2018年秋高中數學 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.1 綜合法和分析法學案 新人教A版選修1 -2.doc
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2.2.1綜合法和分析法學習目標:1.理解綜合法、分析法的意義,掌握綜合法、分析法的思維特點(重點、易混點)2.會用綜合法、分析法解決問題(重點、難點)自 主 預 習探 新 知1綜合法定義推證過程特點利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結論)順推證法或由因導果法2.分析法定義框圖表示特點一般地,從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止這種證明方法叫做分析法.逆推證法或執(zhí)果索因法.思考1:綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理?提示綜合法與分析法的推理過程是演繹推理,因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理,從而得到的每一個結論都是正確的,不同于合情推理中的“猜想”思考2: 綜合法與分析法有什么區(qū)別?提示綜合法是從已知條件出發(fā),逐步尋找的是必要條件,即由因導果;分析法是從待求結論出發(fā),逐步尋找的是充分條件,即執(zhí)果索因基礎自測1思考辨析(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法()(2)分析法就是從結論推向已知()(3)所有證明的題目均可使用分析法證明()答案(1)(2)(3)2命題“對于任意角,cos4sin4cos 2”的證明:“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”,其過程應用了() 【導學號:48662070】A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用 D間接證法B從證明過程來看,是從已知條件入手,經過推導得出結論,符合綜合法的證明思路3要證明AB,若用作差比較法,只要證明_AB0要證AB,只要證AB0.4將下面用分析法證明ab的步驟補充完整:要證ab,只需證a2b22ab,也就是證_,即證_,由于_顯然成立,因此原不等式成立a2b22ab0(ab)20(ab)20用分析法證明ab的步驟為:要證ab成立,只需證a2b22ab,也就是證a2b22ab0,即證(ab)20.由于(ab)20顯然成立,所以原不等式成立合 作 探 究攻 重 難綜合法的應用(1)已知a,b是正數,且ab1,證明:4.(2)在ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且2asin A(2bc)sinB(2cb)sin C.求證:A的大小為;若sinBsin C,證明ABC為等邊三角形. 【導學號:48662071】證明(1)法一:因為a,b是正數且ab1,所以ab2,所以,所以4.法二:因為a,b是正數,所以ab20,20,所以(ab)4.又ab1,所以4.法三:11224.當且僅當ab時,取“”號(2)由2asin A(2bc)sinB(2cb)sin C,得2a2(2bc)b(2cb)c,即bcb2c2a2,所以cos A,所以A.因為ABC180,所以BC18060120.由sinBsin C,得sinBsin( 120B),sinB(sin 120cosBcos 120sinB),sinBcosB,即sin (B30)1.因為0B120.所以30B30150,所以B3090,B60.所以ABC60,即ABC為等邊三角形規(guī)律方法綜合法的解題步驟跟蹤訓練1如圖221所示,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中點圖221(1)證明:CDAE;(2)證明:PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAACA,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中點,AEPC.由(1)知,AECD,又PCCDC,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD內的射影是AD.又ABAD,ABPD.又ABAEA,PD平面ABE.分析法的應用設a,b為實數,求證:(ab). 【導學號:48662072】證明當ab0時,0,(ab)成立當ab0時,用分析法證明如下:要證(ab),只需證()2.即證a2b2(a2b22ab),即證a2b22ab.a2b22ab對一切實數恒成立,(ab)成立綜上所述,不等式得證規(guī)律方法用分析法證明不等式的三個關注點(1)分析法證明不等式的依據是不等式的基本性質、基本不等式、已知的重要不等式等.(2)分析法是綜合法的逆過程,即從“未知”看“需知”,執(zhí)果索因,逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實際上是要尋找它的充分條件或充要條件.(3)分析法為逆推證明,因此在使用時要注意邏輯性與規(guī)范性.其格式一般為“要證,只要證,只需證,顯然成立,所以成立”.跟蹤訓練2已知a,b是正實數,求證:. 【導學號:48662073】證明要證,只要證ab()即證(ab)()(),因為a,b是正實數,即證ab,也就是要證ab2,即()20.而該式顯然成立,所以.綜合法和分析法的綜合應用探究問題1在實際解題時,綜合法與分析法是否可以結合起來使用?提示:在實際解題時,常常把分析法和綜合法結合起來使用,即先利用分析法尋找解題思路,再利用綜合法有條理地表述解答過程2你會用框圖表示綜合法與分析法交叉使用時的解題思路嗎?提示:用框圖表示如下:其中P表示已知條件、定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論已知a、b、c是不全相等的正數,且0x1.求證:logxlogxlogxlogxalogxblogxc.思路探究:解答本題的關鍵是利用對數運算法則和對數函數性質轉化成整式不等式證明證明要證明:logxlogxlogxlogxalogxblogxc,只需要證明logxlogx(abc)由已知0xabc.由公式0,0,0,又a,b,c是不全相等的正數,abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立母題探究:1.(變條件)刪掉本例條件“0x1”,求證:lg lg lg lg algblg c.證明要證lg lg lg lg algblg c,只需證lglg(abc),即證abc.因為a,b,c為不全相等的正數,所以0,0,0,且上述三式中等號不能同時成立,所以abc成立,所以lg lg lg lg algblg c成立2(變條件)把本例條件“0x.證明法一:由左式推證右式abc1,且a,b,c為互不相等的正數,bcacab.法二:由右式推證左式a,b,c為互不相等的正數,且abc1,(基本不等式).規(guī)律方法分析綜合法的解題思路分析綜合法的解題思路是:根據條件的結構特點去轉化結論,得到中間結論Q;根據結論的結構特點去轉化條件,得到中間結論P;若由P可推出Q,即可得證.當 堂 達 標固 雙 基1欲證成立,只需證()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2C0,0,故()2()2.2. 在ABC中,若sin Asin Bcos AcosB,則ABC一定是 () 【導學號:48662074】A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形C由sin AsinB0,所以cos C0,求證:3a32b33a2b2ab2.(請用分析法和綜合法兩種方法證明) 【導學號:48662075】證明法一:3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因為ab0,所以ab0,3a22b20,從而(3a22b2)(ab)0,所以3a32b33a2b2ab2.法二:要證3a32b33a2b2ab2,只需證3a2(ab)2b2(ab)0,只需證(3a22b2)(ab)0,ab0.ab0,3a22b22a22b20,上式成立- 配套講稿:
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