2018-2019學年高中數(shù)學 第一講 相似三角形的判定及有關性質 三 相似三角形的判定及性質學案 新人教A版選修4-1.docx
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三相似三角形的判定及性質學習目標1.理解相似三角形的定義.2.理解預備定理的本質.3.會證明判定定理1,2,3,理解這些定理的內容,能應用這些定理證明相關的幾何問題.4.掌握直角三角形相似的判定定理,會應用定理證明相關的幾何問題.知識鏈接1.在初中我們學習過相似三角形,想一想,相似三角形及相似比是如何定義的?提示對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)).2.判斷下列各命題的正確性,正確的打“”,錯誤的打“”(1)兩個等邊三角形相似()(2)兩個直角三角形相似()(3)兩個等腰直角三角形相似()(4)有一個角為50的兩個等腰三角形相似()(5)有一個角為100的兩個等腰三角形相似()預習導引1.相似三角形(1)定義:對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫作相似三角形,相似三角形對應邊的比值叫作相似比(或相似系數(shù)).(2)記法:兩個三角形相似,用符號“”表示,例如ABC與ABC相似,記作ABCABC.2.相似三角形的判定定理內容簡述作用預備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似判定兩個三角形相似判定定理1對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似兩角對應相等,兩個三角形相似判定兩個三角形相似判定定理2對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似判定兩個三角形相似引理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例那么這條直線平行于三角形的第三邊判定兩條直線平行判定定理3對于任意兩個三角形,如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似三邊對應成比例,兩個三角形相似判定兩個三角形相似3.直角三角形相似的判定定理(1)如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等,那么它們相似.(2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例,那么它們相似.(3)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似.4.相似三角形的性質定理(1)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.(2)相似三角形周長的比等于相似比.(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方.5.兩個相似三角形外接(內切)圓的直徑比、周長比、面積比與相似比的關系相似三角形外接(內切)圓的直徑比、周長比等于相似比,外接(內切)圓的面積比等于相似比的平方.6.相似三角形的性質和全等三角形的性質比較全等三角形相似三角形對應邊相等對應邊成比例對應角相等對應角相等對應中線相等對應中線的比等于相似比對應角平分線相等對應角平分線的比等于相似比對應高相等對應高的比等于相似比周長相等周長比等于相似比面積相等面積比等于相似比的平方外接(內切)圓的直徑相等外接(內切)圓的直徑比等于相似比外接(內切)圓的周長相等外接(內切)圓的周長比等于相似比外接(內切)圓的面積相等外接(內切)圓的面積比等于相似比的平方要點一相似三角形的判定例1如圖所示,ABCD90,ACa,BCb,當BD與a,b之間滿足怎樣的關系時,ABC與CDB相似?解(1)ABCCDB90,當時,ABCCDB.即,BD時,ABCCDB.(2)ABCBDC90,當時,ABCBDC,即,BD時,ABCBDC.綜上,當BD或BD時,ABC與CDB相似.規(guī)律方法解決此類問題,重點應放在“對應關系”上,根據(jù)“對應關系”進行合理的討論是解題的關鍵.跟蹤演練1如圖所示,等腰三角形ABC中,ABAC,D為CB延長線上一點,E為BC延長線上一點,滿足AB2DBCE.(1)求證:ADBEAC;(2)若BAC40,求DAE的度數(shù).(1)證明ABAC,ABCACB,ABDECA.又AB2DBCE,ADBEAC.(2)解ABAC,BAC40,ABC70.又ADBEAC,DEAC,DAEDABBACEACDABBACDABCBAC7040110.要點二直角三角形的判定例2如圖所示,矩形ABCD中,ABBC56,點E在BC上,點F在CD上,且ECBC,F(xiàn)CCD.求證:AFDFEC.證明設ECx,則BCAD6x,ABDC5x,F(xiàn)C3x,F(xiàn)D2x,2,2,又DC90,AFDFEC.規(guī)律方法直角三角形相似的判定方法很多,既可根據(jù)一般三角形相似的判定方法,又有其獨特的判定方法,在求證、識別的過程中可由已知條件結合圖形特征,確定合適的方法.跟蹤演練2如圖所示,直線EF交AB,AC于點F,E,交BC的延長線于點D,ACBC,且ABCDDEAC.求證:AECEDEEF.證明ABCDDEAC,.ACBC,ACBDCE90,RtACBRtDCE,AD.又AEFDEC,AEFDEC,AECEDEEF.要點三相似三角形的性質例3如圖所示,在ABC和DBE中,.(1)若ABC與DBE的周長之差為10 cm,求ABC的周長;(2)若ABC與DBE的面積之和為170 cm2,求DBE的面積.解(1),ABCDBE.設ABC的周長為5xcm,則DBE的周長為3xcm,依題意,得5x3x10,解得x5.ABC的周長為25 cm.(2)ABCDBE,.設SABC25ycm2,則SDBE9ycm2,依題意,得25y9y170,解得y5.DBE的面積為45 cm2.規(guī)律方法在利用相似三角形的性質建立比例式時,一定要注意比的順序,才能得出正確的結果.跟蹤演練3如圖所示,在ABC中,DEBC,SADESABC49.求:(1)AEEC;(2)SADESCDE.解(1)DEBC,ADEABC.,.(2)如圖所示,作DFAC于F,則SADEDFAE,SCDEDFEC,.1.相似三角形判定定理的作用(1)可以用來判定兩個三角形相似;(2)間接證明角相等,線段長成比例;(3)為計算線段的長度及角的大小創(chuàng)造條件.2.三角形相似的判定定理的一些常見推論推論1:頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似;推論2:腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似;推論3:如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例,那么這兩個三角形相似.推論4:如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例,那么這兩個三角形相似.3.相似三角形的性質定理的內容歸納起來主要有兩個方面:一是相似三角形的對應線段(高、中線、角平分線以及周長)的比等于相似比;二是相似三角形面積的比等于相似比的平方,運用性質定理,拓寬思路,可以探討得到:兩個相似三角形中的所有對應圖形(所有對應線段如等分線段,等分角線以及外接圓與內切圓的直徑、周長、面積等)與相似比都有一定的關系.1.如圖,在ABC中,DEBC,點F是BC上的一點,AF交DE于點G,則與ADG相似的是()A.AEGB.ABFC.AFCD.ABC解析在ABF中,DGBF,則ADGABF.答案B2.如圖,在ABC中,BAC90,ADBC,垂足為D,DEAB,垂足為E,則圖中與RtADE相似的三角形個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析圖中RtCBA,RtCAD,RtABD,RtDBE均與RtADE相似.答案D3.(2016深圳調考)如圖所示,BACDCB,CDBABC90,ACa,BCb.則BD_(用a,b表示).解析由題意可得ABCCDB,BD.答案4.(2016天津南開中學檢測)如圖所示,已知點D是ABC中AB上的一點,DEBC且交AC于點E,EFAB且交BC于點F,且SADE1,SEFC4,求四邊形BFED的面積.解ABEF,DEBC,ADEABC,EFCABC,ADEEFC.又SADESEFC14,AEEC12,AEAC13.SADESABC19.SADE1,SABC9.S四邊形BFEDSABCSADESEFC9144.一、基礎達標1.在ABC中,P為AB上一點,在下列四個條件中:ACPB;APCACB;AC2APAB;ABCPAPCB.其中,能判定APC與ACB相似的條件是()A.B.C.D.解析如圖,AA,ACPB,APCACB時,都滿足三角形相似的條件;當AC2APAB時,即,也滿足相似條件;中兩個對應邊的夾角不是A,故不相似.答案D2.如圖所示,ABCAEDAFG,DE是ABC的中位線,ABC與AFG的相似比是32,則AED與AFG的相似比是()A.34 B.43C.89 D.98解析因為ABC與AFG的相似比是32,故ABAF32,又ABC與AED的相似比是21,即ABAE21,故AED與AFG的相似比kAEAF.故選A.答案A3.在ABC中,D,E分別為AB,AC上的點,且DEBC,ADE的面積是2 cm2,梯形DBCE的面積為6 cm2,則DEBC的值為()A.1B.12C.13 D.14解析如圖,DEBC,ADEABC,SADESABC2(62)14,DEBC12.答案B4.(2016黃岡調考)如圖,在ABCD中,AEEB12,AEF的面積為6,則ADF的面積為_.解析AEDC,AEEB12,AEFCDF,且相似比,又AEF的邊EF上的高與ADF的邊DF上的高相等,.又SAEF6,SADF18.答案185.如圖,在梯形ABCD中,ADBC,ABAD,對角線BDDC,AD3,BC7,則BD2_.解析ADCBCD180,BDC90,ADBBCD90.而ADBABD90,ABDBCD.又BADBDC90,RtABDRtDCB.BD2ADBC3721.答案216.如圖所示,在ABCD中E,F(xiàn)分別在AD與CB的延長線上,請寫出圖中所有的相似三角形.解ABCD,EDHEAG,CHMAGM,F(xiàn)BGFCH.又ADBC,AEMCFM,EDHFCH,AEGBFG,ABCCDA.圖中的相似三角形有AEMCFM,AGMCHM,EDHEAGFBGFCH,ABCCDA.二、能力提升7.在ABC中,AB9,AC12,BC18,點D為AC上一點,DCAC,在AB上取一點E,得到ADE,若ADE與ABC相似,則DE的長為()A.6 B.8C.6或8 D.14解析當ADEACB時,則,DE6,當ADEABC時,則,DE8.答案C8.如圖,BDAE,C90,AB4,BC2,AD3.則DE_,CE_.解析在RtACE和RtADB中,A是公共角,ACEADB,.AE8.則DEAEAD835.在RtACE中,CE2.答案529.如圖所示,BD,AEBC,ACD90,且AB6,AC4,AD12,則BE_.解析BD,AEBACD90,AEBACD,從而得,解得AE2,故BE4.答案410.如圖,已知在正方形ABCD中,P是BC上的點,有BP3PC,Q是CD的中點.求證:ADQQCP.證明在正方形ABCD中,Q是CD的中點,2.3,4.又BC2DQ,2.在ADQ和QCP中,2,CD90,ADQQCP.11.如圖所示,ABC為正三角形,D,E分別是AC,BC邊上的點(不在頂點),BDE60.(1)求證:DECBDA;(2)若正三角形ABC的邊長為6,當D點在什么位置時,可使BE最短,此時BE長是多少?(1)證明BDE60,BDCBDECDE60CDE.又BDC是ABD的一個外角,且A60,BDCAABD60ABD,CDEABD.又AC60,DECBDA.(2)解設DCx,BEy,則EC6y,AD6x.由(1)可得,整理得,即yx2x6(0x6),配方得y(x3)2.0xAE).(1)AEF與ECF是否相似,若相似,證明你的結論;若不相似,請說明理由.(2)設k,是否存在這樣的k值,使得AEF與BCF相似,若存在,證明你的結論,并求出k的值;若不存在,請說明理由.解(1)相似.在矩形ABCD中,AD90.EFEC,A,D,E共線,AEFDEC90.又DECDCE90,AEFDCE.AEFDCE.AEDE,.又AFEC90,AEFECF.(2)存在.由于AEF90AFE180CFEAFEBFC,只能是AEFBCF.AEFBCF.由(1)知AEFDCEECF,AEFDCEECFBCF,又DCEECFBCF90,DCE30,即k.反過來,當k時,DCE30,AEFDCE30,ECFAEF30,BCF90303030AEF.AEFBCF.- 配套講稿:
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