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能夠運(yùn)用正弦定理 余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 第8課時(shí)正弦定理 余弦定理的應(yīng)用 1 利用正弦定理 余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 2 高考題型主要考查與距離 角度 高度 幾何等有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 近幾年主要是以解答題形式出現(xiàn) 難度不高 所以 在備考中 重在熟練對(duì)正 余弦定理的運(yùn)用 命題預(yù)測(cè) 1 解與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí) 要注意對(duì)仰角 俯角 方位角 方向角 鉛直平面等術(shù)語(yǔ)的理解 與角度有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 除了仍要合理應(yīng)用正 余弦定理和三角形知識(shí)外 還要注意弄清仰角 俯角 方向角 方位角等有關(guān)術(shù)語(yǔ) 解決這類問(wèn)題的基本步驟 1 弄清題意 作出示意圖 標(biāo)明相關(guān)角度和長(zhǎng)度 2 選用正確的定理或三角公式求解 3 作答 應(yīng)試對(duì)策 2 解決與高度有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的基本步驟 1 準(zhǔn)確理解題意和相關(guān)名詞 術(shù)語(yǔ) 2 畫出示意圖 標(biāo)出已知條件 3 分析與問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形 結(jié)合直角三角形的知識(shí)和正 余弦定理正確求解 射影定理 在 ABC中 a bcosC ccosB b acosC ccosA c bcosA acosB 知識(shí)拓展 1 實(shí)際問(wèn)題中的常用角 1 仰角和俯角在視線和水平線所成的角中 視線在水平線的角叫仰角 在水平線的角叫俯角 如圖 2 方位角 從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角 如B點(diǎn)的方位角為 如圖 上方 下方 2 ABC的面積公式有 1 S a ha ha表示a邊上的高 2 S absinC R為外接圓半徑 3 S r a b c r為內(nèi)切圓半徑 1 在 ABC中 若 A 120 AB 5 BC 7 則 ABC的面積S 解析 由余弦定理BC2 AB2 AC2 2AB AC cos120 解得AC 3 因此 ABC的面積S AB AC sin120 答案 2如圖 A B兩點(diǎn)間隔有一小山 現(xiàn)選定能直接到達(dá)點(diǎn)A B的C點(diǎn) 并測(cè)得AC 60m BC 160m ACB 60 則A B兩點(diǎn)間的距離為 m 解析 AB 140 m 答案 140 3 2010 濟(jì)寧一中調(diào)研 某人坐在火車上看風(fēng)景 他看見(jiàn)遠(yuǎn)處有一座寶塔在與火車前進(jìn)方向成30 角的直線上 1分鐘后 他看這寶塔在與火車前進(jìn)方向成45 角的直線上 設(shè)火車的速度是100km h 則寶塔到鐵路線的垂直距離等于 km 解析 如圖 BCA 45 30 15 AB km AC sin ABC km 所以寶塔到鐵路線的垂直距離 AC sin30 km 答案 4 某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來(lái) 他看見(jiàn)第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛車與第三輛車的俯角差 則第一輛車與第二輛車的距離d1與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的大小關(guān)系為 解析 由正弦定理 在 BCP中 在 DCP中 由于 BCP DCP 得 又PB PD d1 d2 答案 d1 d2 5 在 ABC中 若 A 60 b 1 S ABC 則的值為 解析 S ABC 即bcsinA c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 13 a 答案 例1 要測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)A B之間的距離 選取相距km的C D兩點(diǎn) 并測(cè)得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 求A B之間的距離 思路點(diǎn)撥 作出草圖 綜合運(yùn)用正 余弦定理 解 如圖所示 在 ACD中 ACD 120 CAD ADC 30 AC CD km 在 BCD中 BCD 45 BDC 75 CBD 60 BC ABC中 由余弦定理 得AB2 3 2 5 AB km A B之間的距離為km 變式1 如圖所示 設(shè)A B兩點(diǎn)在河的兩岸 一測(cè)量者在A的同側(cè) 在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C 測(cè)出AC的距離為50m ACB 45 CAB 105 后 就可以計(jì)算A B兩點(diǎn)的距離為m 解析 由題意知 ABC 30 由正弦定理 AB m 答案 50 例2 某人在塔的正東沿著南偏西60 的方向前進(jìn)40米后 望見(jiàn)塔在東北方向 若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30 求塔高 思路點(diǎn)撥 依題意畫圖 某人在C處 AB為塔高 他沿CD前進(jìn) CD 40米 此時(shí) DBF 45 從C到D沿途測(cè)塔的仰角 只有B到測(cè)試點(diǎn)的距離最短時(shí) 仰角才最大 這是因?yàn)閠an AEB AB為定值 BE最小時(shí) 仰角最大 要求出塔高AB 必須先求BE 而要求BE 須先求BD 或BC 解 由上圖所示 過(guò)B作BE CD于點(diǎn)E 由題意知在E點(diǎn)測(cè)得塔的最大仰角30 在 BCD中 CD 40 BCD 30 DBC 135 由正弦定理 得 BD 在Rt BED中 BDE 180 135 30 15 BE BDsin15 在Rt ABE中 AEB 30 AB BEtan30 米 故所求的塔高為米 變式2 如圖所示 測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí) 可以選定塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D 現(xiàn)測(cè)得 BCD BDC CD s 并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為 求塔高AB 解 在 BCD中 CBD 由正弦定理得所以BC 在Rt ABC中 AB BCtan ACB 當(dāng)我們將所求距離或角度的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)求三角形的邊和角的問(wèn)題時(shí) 若選擇的三角形條件不夠 這時(shí) 我們通常尋找其他的三角形作為解這個(gè)三角形的支持 為我們解這個(gè)三角形提供必要的條件 也就是需要我們聯(lián)合幾個(gè)三角形多次應(yīng)用兩個(gè)定理解決問(wèn)題 這需要我們首先畫出簡(jiǎn)要的示意圖 分析所求和條件的關(guān)系 尋求它們直接或間接的聯(lián)系 例3 在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45 方向 距A處 1 海里的B處有一艘走私船 在A處北偏西75 方向 距A處2海里的C處的我方緝私船 奉命以10海里 小時(shí)的速度追截走私船 此時(shí)走私船正以10海里 小時(shí)的速度 從B處向北偏東30 方向逃竄 問(wèn) 緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船 并求出所需時(shí)間 思路點(diǎn)撥 求方向的問(wèn)題可以考慮轉(zhuǎn)化為解三角形的求角問(wèn)題 分析條件可以選擇 ABC 解 設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí) 才能最快截獲 在D點(diǎn) 走私船 則CD 10t海里 BD 10t海里 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 1 2 22 2 1 2 cos120 6 BC 海里 又 sin ABC ABC 45 B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上 CBD 90 30 120 在 BCD中 由正弦定理 得 sin BCD BCD 30 緝私船應(yīng)沿北偏東60 的方向行駛 又在 BCD中 CBD 120 BCD 30 D 30 BD BC 即10t t 小時(shí) 15分鐘 緝私船應(yīng)沿北偏東60 的方向行駛 才能最快截獲走私船 大約需要15分鐘 變式3 江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷 如圖 一船由西向東航行 測(cè)得某島的方位角為 前進(jìn)5km后測(cè)得此島的方位角為 已知該島的周圍3km內(nèi)有暗礁 現(xiàn)該船繼續(xù)東行 1 若 2 60 問(wèn)該船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn) 2 當(dāng) 與 滿足什么條件時(shí) 該船沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn) 解 1 如題中圖 設(shè)海島M到直線AB的距離MC為d 則由題意有 AC dtan BC dtan 由AC BC AB得dtan dtan 5 d 當(dāng) 2 60 時(shí) d 3 所以此時(shí)沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn) 2 要使船沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn) 只要使d 3 即 3成立即可 00 tan tan 所以當(dāng) 與 滿足0 tan tan 時(shí) 該船沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn) 在不同的已知條件下 求三角形面積的問(wèn)題與解三角形有密切的關(guān)系 通常我們要根據(jù)已知條件 利用正弦定理 余弦定理求出需要的元素 從而求出三角形的面積 在Rt ABC中 C 90 則 ABC的面積S ab 對(duì)于任意 ABC 已知a b及C 則 ABC的面積S absinC 同理三角形的面積還有S acsinB S bcsinA 例4 在 ABC中 若B 30 AB 2 AC 2 則 ABC的面積是多少 思路點(diǎn)撥 已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形時(shí) 要注意分類討論 解 由正弦定理得 sinC AB AC C 60 或120 當(dāng)C 60 時(shí) S ABC AC ABsinA 2 2sin90 2 當(dāng)C 120 時(shí) S ABC AC ABsinA 2 2sin30 4 如圖 ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚 A B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn) 正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40 角 為了使陰影面ABD面積最大 遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為 解析 作CE 平面ABD于E 則 CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角 即 CDE 40 延長(zhǎng)DE交直線AB于F 連結(jié)CF 則 CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角 設(shè)為 要使S ABD最大 只需DF最大 在 CFD中 CF為定值 當(dāng) 50 時(shí) DF最大 答案 50 1 正弦定理 余弦定理在實(shí)際生活中 有著廣泛的應(yīng)用 常見(jiàn)題型有距離問(wèn)題 高度問(wèn)題 角度問(wèn)題以及平面圖形的面積問(wèn)題等 2 解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 要準(zhǔn)確找出仰角 俯角 方位角 同時(shí)要注意與平面幾何結(jié)合 運(yùn)用正弦定理 余弦定理 發(fā)揮題目的隱含條件 從而順利解決問(wèn)題 3 解實(shí)際問(wèn)題時(shí) 要注意題目中給出的精確度 合理取近似值 規(guī)律方法總結(jié) 例5 2009 北京卷 在 ABC中 角A B C的對(duì)邊分別為a b c B cosA b 1 求sinC的值 2 求 ABC的面積 高考真題 分析 1 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理 A C B 即C A 只要再根據(jù)cosA 求出sinA的值 根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出sinC的值 2 相當(dāng)于知道了三角形三個(gè)內(nèi)角以及一條邊長(zhǎng) 只要再求出一條邊長(zhǎng)就可以根據(jù)三角形面積公式求出 ABC的面積 規(guī)范解答 1 因?yàn)榻茿 B C為 ABC的內(nèi)角 且B cosA 所以C A sinA 于是sinC sin 2 由 1 知sinA sinC 又因?yàn)锽 b 所以在 ABC中 由正弦定理得a 于是 ABC的面積S absinC 本題初看像是一道純粹的解三角形的題目 實(shí)際上是以考查三角恒等變換為主的一道試題 我們?cè)谇蟪龅?1 問(wèn)后就可以根據(jù)正弦定理和三角形面積公式解決問(wèn)題了 知識(shí)鏈接 三角形內(nèi)角間的三角函數(shù)關(guān)系在 ABC中 sinA sin B C cosA cos B C 我們?cè)诮忸}時(shí) 要注意這些關(guān)系在解決三角形問(wèn)題中的應(yīng)用 命題探究 全解密 在三角形中 當(dāng)已知兩個(gè)內(nèi)角的大小或是已知兩個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值時(shí) 一定能根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式 余弦公式求出第三個(gè)內(nèi)角的大小或其三角函數(shù)值 方法探究 本題第 1 問(wèn)也可以根據(jù)sinC sin A B 求解 由于cosA sinA B 所以sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 第 2 問(wèn)也可以根據(jù)正弦定理 2R R為 ABC的外接圓半徑 得R 1 S absinC 2RsinA 2RsinB sinC sinAsinBsinC 只要將第 1 問(wèn)的結(jié)果代入即可 發(fā)散思維 1 在 ABC中 角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 證明 分析 此題主要考查正 余弦定理在證明恒等式中的應(yīng)用 由等號(hào)左邊的a2 b2 c2 運(yùn)用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 由等號(hào)右邊的正弦值 想到運(yùn)用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 證明 由余弦定理 知a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB 兩式相減 得a2 b2 b2 a2 2bccosA 2cacosB 由正弦定理 知 2 如圖 在 ABC中 BAC 120 AB 2 AC 1 D是邊BC上一點(diǎn) DC 2BD 則 分析 利用余弦定理求出BC邊的長(zhǎng) 再利用其變式求出角B的余弦值 結(jié)合向量的數(shù)量積求值 解 由余弦定理得BC2 22 12 2 2 1 7 可得BC 又因?yàn)閏osB