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專題02 矢量的運(yùn)算模型 模型界定 矢量及矢量運(yùn)算是高中物理的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，常見的矢量有位移、速度、加速度、力、動(dòng)量、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等．狹義的講，矢量的運(yùn)算是指矢量物理量之間的運(yùn)算，廣義的說，矢量運(yùn)算還包括運(yùn)動(dòng)形式的分解與合成．適量運(yùn)算要遵循特殊的法則。本模型歸納總結(jié)高中物理中所涉及到的矢量矢量的加(減)法與乘法的運(yùn)算. 模型破解 1. 矢量加法 (i)平行四邊形定則 矢量的加法運(yùn)算也即矢量的合成,其實(shí)質(zhì)是等效替代,一般可用平行四邊形法則。 如果用表示兩個(gè)矢量A1和A2的有向線段為鄰邊作平行四邊形，那么合矢量A的大小和方向就可以用這兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線表示，這叫做矢量運(yùn)算的平行四邊形定則. (ii)三角形法則與多邊形定則 如圖所示，兩矢量合成時(shí)由平行四邊形法則可推廣至三角形法則：將兩矢量Ａ１Ａ２首尾相接，則合矢量Ａ就是由矢量Ａ１的箭尾指向矢量Ａ２箭首的有向線段所表示的矢量． 多個(gè)矢量相加時(shí)，則三角形定則推廣可得到多邊形法則，如圖所示．最終合矢量的大小和方向與相加次序無關(guān)。 （iii)正交分解法 將矢量沿兩個(gè)相互垂直的方向分解，稱為正交分解．矢量A1、A2、A3…相加時(shí)，可先將各矢量沿相互垂直的x軸和y軸分解，A1分解為A1x和A1y，A2分解為A2x和A2y，A3分解為A3x和A3y，…則x軸方向上的矢量和Ax=A1x+A2x+A3x+…；y軸方向上的適量和Ay=A1y+A2y+A3y+…,則合矢量大小，合矢量方向與x軸夾角θ滿足． (iv)矢量減法 矢量減法是矢量加法的逆運(yùn)算，也稱為矢量的分解．一個(gè)矢量減去另一個(gè)矢量，等于加上那個(gè)矢量的負(fù)矢量，A１-A2=A1+(-A2)，如圖所示。 矢量的分解雖然是矢量合成的逆運(yùn)算，但無其他限制，同一個(gè)矢量可分解為無數(shù)對(duì)大小、方向不同的分矢量。因此，把一個(gè)矢量分解為兩個(gè)分矢量時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況分解。 (v)基本規(guī)律 ①當(dāng)兩矢量A1和A2大小一定時(shí)，合矢量A隨著兩矢量間夾角α的增大而減小。當(dāng)兩矢量間的夾角α＝0時(shí)，合矢量最大，等于Amxa=A1+A2；當(dāng)兩矢量間的夾角α＝180時(shí)，合矢量最小，等于Amin=｜A1-A2｜，即合矢量的取值范圍是｜A1-A2｜≤Ａ≤A1+A2。 ②合矢量可以大于、等于或小于分矢量，他的大小依賴于兩矢量之間的夾角的大?。? 大小相等的兩矢量，當(dāng)其夾角小于1200時(shí)，合矢量大于分矢量；夾角等于1200時(shí)合矢量與分矢量相等；夾角大于1200而小于1800時(shí)，合矢量小于分矢量． ③有n個(gè)矢量A1、A2、A3、……An，他們矢量和大小的最大值是它們的方向相同時(shí)的合矢量大小，即，而最小值要分下列兩種情況討論： 若n個(gè)矢量A1、A2、A3、……An中的大小最大的矢量Aj大于其余矢量的大小之和，則他們矢量和的最小值是Aj－。 若n個(gè)矢量A1、A2、A3、……An中的大小最大的矢量Aj不大于其余矢量的大小之和，則他們矢量和的最小值是０。 ④兩矢量大小相等時(shí)，合矢量的方向必在兩矢量的夾角平分在線 例１.兩個(gè)大小分別為和（）的力作用在同一質(zhì)點(diǎn)上，它們的合力的大小F滿足 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】共點(diǎn)的兩個(gè)力合成，同向時(shí)最大為＋，反向時(shí)最小為－，Ｃ正確． 例２.如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質(zhì)量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止P點(diǎn)。設(shè)滑塊所受支持力為FN。OF與水平方向的夾角為0。下列關(guān)系正確的是（ ） A． B．F＝mgtan0 C． D．FN=mgtan0 【答案】A 【解析】對(duì)小滑塊受力分析如圖所示，根據(jù)平行四邊形定則可得，，所以A正確。 例３.如圖，兩根相互平行的長(zhǎng)直導(dǎo)線分別通有方向相反的電流和，且；a、b、c、d為導(dǎo)線某一橫截面所在平面內(nèi)的四點(diǎn)，且a、b、c與兩導(dǎo)線共面；b點(diǎn)在兩導(dǎo)線之間，b、d的連線與導(dǎo)線所在平面垂直。磁感應(yīng)強(qiáng)度可能為零的點(diǎn)是 A．a(chǎn)點(diǎn) B．b點(diǎn) C．c點(diǎn) D．d點(diǎn) 【答案】C 例４．如圖，兩等量異號(hào)的點(diǎn)電荷相距為。M與兩點(diǎn)電荷共線，N位于兩點(diǎn)電荷連線的中垂線上，兩點(diǎn)電荷連線中點(diǎn)到M和N的距離都為L(zhǎng)，且。略去項(xiàng)的貢獻(xiàn)，則兩點(diǎn)電荷的合電場(chǎng)在M和N點(diǎn)的強(qiáng)度（ ） A．大小之比為2，方向相反 B．大小之比為1，方向相反 C．大小均與成正比，方向相反 D．大小均與L的平方成反比，方向相互垂直 【答案】AC 【解析】如右下圖所示，合電場(chǎng)在M和N點(diǎn)的強(qiáng)度分別為 、 ， 故有E1：E2＝2；又因N點(diǎn)處強(qiáng)場(chǎng)方向由對(duì)稱性知平行于兩場(chǎng)源電荷由＋q指向－q，在M點(diǎn)因距＋q較近，-q產(chǎn)生的電場(chǎng)弱于＋q產(chǎn)生的電場(chǎng),總場(chǎng)強(qiáng)方向由－q指向＋q，ＡＣ正確。 例5.在一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，某帶負(fù)電荷的小球做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，依次經(jīng)過A、B、C 三點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)與電場(chǎng)方向在同一個(gè)豎直面內(nèi)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．已知過B點(diǎn)切線與AC連線平行，D點(diǎn)為AC線段的中點(diǎn)，BD連線恰與AC垂直，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間為tAB，質(zhì)點(diǎn)從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間為tBC。下列說法正確的是 A．tAB一定等于tBC，電場(chǎng)方向向左 B．tAB一定等于tBC，電場(chǎng)方向向右 C．tAB不一定等于tBC，電場(chǎng)方向向左 D．tAB不一定等于tBC，電場(chǎng)方向向右 【答案】B 模型演練 １.如圖，三個(gè)大小相等的力F，作用于同一點(diǎn)O，則合力最小的是 F F F O A． F F F O B． D． F F F O 60 C． F F F O 120 120 120 【答案】C 【解析】在ABD三圖中三力的合力大小雖不相同，但一定不為零，而在C圖其中任兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力等值反向，三個(gè)力的合力一定為零，答案為C． ２.在等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c處，各有一條長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直穿過紙面，導(dǎo)線中通有大小相等的恒定電流，方向如圖。過c點(diǎn)的導(dǎo)線所受安培力的方向 A.與ab邊平行，豎直向上 B.與ab邊平行，豎直向下 C.與ab邊垂直，指向左邊 D.與ab邊垂直，指向右邊 【答案】C 【解析】等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c處均有一通電導(dǎo)線，且導(dǎo)線中通有大小相等的恒定電流．由安培定則可得：導(dǎo)線a、b的電流在c處的合磁場(chǎng)方向豎直向下．再由左手定則可得：安培力的方向是與ab邊垂直，指向左邊． ３.四根相互平行的通電長(zhǎng)直導(dǎo)線a、b、c電流均為I，如圖所示放在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，每根通電直導(dǎo)線單獨(dú)存在時(shí)，四邊形中心O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度都是B，則四根通電導(dǎo)線同時(shí)存在時(shí)O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向?yàn)? I a d O b c I I I 練３圖 A.，方向向左 B. ，方向向下 C. ，方向向右 D. ，方向向上 【答案】A 4.三根相互平行的通電長(zhǎng)直導(dǎo)線放在等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，右圖為其截面圖，電流方向如圖所示。若每根導(dǎo)線的電流均為I，每根直導(dǎo)線單獨(dú)存在時(shí)，在三角形中心O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都是B，則三根導(dǎo)線同時(shí)存在時(shí)O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 A．0 B．B C．2B D．B 【答案】C 【解析】根據(jù)安培定則判斷得知：三根導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向分別為：上面導(dǎo)線產(chǎn)生的B方向水平向左，大小為B；下面左邊導(dǎo)線產(chǎn)生的B方向斜向左上方，與水平成60角，下面右邊導(dǎo)線產(chǎn)生的B方向斜向右上方，與水平成60角，則根據(jù)平行四邊形定則進(jìn)行合成可知，下面兩根導(dǎo)線產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)大小為B，方向水平向左，所以三根導(dǎo)線同時(shí)存在時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，方向水平向左． 5.取兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)導(dǎo)線，用其中一根繞成如圖（a）所示的螺線管，當(dāng)該螺線管中通以電流強(qiáng)度為I的電流時(shí)，測(cè)得螺線管內(nèi)中部的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，若將另一根長(zhǎng)導(dǎo)線對(duì)折后繞成如圖（b）所示的螺線管，并通以電流強(qiáng)度也為I的電流時(shí)，則在螺線管內(nèi)中部的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為（ ） （A）0。 （B）0.5B。 （C）B。 （D）2 B。 【答案】A 2.矢量的乘法。 矢量乘法運(yùn)算中包括三種情況： 一種是矢量和標(biāo)量的乘積，其結(jié)果仍為矢量，如F=ma、F=qE等。此類運(yùn)算中，若該標(biāo)量大于零，則結(jié)果與原矢量同向，小于零時(shí)則與原矢量反向． 第二種情況是矢量和矢量相乘，結(jié)果構(gòu)成了新的標(biāo)量，矢量間這樣的乘積叫標(biāo)積．兩矢量的標(biāo)積等于兩矢量的大小及兩矢量間夾角余弦三者的乘積，如功W=FScosα、功率P=Fvcosα等的計(jì)算是采用兩個(gè)矢量的標(biāo)積。 第三種情況是矢量和矢量相乘結(jié)果卻構(gòu)成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。兩矢量的矢積大小等于兩矢量的大小及兩矢量間夾角正弦三者的乘積，如洛侖茲力f=qvBsinα等的計(jì)算是采用兩個(gè)矢量的矢積。新矢量的方向與原兩矢量所決定的平面垂直． 例5.一質(zhì)點(diǎn)開始時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從某時(shí)刻起受到一恒力作用。此后，該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能可能 A．一直增大 B．先逐漸減小至零，再逐漸增大 C．先逐漸增大至某一最大值，再逐漸減小 D．先逐漸減小至某一非零的最小值，再逐漸增大 【答案】ABD 另解：從運(yùn)動(dòng)的合成與分解角度考慮，仍設(shè)恒力與速度間夾角為，若，質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速率增大動(dòng)能增加，若，質(zhì)點(diǎn)做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，沿恒力方向加速運(yùn)動(dòng)，垂直于合力方向勻速運(yùn)動(dòng)，速率一直增大，動(dòng)能一直增加；若，質(zhì)點(diǎn)也做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，沿恒力方向質(zhì)點(diǎn)先減速再反向加速，垂直于恒力方向質(zhì)點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，此情況下質(zhì)點(diǎn)的速率先減小再增大，動(dòng)能也是先減小再增大，但其最小值不為零；若，質(zhì)點(diǎn)先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減小零后再反向加速，其動(dòng)能也先減小到零再增加，故ABD正確． 例6長(zhǎng)螺線管中通有恒定電流，把一個(gè)帶電粒子沿軸線方向射入螺線管，不計(jì)重力，粒子在管中將做： A．圓周運(yùn)動(dòng) B．沿軸線來回運(yùn)動(dòng) C．勻加速直線運(yùn)動(dòng) D．勻速直線運(yùn)動(dòng) 【答案】D 【解析】在螺線管內(nèi)磁感線的方向平行于其軸線，則帶電粒子進(jìn)入管內(nèi)后速度方向與磁場(chǎng)方向平行，在中，故粒子不受力，沿軸線做勻速直線運(yùn)動(dòng)，Ｄ正確． 模型演練 6. 運(yùn)動(dòng)員跳傘將經(jīng)歷加速下降和減速下降兩個(gè)過程。將人和傘看成一個(gè)系統(tǒng)，在這兩個(gè)過程中，下列說法正確的是 A．阻力對(duì)系統(tǒng)始終做負(fù)功 B．系統(tǒng)受到的合外力始終向下 C．重力做功使系統(tǒng)的重力勢(shì)能增加 D．任意相等的時(shí)間內(nèi)重力做的功相等 【答案】A 【解析】阻力的方向始終與人的運(yùn)動(dòng)的方向相反，所以阻力對(duì)系統(tǒng)始終做負(fù)功，故A正確．運(yùn)動(dòng)員跳傘將經(jīng)歷加速下降和減速下降兩個(gè)過程，在減速下降的過程中，由牛頓第二定律可知，此時(shí)合力的方向是向上的，所以B錯(cuò)誤．在下降的過程中重力做正功，由能的轉(zhuǎn)化和可知此時(shí)物體的重力勢(shì)能減小，所以C錯(cuò)誤．由重力做的功W=mgh可知，由于人不是勻速運(yùn)動(dòng)的，在相等的時(shí)間內(nèi)下降的高度不同，所以任意相等的時(shí)間內(nèi)重力做的功不相等，故D錯(cuò)誤． 7. 一個(gè)25kg的小孩從高度為3.0m的滑梯頂端由靜止開始滑下，滑到底端時(shí)的速度為2.0m／s。取g＝10m／s2，關(guān)于力對(duì)小孩做的功，以下結(jié)果正確的是 A．合外力做功50J　　　　　 B．阻力做功500J C．重力做功500J　　　　　　D．支持力做功50J 【答案】A 8. 如圖所示，重球m用一條不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線拴住后懸于O點(diǎn)，重球置于一個(gè)斜面劈M上，用水平力F向左推動(dòng)斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲勻速向左移動(dòng)到位置乙，在此過程中，正確的說法是（ ） A．M、m間的摩擦力對(duì)m不做功 B．M、m間的摩擦力對(duì)m做負(fù)功 C．F對(duì)M所做的功與m對(duì)M所做的功的絕對(duì)值相等 D．M、m間的彈力對(duì)m所做的功與對(duì)M做的功的絕對(duì)值不相等 【答案】C