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模塊綜合測評
(時間：120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設(shè)a，b是實數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
D [設(shè)a＝1，b＝－2，則有a>b，但a2
bD?/a2>b2；設(shè)a＝－2，b＝1，顯然a2>b2，但ab2D?/a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件．]
2．命題“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
C [故原命題的否定為：?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.故選C.]
3．下列命題中，正確命題的個數(shù)是( )
①命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”；
②“p∨q為真”是“p∧q為真”的充分條件；
③若p∧q為假命題，則p，q均為假命題；
④對命題p：?x0∈R，使得x＋x0＋1<0，則p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
【導(dǎo)學(xué)號：97792185】
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①正確；②由p∨q為真可知，p，q至少有一個是真命題即可，所以p∧q不一定是真命題；反之，p∧q是真命題，p，q均為真命題，所以p∨q一定是真命題，②不正確；③若p∧q為假命題，則p，q至少有一個假命題，③不正確；④正確．]
4．過點P(1，－3)的拋物線的標準方程為( )
A．x2＝y(tǒng)或x2＝－y
B．x2＝y(tǒng)
C．y2＝－9x或x2＝y(tǒng)
D．x2＝－y或y2＝9x
D [P(1，－3)在第四象限，所以拋物線只能開口向右或向下，設(shè)方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－y.故選D.]
5．函數(shù)f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f(－1)與f(1)的大小關(guān)系為( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)f(1) D．無法確定
C [f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f(x)＝x2＋2xf′(1)＝x2－4x，
f(1)＝－3，f(－1)＝5.
∴f(－1)>f(1)．]
6．已知雙曲線的離心率e＝2，且與橢圓＋＝1有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝2x
C [雙曲線的焦點為F(4,0)，e＝＝2，∴a＝2，b＝＝2，∴漸近線方程為y＝x＝x.]
7．橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后必過橢圓的另一個焦點．今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A，B是它的兩個焦點，其長軸長為2a，焦距為2c(a＞c＞0)，靜放在點A的小球(小球的半徑不計)，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是( )
A．2(a－c) B．2(a＋c)
C．4a D．以上答案均有可能
D [如圖，本題應(yīng)分三種情況討論：
當小球沿著x軸負方向從點A出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是2(a－c)；
當小球沿著x軸正方向從點A出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是2(a＋c)；
當是其他情況時，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是4a.]
8．點P在曲線y＝x3－x＋3上移動，過點P的切線的傾斜角的取值范圍為( )
A．[0，π)
B．∪
C．∪
D．∪
B [f′(x)＝3x2－1≥－1，即切線的斜率k≥－1，所以切線的傾斜角的范圍為∪.]
9．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，則C的離心率為( )
【導(dǎo)學(xué)號：97792186】
A. B. C. D.
D [由題意知即
由|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2得(2c)2＋＝，
即＝，所以e＝＝.]
10．若直線y＝2x與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為( )
A．(1, ) B．(，＋∞)
C．(1, ] D．[，＋∞)
B [雙曲線的兩條漸近線中斜率為正的漸近線為y＝x.由條件知，應(yīng)有>2，
故e＝＝＝>.]
11．設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0的實數(shù)解x0，則稱(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數(shù)g(x)＝x3－x2＋3x－，則g＋g＋g＋…＋g＝( )
A．2 017 B．2 018
C．2 019 D．2 020
B [(1)∵g(x)＝x3－x2＋3x－，
∴g′(x)＝x2－x＋3，g″(x)＝2x－1，令g″(x)＝2x－1＝0，得x＝，∵g＝－＋3－＝1，∴g(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為，∴g(x)＋g(1－x)＝2，
∴g＋g＋g＋…＋g＝21 009＝2 018.]
12．若0ln x2－ln x1
B．ex2－ex1x1ex2
D．x2ex1g(x2)，
∴x2ex1>x1ex2.]
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)
13．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是________．
若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3 [a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，
a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.]
14．曲線y＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為________________.
【導(dǎo)學(xué)號：97792187】
3x－y＋1＝0 [y′＝ex＋xex＋2，k＝y(tǒng)′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，
所以切線方程為y－1＝3(x－0)，
即3x－y＋1＝0.]
15.如圖1為函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式xf′(x)＜0的解集為________________．
圖1
(－∞，－)∪(0, ) [當x＜0時，f′(x)＞0，此時f(x)為增函數(shù)，
由圖象可知x∈(－∞，－)；
當x＞0時，f′(x)＜0，此時f(x)為減函數(shù)，由圖象可知x∈(0, )．
所以xf′(x)＜0的解集為(－∞，－)∪(0, )．]
16．設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足12＝0，則的值為________．
2 [設(shè)橢圓長半軸長為a1，雙曲線實半軸長為a2，
則|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.
平方相加得|PF1|2＋|PF2|2＝2a＋2a.
又∵12＝0，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴a＋a＝2c2，∴＋＝2，
即＋＝＝2.]
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)設(shè)命題p：方程＋＝1表示的曲線是雙曲線；命題q：?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．
[解] 對于命題p，因為方程＋＝1表示的曲線是雙曲線，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得m<－4或m>，則命題p：m<－4或m>.
對于命題q，因為?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在實數(shù)集R上有解，
所以Δ＝(2m)2－43(m＋6)>0，
解得m<－3或m>6.
則命題q：m<－3或m>6.
因為命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以命題p與命題q有且只有一個為真命題．
若命題p為真命題且命題q為假命題，
即得0)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)已知對任意的x>0，ax(2－ln x)≤1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
[解] 由題意知函數(shù)的定義域為{x|x>0}，f′(x)＝－＝(a>0)．
(1)由f′(x)>0解得x>，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
由f′(x)<0解得x<，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
所以當x＝時，函數(shù)f(x)有極小值f＝aln ＋a＝a－aln a，無極大值．
(2)設(shè)g(x)＝ax(2－ln x)＝2ax－axln x，
則函數(shù)g(x)的定義域為(0，＋∞)．
g′(x)＝2a－(ax＋aln x)＝a－aln x.
由g′(x)＝0，解得x＝e.
由a>0可知，當x∈(0，e)時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；
當x∈(e，＋∞)時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)g(x)的最大值即g(x)的極大值g(e)＝ae.
要使不等式ax(2－ln x)≤1恒成立，只需[g(x)]max≤1，即ae≤1，
解得a≤.
又a>0，所以00，即f′(x)>0，故f(x)為增函數(shù)；
當x>x2時，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù)．
由f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，知x2＝≤3，解得a≥－，故a的取值范圍為.
22．(本小題滿分12分)
如圖2，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長軸長為4，焦距為2.
圖2
(1)求橢圓C的方程．
(2)過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸于點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點．過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長QM交C于點B.
①設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k，k′，證明為定值；
②求直線AB的斜率的最小值．
[解] (1)設(shè)橢圓的半焦距為c.
由題意知2a＝4,2c＝2，所以a＝2，b＝＝.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)①證明：設(shè)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．
由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)．
所以直線PM的斜率k＝＝，
直線QM的斜率k′＝＝－.
此時＝－3.所以為定值－3.
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由①知直線PA的方程為y＝kx＋m，則直線QB的方程為y＝－3kx＋m.
聯(lián)立
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.
由x0x1＝，可得x1＝，
所以y1＝kx1＋m＝＋m.
同理x2＝，y2＝＋m.
所以x2－x1＝－＝，
y2－y1＝＋m－－m＝，
所以kAB＝＝＝.
由m>0，x0>0，可知k>0，
所以6k＋≥2，等號當且僅當k＝時取得．
此時＝，即m＝，符合題意．
所以直線AB的斜率的最小值為.
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