2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 階段復(fù)習(xí)課 第2課 隨機(jī)變量及其分布學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第二課 隨機(jī)變量及其分布 [核心速填] (建議用時(shí)5分鐘) 1．離散型隨機(jī)變量 如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列出，則稱X為離散型隨機(jī)變量． 2．條件概率的性質(zhì) (1)非負(fù)性：0≤P(B|A)≤1. (2)可加性：如果是兩個(gè)互斥事件， 則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 3．相互獨(dú)立事件的性質(zhì) (1)推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (2)對于互斥事件A與B有下面的關(guān)系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 4．二項(xiàng)分布滿足的條件 (1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的． (2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的． (3)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． (4)隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)． 5．超幾何分布與二項(xiàng)分布的概率計(jì)算 (1)超幾何分布：P(X＝k)＝(其中k為非負(fù)整數(shù))． (2)二項(xiàng)分布：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 6．期望與方差及性質(zhì) (1)E(X)＝X1P1＋X2P2＋…＋XnPn. (2)D(X)＝(X1－E(X))2P1＋(X2－E(X))2P2＋…＋(xn－E(X))2Pn. (3)若η＝aξ＋b(a，b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b. (4)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)． (5)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2. 7．正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈68.27%. (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈95.45%. (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈99.73%. [體系構(gòu)建] [題型探究] 條件概率 條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率． 求條件概率的主要方法有： (1)利用條件概率公式P(B|A)＝； (2)針對古典概型，可通過縮減基本事件總數(shù)求解． 在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求： (1)第1次抽到理科題的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科題的概率； (3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032213】 [解] 設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB. (1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為 n(Ω)＝A＝20. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A)＝AA＝12. 于是P(A)＝＝＝. (2)因?yàn)閚(AB)＝A＝6， 所以P(AB)＝＝＝. (3)法一(定義法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率 P(B|A)＝＝＝. 法二(直接法)：因?yàn)閚(AB)＝6，n(A)＝12， 所以P(B|A)＝＝＝. [規(guī)律方法] 條件概率的兩個(gè)求解策略 (1)定義法：計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解． (2)縮小樣本空間法(直接法)：利用P(B|A)＝求解．其中(2)常用于古典概型的概率計(jì)算問題． [跟蹤訓(xùn)練] 1．拋擲5枚硬幣，在已知至少出現(xiàn)了2枚正面朝上的情況下，問：正面朝上數(shù)恰好是3枚的條件概率是多少？ [解] 法一(直接法)：記至少出現(xiàn)2枚正面朝上為事件A，恰好出現(xiàn)3枚正面朝上為事件B，所求概率為P(B|A)，事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為n(A)＝C＋C＋C＋C＝26， 事件B包含的基本事件的個(gè)數(shù)為n(B)＝C＝10，P(B|A)＝＝＝＝. 法二(定義法)：事件A，B同上，則 P(A)＝＝， P(AB)＝P(B)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 相互獨(dú)立事件的概率與二項(xiàng)分布 求相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對立事件結(jié)合在一起進(jìn)行考查，解答此類問題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解． 特別注意以下兩公式的使用前提： (1)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立． (2)若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立． 一個(gè)暗箱里放著6個(gè)黑球、4個(gè)白球． (1)依次取出3個(gè)球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (2)有放回地依次取出3個(gè)球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (3)有放回地依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)ξ的分布列和期望. 【導(dǎo)學(xué)號：95032214】 [解] 設(shè)事件A為“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B為“第2次取到白球”，C為“第3次取到白球”， (1)P(A)＝＝. (2)因?yàn)槊看稳〕鲋鞍迪涞那闆r沒有變化，所以每次取球互不影響， 所以P()＝＝. (3)設(shè)事件D為“取一次球，取到白球”，則P(D)＝，P()＝，這3次取出球互不影響， 則ξ～B， 所以P(ξ＝k)＝C(k＝0,1,2,3)．E(ξ)＝3＝. 提醒：有放回地依次取出3個(gè)球，相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)事件，即ξ～B，則可根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的定義求解． [規(guī)律方法] 求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問題 (1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具． (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系． (3)公式“P(A＋B)＝1－P()”常應(yīng)用于求相互獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率． [跟蹤訓(xùn)練] 2．紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； (2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求P(ξ≤1)． [解] (1)設(shè)“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則，，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因?yàn)镻(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對立事件的概率公式，知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5. 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF. 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝ 0.60.50.5＋0.60.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.55. (2)由題意，知ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝P()＝0.40.50.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P(F)＋P(E)＋P(D)＝0.40.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.35， 所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45. 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差 1.含義：均值和方差分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平及其穩(wěn)定性． 2．應(yīng)用范圍：均值和方差在實(shí)際優(yōu)化問題中應(yīng)用非常廣泛，如同等資本下比較收益的高低、相同條件下比較質(zhì)量的優(yōu)劣、性能的好壞等． 3．求解思路：應(yīng)用時(shí)，先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布列．對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列，再代入公式計(jì)算，此時(shí)解題的關(guān)鍵是概率的計(jì)算．計(jì)算概率時(shí)要結(jié)合事件的特點(diǎn)，靈活地結(jié)合排列組合、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率等知識求解．若離散型隨機(jī)變量服從特殊分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，則可直接代入公式計(jì)算其數(shù)學(xué)期望與方差． 一次同時(shí)投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻，且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個(gè)數(shù)字) (1)設(shè)隨機(jī)變量η表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和，求η的分布列． (2)若連續(xù)投擲10次，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和大于5的次數(shù)，求E(ξ)，D(ξ)． [解] (1)由已知，隨機(jī)變量η的取值為：2,3,4,5,6.設(shè)擲一次正方體骰子所得點(diǎn)數(shù)為η0，則η0的分布列為： P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝， P(η0＝3)＝， 所以η的分布列為： P(η＝2)＝＝， P(η＝3)＝2＝， P(η＝4)＝2＋＝， P(η＝5)＝2＝. P(η＝6)＝＝. (2)由已知，滿足條件的一次投擲的點(diǎn)數(shù)和取值為6，設(shè)其發(fā)生的概率為p，由(1)知，p＝， 因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B， 所以E(ξ)＝np＝10＝， D(ξ)＝np(1－p)＝10＝. [規(guī)律方法] 求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 3．為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽． (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解] (1)由已知，有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 所以，隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1＋2＋3＋4＝. 正態(tài)分布的概率 對于正態(tài)分布問題，課標(biāo)要求不是很高，只要求了解正態(tài)分布中最基礎(chǔ)的知識，主要是：(1)掌握正態(tài)分布曲線函數(shù)關(guān)系式；(2)理解正態(tài)分布曲線的性質(zhì)；(3)記住正態(tài)分布在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，運(yùn)用對稱性結(jié)合圖象求相應(yīng)的概率． 正態(tài)分布下兩類常見的概率計(jì)算 (1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1. (2)利用3σ原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ、σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)． 設(shè)X～N(10,1)． (1)證明：P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)． (2)設(shè)P(X≤2)＝a，求P(10＜X＜18). 【導(dǎo)學(xué)號：95032215】 [解] (1)證明：因?yàn)閄～N(10,1)，所以，正態(tài)曲線φμ，σ(x)關(guān)于直線x＝10對稱，而區(qū)間(1,2)和(18,19)關(guān)于直線x＝10對稱， 所以φμ，σ(x)dx＝φμ，σ(x)dx 即P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)． (2)因?yàn)镻(X≤2)＋P(2＜X≤10)＋P(10＜X＜18)＋P(X≥18)＝1， P(X≤2)＝P(X≥18)＝a， P(2＜X≤10)＝P(10＜X＜18)， 所以，2a＋2P(10＜X＜18)＝1， 即P(10＜X＜18)＝＝－a. 母題探究：(改變結(jié)論)在題設(shè)條件不變的情況下，求P(8＜X＜12)． [解] 由X～N(10,1)可知，μ＝10，σ2＝1， 又P(8＜X＜12)＝P(10－2＜X＜10＋2)＝0.954 5. [規(guī)律方法] 正態(tài)分布的概率求法 (1)注意“3σ”原則，記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率． (2)注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題． [跟蹤訓(xùn)練] 4．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1 000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖22所示．若體重大于58.5 kg小于等于62.5 kg屬于正常情況，則這1 000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是( ) 圖22 A．997 B．954 C．819 D．683 D [由題意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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