2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第六章 推理與證明 6.3 數(shù)學(xué)歸納法(1)分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc
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6.3數(shù)學(xué)歸納法(一)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),如果當(dāng)nk(kN*)時(shí),該命題成立,那么可推得nk1時(shí),該命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時(shí),該命題成立,那么可推導(dǎo)出()A當(dāng)n6時(shí)命題不成立 B當(dāng)n6時(shí)命題成立C當(dāng)n4時(shí)命題不成立 D當(dāng)n4時(shí)命題成立答案B2一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n2時(shí)命題成立,且由nk時(shí)命題成立可以推得nk2時(shí)命題也成立,則()A該命題對(duì)于n2的自然數(shù)n都成立B該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時(shí)成立與k取值無(wú)關(guān)D以上答案都不對(duì)答案B解析由nk時(shí)命題成立可以推出nk2時(shí)命題也成立且n2,故對(duì)所有的正偶數(shù)都成立3在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí),第一步驗(yàn)證n等于()A1 B2 C3 D0答案C解析因?yàn)槭亲C凸n邊形,所以應(yīng)先驗(yàn)證三角形,故選C.4若f(n)1(nN*),則n1時(shí)f(n)是()A1 B.C1 D以上答案均不正確答案C5用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN*)的過(guò)程中,第二步假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立,則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到_答案12222k12k2k11解析由nk到nk1等式的左邊增加了一項(xiàng)6已知f(n)(nN*),則f(k1)_.答案f(k)7用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN*)證明(1)當(dāng)n1時(shí),左邊1,右邊,等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時(shí)等式成立,即,當(dāng)nk1時(shí),所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)可知,對(duì)于任意nN*等式都成立二、能力提升8用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*),從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1時(shí),左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2,應(yīng)增乘2(2k1)9已知f(n),則()Af(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)答案D解析觀察分母的首項(xiàng)為n,最后一項(xiàng)為n2,公差為1,項(xiàng)數(shù)為n2n1.10以下用數(shù)學(xué)歸納法證明“242nn2n(nN*)”的過(guò)程中的錯(cuò)誤為_(kāi)答案缺少步驟(1),沒(méi)有遞推的基礎(chǔ)證明假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立,即242kk2k,那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1),即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立因此對(duì)于任何nN*等式都成立11用數(shù)學(xué)歸納法證明:12223242(1)n1n2(1)n1.證明(1)當(dāng)n1時(shí),左邊1,右邊(1)111,結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí),結(jié)論成立即12223242(1)k1k2(1)k1,那么當(dāng)nk1時(shí),12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k(1)k11.即nk1時(shí)結(jié)論也成立由(1)(2)可知,對(duì)一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立12已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2,nN*),Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表達(dá)式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式(1)解a2S1a15,a3S2a1a210,a4S3a1a2a3551020,猜想an.(2)證明當(dāng)n2時(shí),a252225,公式成立假設(shè)nk(k2,kN*)時(shí)成立,即ak52k2,當(dāng)nk1時(shí),由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2a3ak551052k2.552k152(k1)2.故nk1時(shí)公式也成立由可知,對(duì)n2,nN*,有an52n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.三、探究與創(chuàng)新13已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1nan(nN*)(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4;(2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解(1)計(jì)算得a1;a2;a3;a4.(2)猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n1時(shí),猜想顯然成立假設(shè)nk(kN*)時(shí),猜想成立,即ak.那么,當(dāng)nk1時(shí),Sk11(k1)ak1,即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak,所以ak11(k1)ak1,從而ak1.即nk1時(shí),猜想也成立故由和可知,猜想成立.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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