解集為.規(guī)律方法解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟注:對參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨立的一元二次不等式的解集,不能合并跟蹤訓練2解關于x的不等式:ax222xax(a0). 【導學號:91432280】解原不等式移項得ax2(a2)x20,化簡為(x1)(ax2)0.a0,(x1)0.當2a0時,x1;當a2時,x1;當a2時,1x.綜上所述,當2a0時,解集為;當a2時,解集為x|x1;當a0、y0時自變量x組成的集合,亦即二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸上方時點的橫坐標x的集合x|x3;同理,滿足y0時x的取值集合為x|1x0(a0)或ax2bxc0)是函數(shù)yax2bxc(a0)的一種特殊情況,它們之間是一種包含關系,也就是當y0時,函數(shù)yax2bxc(a0)就轉化為方程,當y0或y0的解集分別是什么?觀察結果你發(fā)現(xiàn)什么問題?這又說明什么?提示:方程x22x30的解集為1,3不等式x22x30的解集為x|x3,觀察發(fā)現(xiàn)不等式x22x30解集的端點值恰好是方程x22x30的根3設一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分別為x|xx2,x|x1xx2(x10(a0)和ax2bxc0)的解集分別為x|xx2,x|x1xx2(x10的解集為x|2x3,求關于x的不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知,a0,且2和3是方程ax2bxc0的兩根,由根與系數(shù)的關系可知5,6.由a0知c0,故不等式cx2bxa0,即x2x0,解得x,所以不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知,a0,且2和3是方程ax2bxc0的兩根,所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a,c6a,故不等式cx2bxa0,即6ax25axa06a0的解集解由根與系數(shù)的關系知5,6且a0.c0即x2x0,即x2x0的解集為x|2x3變?yōu)椤瓣P于x的不等式ax2bxc0的解集是.求不等式cx2bxa0的解集解法一:由ax2bxc0的解集為知a0.又20,則c0.又,2為方程ax2bxc0的兩個根,.又,ba,ca,不等式變?yōu)閤2xa0,即2ax25ax3a0.又a0,2x25x30,所求不等式的解集為.法二:由已知得a0 且2,2知c0,設方程cx2bxa0的兩根分別為x1,x2,則x1x2,x1x2,其中,x13,x2.不等式cx2bxa0(c0)的解集為.規(guī)律方法已知以a,b,c為參數(shù)的不等式(如ax2bxc0)的解集,求解其他不等式的解集時,一般遵循:(1)根據解集來判斷二次項系數(shù)的符號;(2)根據根與系數(shù)的關系把b,c用a表示出來并代入所要解的不等式;(3)約去 a, 將不等式化為具體的一元二次不等式求解.當 堂 達 標固 雙 基1不等式6x2x20的解集為_因為6x2x20(2x1)(3x2)0,所以原不等式的解集為.2不等式2x2x10,得(x1)(2x1)0,解得x1或x,從而得原不等式的解集為(1,)3設a1,則關于x的不等式a(xa)0的解集為_因為a1,所以a(xa)0.又aa,所以x或xa.4已知關于x的不等式ax2bxc0的解集為_由題意,2,是方程ax2bxc0的兩個根且a0即為2x25x20,解得x0的解集為.5解下列不等式:(1)x(7x)12;(2)x22(x1).【導學號:91432283】解(1)原不等式可化為x27x120,因為方程x27x120的兩根為x13,x24,所以原不等式的解集為x|3x4(2)原不等式可以化為x22x20,因為判別式4840,方程x22x20無實根,而拋物線yx22x2的圖象開口向上,所以原不等式的解集為R.- 配套講稿:
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