2019年高中數(shù)學(xué) 第4章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 4.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 4.3.2 函數(shù)的極大值和極小值講義(含解析)湘教版選修2-2.doc
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43.2函數(shù)的極大值和極小值讀教材填要點(diǎn)1極值與極值點(diǎn)(1)極大值點(diǎn)與極大值:設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),若點(diǎn)x0附近的函數(shù)值都小于f(x0)(即f(x)f(x0),x(a,b),就說(shuō)f(x0)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)極大值,x0稱(chēng)為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)(2)極小值點(diǎn)與極小值:設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),若點(diǎn)x0附近的函數(shù)值都大于f(x0)(即f(x)f(x0),x(a,b),就說(shuō)f(x0)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)極小值,x0稱(chēng)為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)極值,極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)2極大值與極小值的判斷(1)如果f(x)在(a,x0上遞增,在x0,b)上遞減,則f(x)在xx0處取到極大值;(2)如果f(x)在(a,x0上遞減,在x0,b)上遞增,則f(x)在xx0處取到極小值3極值的求法(1)求導(dǎo)數(shù)f(x);(2)求f(x)的駐點(diǎn),即求f(x)0的根;(3)檢查f(x)在駐點(diǎn)左右的符號(hào),得到極大值或極小值小問(wèn)題大思維1導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)都是極值點(diǎn)嗎?提示:不一定yf(x)在xx0及附近有定義,且f(x0)0,yf(x)是否在xx0處取得極值,還要看f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)是否異號(hào)例如f(x)x3,由f(x)3x2知f(0)0,但x0不是f(x)x3的極值點(diǎn)2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有幾個(gè)極小值點(diǎn)?提示:由圖可知,在區(qū)間(a,x1),(x2,0),(0,x3)內(nèi)f(x)0;在區(qū)間(x1,x2),(x3,b)內(nèi)f(x)0且f(x)極小值0.即解得a1.即a的取值范圍為.利用導(dǎo)數(shù)求極值,要先討論函數(shù)的單調(diào)性,涉及參數(shù)時(shí),必須對(duì)參數(shù)的取值情況進(jìn)行討論,在存在極值的情況下,求出極值3已知函數(shù)f(x)x33axb(a0),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)解:f(x)3(x2a)(a0),當(dāng)a0恒成立,即函數(shù)在(,)上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,得x1,x2,當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變化如下表:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)極大值極小值因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,)和(,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,),此時(shí)x是f(x)的極大值點(diǎn),x是f(x)的極小值點(diǎn)a為何值時(shí),方程x33x2a0恰有一個(gè)實(shí)根、兩個(gè)不等實(shí)根、三個(gè)不等實(shí)根,有沒(méi)有可能無(wú)實(shí)根?巧思方程x33x2a0根的個(gè)數(shù),即為直線(xiàn)ya和函數(shù)f(x)x33x2圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),因此可借助函數(shù)的單調(diào)性和極值畫(huà)出函數(shù)f(x)x33x2的圖象,然后借助圖象判斷根的個(gè)數(shù)妙解令f(x)x33x2,則f(x)的定義域?yàn)镽,由f(x)3x26x0,得x0或x2.所以當(dāng)x0或x2時(shí),f(x)0;當(dāng)0x2時(shí),f(x)0.函數(shù)f(x)在x0處有極大值0,在x2處有極小值4,如圖所示,故當(dāng)a0或a4時(shí),原方程有一個(gè)根;當(dāng)a0或a4時(shí),原方程有兩個(gè)不等實(shí)根;當(dāng)4a0時(shí),原方程有三個(gè)不等實(shí)根;由圖象可知,原方程不可能無(wú)實(shí)根1若函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時(shí)取得極值,則a等于()A2B3C4 D5解析:f(x)3x22ax3,由題意知f(3)0,即3(3)22(3)a30,解得a5.答案:D2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且函數(shù)y (1x)f(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)解析:由題圖可知,當(dāng)x0;當(dāng)2x1時(shí),f(x)0;當(dāng)1x2時(shí),f(x)2時(shí),f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值,在x2處取得極小值答案:D3若a0,b0,且函數(shù)(x)4x3ax22bx2在x1處有極值,則ab的最大值等于()A2B3C6 D9解析:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(x)12x22ax2b,由函數(shù)(x)在x1處有極值,可知函數(shù)(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)值為零,即122a2b0,所以ab6.由題意知a,b都是正實(shí)數(shù),所以ab229,當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)取到等號(hào)答案:D4若函數(shù)f(x)x36x2m的極大值為13,則實(shí)數(shù)m等于_解析:f(x)3x212x3x(x4)由f(x)0,得x0或x4.當(dāng)x(,0)(4,)時(shí),f(x)0;x(0,4)時(shí),f(x)0,x4時(shí)f(x)取到極大值故6496m13,解得m19.答案:195若函數(shù)f(x)x3x2ax4在區(qū)間(1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析:由題意,f(x)3x22xa,則f(1)f(1)0,即(1a)(5a)0,解得1a0;當(dāng)x(2,ln 2)時(shí),f(x)0,即x(0,2)(4,)時(shí),f(x)0,a1.答案:(,1)7函數(shù)f(x)ax2bx在x處有極值,則b的值為_(kāi)解析:f(x)2axb,函數(shù)f(x)在x處有極值,f2ab0,即b2.答案:28若函數(shù)f(x)x36bx3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析:f(x)3x26b,若f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值,只需f(0)f(1)0,即6b(36b)0,解得0b.答案:三、解答題9設(shè)函數(shù)f(x)x2ex1ax3bx2,已知x2和x1為f(x)的極值點(diǎn)(1)求a和b的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性解:(1)f(x)ex1(2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b),因?yàn)閤2和x1是f(x)的極值點(diǎn),所以f(2)f(1)0,即解方程組得(2)因?yàn)閍,b1,所以f(x)x(x2)(ex11)令f(x)0,解得x12,x20,x31.因?yàn)楫?dāng)x(,2)(0,1)時(shí),f(x)0,所以f(x)在(2,0),(1,)上單調(diào)遞增;在(,2),(0,1)上單調(diào)遞減10設(shè)函數(shù)f(x)x3bx2cxd(a0),且方程f(x)9x0的兩個(gè)根分別為1,4.(1)當(dāng)a3且曲線(xiàn)yf(x)過(guò)原點(diǎn)時(shí),求f(x)的解析式;(2)若f(x)在(,)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),求a的取值范圍解:由f(x)x3bx2cxd,得f(x)ax22bxc.因?yàn)閒(x)9xax22bxc9x0的兩個(gè)根分別為1,4,所以(*)(1)當(dāng)a3時(shí),由(*)式得解得b3,c12.又因?yàn)榍€(xiàn)yf(x)過(guò)原點(diǎn),所以d0,故f(x)x33x212x.(2)由于a0,所以“f(x)x3bx2cxd在(,)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”等價(jià)于“f(x)ax22bxc0在(,)內(nèi)恒成立”由(*)式得2b95a,c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)解得a1,9即a的取值范圍是1,9- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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