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專題03 特例法 方法探究 特例法對解決有關數(shù)學題目是一種非常獨特且十分有效的方法，它可以使繁雜的問題處理簡易化，收到事半功倍的效果. 特例法也就是我們常說的特殊值驗證法，有時也用特殊數(shù)值、特殊圖形、特殊位置代替題設中普遍條件，得出特殊結論，再對各選項進行檢驗，從而做出正確的選擇．特別是對于一些比較棘手的高考選擇題或填空題，若能注意到其特殊情況，從特殊性入手，也許就可以簡捷快速地解決問題. 常用的特例有特殊數(shù)值、特殊點、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答選擇題的最佳方法之一，具體是通過特例的方式提高解題速度，題中的一般情況必須滿足我們?nèi)≈档奶厥馇闆r，從而我們選取適當?shù)奶刂祹椭覀兊玫秸_的結論.比如，某個數(shù)列，可以考慮等差數(shù)列或等比數(shù)列的情形；某個三角形，可以考慮直角三角形或等邊三角形；橢圓上某點，可以考慮長軸或短軸的端點等，但考慮的前提是一定要滿足這種情況適合題中所有條件. 特例法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題或填空題，但使用時一定要注意：（1）取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；（2）若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解；（3）當正確的選擇對象，在題設普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得越簡單越好）進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，這是解答本類選擇、填空題的最佳策略. 近年來高考選擇、填空題中可用或結合用特例法解答的試題能占到30%左右，所以要想快速準確地贏得時間獲取高分，一定要學會、會用并且靈活使用特例法！ 經(jīng)典示例 【例1】（利用特殊值）若實數(shù)，則下列不等式中一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【名師點睛】本題主要考查了不等式的基本性質，其中熟記不等式的基本性質的使用條件和推理方法是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力.通過不等式的性質的推理和舉出反例，即可作出判斷. 【備考警示】本題在選取a，b的值時，一定要滿足條件，才可以正確求解. 【例2】（利用特殊函數(shù)）下列有關函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是 A．若f(x)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)＋g(x)為增函數(shù) B．若f(x)為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)＋g(x)為減函數(shù) C．若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)＋g(x)為增函數(shù) D．若f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)－g(x)為減函數(shù) 【答案】C 【解析】方法一： 取函數(shù)，為增函數(shù)，取函數(shù)，為減函數(shù)，則，為減函數(shù)，故C不正確.選C. 當然，本題選取其他符合題意的函數(shù)也可，比如等. 方法二： 設任意實數(shù)，根據(jù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，則，，設，當時， ，由于，，所以的符號不確定，即的單調(diào)性不確定，故選C． 【方法點睛】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，可以進行證明并得到下面結論：在公共的定義域內(nèi)，增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù).在解選擇題、填空題時我們可以根據(jù)此結論直接對常見函數(shù)進行單調(diào)性的判斷. 【備考警示】很明顯，方法一要比方法二更簡潔，比利用結論更直觀. 【例3】（利用特殊數(shù)列）已知數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列“的” A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】D 【名師點睛】一般地，等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是或．等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是公差． 【備考警示】等比數(shù)列的通項公式為，故其單調(diào)性不僅取決于的符號，還要考慮還是．所以本題直接求解比較困難，而選取特殊值，構造特殊數(shù)列會簡單快捷得多. 【例4】（利用特殊位置）在三棱錐中，底面為直角三角形，且，斜邊上的高為，三棱錐的外接球的直徑是，若該外接球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為__________． 【答案】 【解析】如圖所示， 由外接球的表面積為，可得外接球的半徑為，則， 設，則，又邊上的高， 當平面時，棱錐的體積最大，此時，易知當時，體積最大，且最大值為. 【名師點睛】本題考查了有關球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時要認真審題，注意球的性質的合理運用，把球的體積表示成關于的函數(shù)表達式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力. 【備考警示】幾何問題的特殊位置一般是垂直、平行、對稱或中點處等，做題時多往這幾方面考慮. 拓展變式 1．已知，則“，”是“”的 A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【名師點睛】在判斷充分、必要條件時需要注意：(1)確定條件是什么、結論是什么；(2)嘗試從條件推導結論，從結論推導條件；(3)確定條件是結論的什么條件．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性問題． 【方法技巧】熟練應用找特殊值進行驗證是解決此類問題的快速有效方法. 2．已知橢圓的左焦點為，點為橢圓上一動點，過點向以為圓心，為半徑的圓作切線，其中切點為，則四邊形面積的最大值為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖所示， 【名師點睛】本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、圓的切線的性質、勾股定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題． 【規(guī)律總結】圓錐曲線中的最值問題，如果涉及動點問題，就要找點的特殊位置，比如本題，當P點為橢圓的右頂點時，|PF|取得最大值a+c． 終極押題 一、選擇題 1．已知集合，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解，即，得，所以，又，故.故選B. 2．已知復數(shù)滿足，則 A． B． C． D． 【答案】C 3．已知命題：，；命題：，，則下列命題為真命題的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為時，，，故不成立，所以命題為假命題； 當時，，故命題為真命題，所以為真命題.故選D. 4．已知角的終邊經(jīng)過點（），若，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意得（O為坐標原點），所以，解得，即，所以．故選B． 5．在等差數(shù)列中，首項，公差，若，則 A．496 B．469 C．4915 D．5000 【答案】C 【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以， 因為，所以， 又，所以，所以.故選C. 6．已知，，，則 A． B． C． D． 【答案】B 7．如圖為某幾何體的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，其中上方是一個底面半徑為1，高為1的圓錐，中間部分是一個半徑為1的半球，下方是一個正四棱柱，且該正四棱柱的底面是邊長為2的正方形，高為3，所以圓錐的體積，半球的體積，正四棱柱的體積 ，所以該幾何體的體積．故選A. 8．函數(shù)的大致圖象為 【答案】C 9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的數(shù)據(jù)依次為98,a,輸出的結果是a,則a的值不可能是 A．7 B．14 C．28 D．49 【答案】C 【解析】由程序框圖可知,輸出的是98,a的最大公約數(shù),根據(jù)98,a的最大公約數(shù)是a,可知a是98的約數(shù),7,14,49都是98的約數(shù),28不是98的約數(shù),故選C. 10．M公司與N公司計劃進行6個重點項目的洽談，考慮到N公司目前的現(xiàn)狀，M公司代表對項目洽談的順序提出了如下要求：重點項目甲必須排在前三位，且項目丙、丁必須排在一起，則這六個項目的不同安排方案共有 A．種 B．種 C．種 D．種 【答案】D 故符合題意要求的安排方案共有種．故選D． 方法二： （1）丙、丁在第1、2兩位，則甲只能在第3位，不同的安排方案有種； （2）丙、丁在第2、3兩位，則甲只能在第1位，不同的安排方案有種； （3）丙、丁在第3、4兩位，則甲可以在第1位或第2位，不同的安排方案有種； （4）丙、丁在第4、5兩位，則甲可以在第1位或第2位或第3位，不同的安排方案有種； （5）丙、丁在第5、6兩位，則甲可以在第1位或第2位或第3位，不同的安排方案有種． 綜上，不同的安排方案有種．故選D． 方法三： 由于甲在前3位與后3位的可能性相同，故不同的安排方案有種．故選D． 11．已知函數(shù)（，）的最小正周期為，且圖象過點，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象 A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度 C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 【答案】B 12．若函數(shù)與滿足：存在實數(shù)，使得，則稱函數(shù)為的“友導”函數(shù).已知函數(shù)為函數(shù)的“友導”函數(shù)，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意得，，函數(shù)為函數(shù)的“友導”函數(shù)，即方程在上有解，所以方程在上有解，記，則，當時，，，所以，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，，所以，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.故由方程有解可得.故選D. 二、填空題 13．設向量，，，若向量與垂直，則實數(shù) . 【答案】 【解析】由已知得，，因為向量與垂直， 所以，所以，即. 14．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為 . 【答案】12 15．已知橢圓，離心率，拋物線的焦點是橢圓的左頂點，則橢圓 的標準方程為 . 【答案】 【解析】因為拋物線的焦點坐標為，所以，因為，所以，即，所以，所以橢圓的標準方程為. 16．在銳角中，已知角的對邊分別為，， ，且最短邊，則 . 【答案】 你用了幾分鐘？ 有哪些問題？