2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題2 三角函數(shù)及解三角形 專題能力提升練七 2.2.2 三角恒等變換與解三角形.doc
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專題能力提升練 七 三角恒等變換與解三角形(45分鐘80分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.3cos 15-4sin215cos 15=()A.12B.22C.1D.2【解析】選D.3cos 15-4sin215cos 15=3cos 15-2sin 152sin 15cos 15=3cos 15-2sin 15sin 30=3cos 15-sin 15=2cos(15+30)=2.2.(2018永州二模)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若csinB+bsinC =2a,則ABC是()A.等邊三角形B.銳角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形【解析】選C.因?yàn)閏sinB+bsinC=2a,所以由正弦定理可得,sinCsinB+sinBsinC=2sin A2sinCsinBsinBsinC=2,所以sin A=1,當(dāng)sinCsinB=sinBsinC時(shí),“=”成立,所以A=2,b=c,所以ABC是等腰直角三角形.3.(2018全國(guó)卷)在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,則AB=()A.42B.30C.29D.25【解析】選A.cos C=2cos2C2-1=2552-1=-35,在ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CACBcos C,得AB2=25+1-215-35=32,所以AB=42.4.若向量a=tan67.5,1cos157.5,向量b=(1,sin 22.5),則ab=()A.2B.-2C.2D.-2【解析】選A.由題得ab=tan 67.5+sin22.5cos157.5=tan 67.5+sin22.5-cos22.5=tan 67.5-tan 22.5=tan 67.5-1tan67.5=tan267.5-1tan67.5=2tan267.5-12tan67.5=2-1tan135=2.【加固訓(xùn)練】(2018會(huì)寧一中一模)已知x為銳角,a-cosxsinx=3,則a的取值范圍為()A.-2,2B.(1,3)C.(1,2D.(1,2)【解析】選C.由a-cosxsinx=3,可得:a=3sin x+cos x=2sinx+6,又x0,2,所以x+66,23,所以a的取值范圍為(1,2.5.在銳角ABC中,A=2B,則ABAC的取值范圍是()A.(-1,3)B.(1,3)C.(2,3)D.(1,2)【解析】選D.ABAC=sinCsinB=sin(-3B)sinB=sin3BsinB=3-4sin2B.因?yàn)锳BC是銳角三角形,所以0B2,02B2,0-(2B+B)2,得6B4sin2B14,12.所以ABAC=3-4sin2B(1,2).6.(2018全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC的面積為a2+b2-c24,則C=()A.2B.3C.4D.6【解析】選C.由題意SABC=12absin C=a2+b2-c24,即sin C=a2+b2-c22ab,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C(0,),所以C=4.【加固訓(xùn)練】(2018濮陽(yáng)一模) 已知ABC中,sin A,sin B,sin C成等比數(shù)列,則sin2BsinB+cosB的取值范圍是()A.-,22B.0,22C.(-1,2D.0,3-32【解析】選B.由已知可知sin2B=sin Asin C,即b2=ac,cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12,即0B3,sin B+cos B=2sinB+4(1,2,原式=2sinBcosBsinB+cosB=(sinB+cosB)2-1sinB+cosB,設(shè)t=sin B+cos B,即原式=t2-1t=t-1t(11)米,AC=t(t0)米,依題設(shè)AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在ABC中,由余弦定理得: AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡(jiǎn)并整理得:t=x2-0.25x-1(x1),即t=x-1+0.75x-1+2,因?yàn)閤1,故t=x-1+0.75x-1+22+3,當(dāng)且僅當(dāng)x=1+32時(shí)取等號(hào),此時(shí)取最小值2+3.答案:2+3三、解答題(每小題10分,共40分)9.(2018全國(guó)卷)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB.(2)若DC=22,求BC.【解析】(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由題設(shè)知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由題意知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由題意及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.10.如圖,在ABC中,AB=2,cos B=13,點(diǎn)D在線段BC上.(1)若ADC=34,求AD的長(zhǎng).(2)若BD=2DC,ACD的面積為423,求sinBADsinCAD的值.【解題指南】(1)首先利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的長(zhǎng).(2)首先利用三角形面積間的關(guān)系求得SABC,然后利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求得sinBADsinCAD的值.【解析】(1)在三角形中,因?yàn)閏os B=13,所以sin B=223,在ABD中,由正弦定理得ABsinADB=ADsinB,又AB=2,ADB=4,sin B=223.所以AD=83.(2)因?yàn)锽D=2DC,所以SABD=2SADC,SABC=3SADC,又SADC=432,所以SABC=42,因?yàn)镾ABC=12ABBCsinABC,所以BC=6,因?yàn)镾ABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD,SABD=2SADC,所以sinBADsinCAD=2ACAB,在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC.所以AC=42,所以sinBADsinCAD=2ACAB=42.11.已知函數(shù)f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1(xR).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0,2上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=65,x04,2,求cos 2x0的值.【解析】(1)f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1=3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為;因?yàn)閤0,2,所以2x+66,76,sin2x+6-12,1,所以函數(shù)f(x)=2sin2x+6在區(qū)間0,2上的最大值為2,最小值為-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin2x0+6,又因?yàn)閒(x0)=65,所以sin2x0+6=35,由x04,2,得2x0+623,76,從而cos2x0+6=-1-sin22x0+6=-45,所以cos 2x0=cos2x0+6-6=cos2x0+6cos 6+sin2x0+6sin 6=3-431012.在ABC中,D是邊BC上的點(diǎn),AB=AD=7,cosBAD=17.(1)求sin B.(2)若AC=4,求ADC的面積.【解題指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出結(jié)果.(2)利用(1)的結(jié)論和余弦定理求出三角形的面積.【解析】(1)在ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=7+7-27717=12,得BD=23.由cosBAD=17,得sinBAD=437,在ABD中,由正弦定理得ADsinB=BDsinBAD,所以sin B=723437=277.(2)因?yàn)閟in B=277,B是銳角,所以cos B=217,設(shè)BC=x,在ABC中,AB2+BC2-2ABBCcos B=AC2,即7+x2-2x7217=16,化簡(jiǎn)得:x2-23x-9=0,解得x=33或x=-3(舍去),則CD=BC-BD=33-23=3,由ADC和ADB互補(bǔ),得sinADC=sinADB=sin B=277,所以ADC的面積S=12ADDCsinADC=1273277=3.【加固訓(xùn)練】(2018肇慶二模)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為acsin 2B.(1)求sin B的值.(2)若c=5,3sin2C=5sin2Bsin2A,且BC的中點(diǎn)為D,求ABD的周長(zhǎng).【解析】(1)由SABC=12acsin B=acsin 2B,得12sin B=2sin Bcos B,因?yàn)?B0,故cos B=14,又sin2B+cos2B=1,所以sin B=154.(2)由(1)和3sin2C=5sin2Bsin2A得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,因?yàn)閏=5,所以a=4,BD=12a=2,在ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2cBDcos B=52+22-25214=24,所以AD=26.所以ABD的周長(zhǎng)為c+BD+AD=7+26.(建議用時(shí):50分鐘)1.(2018石家莊一模)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶早在數(shù)書(shū)九章中就獨(dú)立創(chuàng)造了已知三角形三邊求其面積的公式:“以小斜冪并大斜冪,減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減之,以四約之,為實(shí),一為從隅,開(kāi)方得積.”(即:S=14c2a2-c2+a2-b222,cba),并舉例“問(wèn)沙田一段,有三斜(邊),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知為田幾何?”則該三角形田面積為()A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【解析】選C.由題意可得:a=13,b=14,c=15代入:S=14c2a2-c2+a2-b222=14152132-152+132-14222=84,則該三角形田面積為84平方里.2.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2sinA2-6=1,且a=2,則ABC的面積的最大值為()A.3B.33C.32D.23【解析】選B.sinA2-6=12,A2-6=6,A=23,由于a=2為定值,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos 23,即4=b2+c2+bc.根據(jù)基本不等式得4=b2+c2+bc2bc+bc=3bc,即bc43,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立.S=12bcsin A124332=33.3.在ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,則邊b=_.【解析】 由sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,得sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以sin C=csin B,即sinCc=sin B,由正弦定理sinBb=sinCc,故b=csinBsinC=1.答案:14.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)ABC的面積為S,若3a2=2b2+c2,則Sb2+2c2的最大值為_(kāi).【解析】因?yàn)?a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以Sb2+2c2=12bcsinA6bccosA=112tan A.由題得a2=2b2+c23,所以 cos A=b2+c2-a22bc=b2+c2-2b2+c232bc=b2+2c26bc22bc6bc=23,所以tan A=1cos2A-192-1=142,當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時(shí)取等號(hào).所以Sb2+2c2的最大值為1424.答案:1424【加固訓(xùn)練】(2018衡水中學(xué)模擬)在銳角ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,(b2+c2-3)tan A=3bc,2cos2A+B2=(2-1)cos C,則ABC的面積等于_.【解析】條件(b2+c2-3)tan A=3bc即為(b2+c2-a2)tan A=3bc,由余弦定理得2bccos Atan A=3bc,所以得sin A=32,又A為銳角,所以A=3.又2cos2A+B2=1+cos(A+B)=1-cos C=(2-1)cos C,所以cos C=22,得C=4,故B=512.在ABC中,由正弦定理得asinA=csinC,所以c=asinCsinA=32232=2.故ABC的面積S=12acsin B=1232sin 512=3+34.答案:3+345.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(b-c)2=a2-32bc.(1)求sin A.(2)若a=2,且sin B,sin A,sin C成等差數(shù)列,求ABC的面積.【解析】(1)由(b-c)2=a2-32bc,得b2+c2-a2=12bc,即b2+c2-a22bc=14,由余弦定理得cos A=14,因?yàn)?A,所以sin A=154.(2)由sin B,sin A,sin C成等差數(shù)列,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理得b+c=2a=4,所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc.由(1)得16=a2+52bc,所以16=4+52bc,解得bc=245,所以SABC=12bcsin A=12245154=3155.6.(2018太原一模)ABC的內(nèi)角為A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosCsinB =bsinB+ccosC.(1)求sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)的最大值.(2)若b=2,當(dāng)ABC的面積最大時(shí),求ABC的周長(zhǎng).【解題指南】(1)先根據(jù)正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,再根據(jù)三角公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.(2)根據(jù)余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由acosCsinB=bsinB+ccosC得:acosCsinB=bcosC+csinBsinBcosC,a=bcos C+csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=4;由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=2(sin A+cos A)+sin Acos A,令t=sin A+cos A,原式=12t2+2t-12,當(dāng)且僅當(dāng)A=4時(shí),上式取最大值,最大值為52.(2)S=12acsin B=24ac,b2=a2+c2-2accos B,即2=a2+c2-2ac(2-2)ac,ac2+2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2+2等號(hào)成立;Smax=2+12,周長(zhǎng)L=a+b+c=22+2+2.7.(2018唐山二模) 如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=23,AC=2,ADC=CAB=90,設(shè)DAC=.(1)若=60,求BD 的長(zhǎng)度;(2)若ADB=30,求tan .【解題指南】(1)在ABD中,利用余弦定理直接求出BD.(2)在ABD中,寫(xiě)出正弦定理再化簡(jiǎn)即得解.【解析】(1)由題意可知,AD=1.在ABD中,DAB=150,AB=23,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(23)2+12-2231-32=19,BD=19.(2)由題意可知,AD=2cos ,ABD=60-,在ABD中,由正弦定理可知,ADsinABD=ABsinADB,所以2cossin(60-)=43,所以tan =233.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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