2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第5講 數(shù)學(xué)歸納法講義 理(含解析).doc
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第5講數(shù)學(xué)歸納法考綱解讀1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題(重點(diǎn))2.數(shù)學(xué)歸納法的主要作用是證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式及數(shù)列問題(難點(diǎn))考向預(yù)測從近三年高考情況來看,對本講并沒有直接涉及,當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式的證明,且其他方法不易證時,可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明求解.數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:1(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立;2(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0,kN*)時命題成立,證明當(dāng)nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立,上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法1概念辨析(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時結(jié)論成立()(2)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時,由nk到nk1時,項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,歸納假設(shè)可以不用()(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”,驗(yàn)證n1時,左邊式子應(yīng)為122223.()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是()Axsinx,x(0,)Bexx1(xR)C12n1(nN*)Dsin()sincoscossin(,R)答案C解析數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法,由此可知C符合題意(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(a1,nN*),在驗(yàn)證n1時,等式左邊的項(xiàng)是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析驗(yàn)證n1時,等式左邊的項(xiàng)是1aa2.(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時,xnyn能被xy整除”,當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN*)命題為真時,進(jìn)而需證n_時,命題亦真答案2k1解析由于步長為2,所以2k1后一個奇數(shù)應(yīng)為2k1.題型 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式設(shè)i為虛數(shù)單位,n為正整數(shù),0,2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:(cosisin)ncosnisinn.證明當(dāng)n1時,左邊右邊cosisin,所以命題成立;假設(shè)當(dāng)nk時,命題成立,即(cosisin)kcoskisink,則當(dāng)nk1時,(cosisin)k1(cosisin)k(cosisin)(coskisink)(cosisin)(coskcossinksin)i(sinkcoscosksin)cos(k1)isin(k1),所以當(dāng)nk1時,命題成立綜上,由和可得,(cosisin)ncosnisinn.數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn)(1)思路:用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少(2)注意點(diǎn):由nk時等式成立,推出nk1時等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過程提醒:歸納假設(shè)就是證明nk1時命題成立的條件,必須用上,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(nN*)證明當(dāng)n1時,左邊,右邊,左邊右邊,等式成立假設(shè)nk(k1,kN*)時,等式成立即,當(dāng)nk1時,左邊,右邊,左邊右邊,等式成立由知,對nN*,原等式成立題型 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù),不等式均成立證明當(dāng)n2時,左邊1,右邊.左邊右邊,不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2,且kN*)時不等式成立即.則當(dāng)nk1時,.當(dāng)nk1時,不等式也成立由知對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式成立應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)適用范圍:當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)關(guān)鍵:用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立,推證nk1時也成立,證明時用上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.求證:當(dāng)n1(nN*)時,(12n)n2.證明(1)當(dāng)n1時,左邊右邊,命題成立當(dāng)n2時,左邊(12)22,命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時命題成立,即(12k)k2.則當(dāng)nk1時,有左邊(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當(dāng)k2時,11,左邊k21(k1)k22k1(k1)2.這就是說當(dāng)nk1時,命題成立由(1)(2)可知當(dāng)n1(nN*)時原命題成立題型 歸納猜想證明如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(0y1y20,所以a12,同理可得a26,a312.(2)依題意,得xn,yn,由此及y3xn得2(an1an),即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想:ann(n1)(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明:當(dāng)n1時,命題顯然成立;假設(shè)當(dāng)nk時命題成立,即有ank(k1),則當(dāng)nk1時,由歸納假設(shè)及(ak1ak)22(akak1)得ak1k(k1)22k(k1)ak1,即a2(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0,解得ak1(k1)(k2)或ak1k(k1)0,nN*.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通項(xiàng)公式;(2)證明通項(xiàng)公式的正確性解(1)當(dāng)n1時,由已知得a11,a2a120.所以a11(a10)當(dāng)n2時,由已知得a1a21,將a11代入并整理得a2a220.所以a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)證明:由(1)知,當(dāng)n1,2,3時,通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3,kN*)時,通項(xiàng)公式成立,即ak.由ak1Sk1Sk,將ak代入上式并整理,得a2ak120,解得ak1(負(fù)值舍去)即當(dāng)nk1時,通項(xiàng)公式也成立由和,可知對所有nN*,an都成立- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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