山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 橢圓練習(xí)(含解析).doc
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橢圓一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1. 已知O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點,A,B分別為C的左,右頂點.P為C上一點,且PFx軸,過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )A. 13 B. 12 C. 23 D. 34(正確答案)A解:由題意可設(shè)F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),令x=-c,代入橢圓方程可得y=b1-c2a2=b2a,可得P(-c,b2a),設(shè)直線AE的方程為y=k(x+a),令x=-c,可得M(-c,k(a-c),令x=0,可得E(0,ka),設(shè)OE的中點為H,可得H(0,ka2),由B,H,M三點共線,可得kBH=kBM,即為ka2-a=k(a-c)-c-a,化簡可得a-ca+c=12,即為a=3c,可得e=ca=13故選:A由題意可得F,A,B的坐標(biāo),設(shè)出直線AE的方程為y=k(x+a),分別令x=-c,x=0,可得M,E的坐標(biāo),再由中點坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo),運用三點共線的條件:斜率相等,結(jié)合離心率公式,即可得到所求值本題考查橢圓的離心率的求法,注意運用橢圓的方程和性質(zhì),以及直線方程的運用和三點共線的條件:斜率相等,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題2. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為33,過F2的直線l交C于A、B兩點,若AF1B的周長為43,則C的方程為( )A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=1(正確答案)A解:AF1B的周長為43,AF1B的周長=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,4a=43,a=3,離心率為33,ca=33,c=1,b=a2-c2=2,橢圓C的方程為x23+y22=1故選:A利用AF1B的周長為43,求出a=3,根據(jù)離心率為33,可得c=1,求出b,即可得出橢圓的方程本題考查橢圓的定義與方程,考查橢圓的幾何性質(zhì),考查學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題3. 曲線的方程為 + =2,若直線l:y=kx+1-2k與曲線有公共點,則k的取值范圍是 ( )A. B. C. 1,+) D. (1,+)(正確答案)A試題分析:方程 + =2表示的是動點P(x,y)到點A(-1,0),B(1,0)的距離之和為2,即有P的軌跡為線段AB:y=0(-1x1),直線l:y=kx+1-2k為恒過定點C(2,1)的直線,kAC= =,kBC= =1,直線l:y=kx+1-2k與曲線有公共點,等價為kACkkBC,即為 k14. 若橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短軸長等于焦距,則橢圓的離心率為( )A. 12 B. 33 C. 22 D. 24(正確答案)C解:依題意可知c=2b,而a=b2+c2=2c 橢圓的離心率e=ca=22故選:C先根據(jù)題意可知c=b,進(jìn)而求得a和c的關(guān)系,離心率可得本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì).屬基礎(chǔ)題5. 已知ABC中,A、B的坐標(biāo)分別為(0,2)和(0,-2),若三角形的周長為10,則頂點C的軌跡方程是( )A. x29+y25=1(y0) B. x25+y29=1(x0)C. x236+y220=1(y0) D. x232+y236=1(x0)(正確答案)B解:|AB|=4,三角形的周長為10,|AC|+|BC|=10-4=6|AB|,根據(jù)橢圓的定義知,頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓,且c=2,a=3,b=9-4=5,故橢圓的方程為y29+x25=1,故選:B根據(jù)三角形的周長及|AB|=4,可得|AC|+|BC|=6|AB|,根據(jù)橢圓的定義知頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓,待定系數(shù)法求橢圓的方程本題考查根據(jù)橢圓的定義,用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,屬于基礎(chǔ)題6. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左頂點和上頂點分別為A,B,左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1PF2,則橢圓的離心率為( )A. 5-12 B. 3-12 C. 53 D. 32(正確答案)A解:依題意,作圖如下A(-a,0),B(0,b),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),直線AB的方程為:x-a+yb=1,整理得:bx-ay+ab=0,設(shè)直線AB上的點P(x,y)則bx=ay-ab,x=aby-a,PF1PF2,PF1PF2=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-c2=(aby-a)2+y2-c2,令f(y)=(aby-a)2+y2-c2,則f(y)=2(aby-a)ab+2y,由f(y)=0得:y=a2ba2+b2,于是x=-ab2a2+b2,PF1PF2=(-ab2a2+b2)2+(a2ba2+b2)2-c2=0,整理得:a2b2a2+b2=c2,又b2=a2-c2,e2=c2a2,e4-3e2+1=0,e2=352,又橢圓的離心率e(0,1),e2=3-52=(5-12)2,橢圓的離心率為e=5-12故選A由題意可求得AB的方程,設(shè)出P點坐標(biāo),代入AB的方程,由PF1PF2,得PF1PF2=0,結(jié)合橢圓的離心率的性質(zhì)即可求得答案本題考查橢圓的性質(zhì),考查向量的數(shù)量積,考查直線的方程,著重考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用,是重點更是難點,屬于難題7. 過點(3,2)且與橢圓3x2+8y2=24有相同焦點的橢圓方程為( )A. x25+y210=1 B. x210+y215=1 C. x215+y210=1 D. x225+y210=1(正確答案)C解:橢圓3x2+8y2=24的焦點(5,0),可得c=5,設(shè)橢圓的方程為:x2a2+y2b2=1,可得:9a2+4b2=1,a2-b2=5,解得a=15,b=10,所求的橢圓方程為:x215+y210=1故選:C求出橢圓的焦點坐標(biāo),設(shè)出方程利用橢圓經(jīng)過的點,求解即可本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程的求法,考查計算能力8. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2作一條直線(不與x軸垂直)與橢圓交于A,B兩點,如果ABF1恰好為等腰直角三角形,該直線的斜率為( )A. 1 B. 2 C. 2 D. 3(正確答案)C解:可設(shè)|F1F2|=2c,|AF1|=m,若ABF1構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形,則|AB|=|AF1|=m,|BF1|=2m,由橢圓的定義可得ABF1的周長為4a,即有4a=2m+2m,即m=2(2-2)a,|AF1|=2(2-2)a,則|AF2|=2a-m=(22-2)a,在RtAF1F2中,tanAF2F1=丨AF1丨丨AF2丨=2,直線AB的斜率為k=tanAF2F1=2,故選:C假設(shè)ABF1構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形,根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)求得|AF1|=2(2-2)a,|AF2|=2a-m=(22-2)a,則直線AB的斜率為k=tanAF2F1=2本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系,考查計算能力,屬于中檔題9. 橢圓C:x24+y23=1與雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a,b0)有相同的焦點,且兩曲線的離心率互為倒數(shù),則雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為( )A. 12 B. 22 C. 33 D. 32(正確答案)D解:橢圓C:x24+y23=1的焦點坐標(biāo)(1,0),離心率為:12,雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a,b0)的焦點(1,0),c=1,雙曲線的離心率為2可知a=12,則b=32,雙曲線漸近線y=3x的傾斜角的正弦值為:32故選:D求出橢圓的離心率,得到雙曲線的離心率,求出橢圓的焦點坐標(biāo),得到雙曲線的焦點坐標(biāo),然后求解即可本題考查橢圓的簡單性質(zhì),雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力10. 橢圓4x2+y2=2上的點到直線2x-y-8=0的距離的最小值為( )A. 655 B. 355 C. 3 D. 6(正確答案)A解:橢圓4x2+y2=2,P為橢圓上一點,設(shè)P( 22cos,2sin),02,P到直線2x-y-8=0的距離:d=|2cos-2sin-8|1+22=25|cos(+4)-4|5655,當(dāng)且僅當(dāng)cos(+4)=1時取得最小值點P到直線2x-y-8=0的距離的最小值為dmin=655故選:A設(shè)P( 22cos,2sin),0b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線與橢圓交于A、B兩點,若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則離心率為( )A. 22 B. 2-3 C. 5-2 D. 6-3(正確答案)D解:如圖,設(shè)|F1F2|=2c,|AF1|=m,若ABF1構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形,則|AB|=|AF1|=m,|BF1|=2m,由橢圓的定義可得ABF1的周長為4a,即有4a=2m+2m,即m=2(2-2)a,則|AF2|=2a-m=(22-2)a,在直角三角形AF1F2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2,即4c2=4(2-2)2a2+4(2-1)2a2,c2=(9-62)a2,則e2=c2a2=9-62=9-218,e=6-3故選:D設(shè)|F1F2|=2c,|AF1|=m,若ABF1構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形,則|AB|=|AF1|=m,|BF1|=2m,再由橢圓的定義和周長的求法,可得m,再由勾股定理,可得a,c的方程,求得c2a2,開方得答案本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì),主要考查離心率的求法,同時考查勾股定理的運用,靈活運用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵,是中檔題12. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左頂點和上頂點分別為A、B,左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1PF2,則橢圓的離心率為( )A. 32 B. 3-12 C. 53 D. 5-12(正確答案)D解:依題意,作圖如下: 由A(-a,0),B(0,b),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),可得直線AB的方程為:x-a+yb=1,整理得:bx-ay+ab=0,設(shè)直線AB上的點P(x,y),則bx=ay-ab,x=aby-a,由PF1PF2,PF1PF2=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-c2 =(aby-a)2+y2-c2,令f(y)=(aby-a)2+y2-c2,則f(y)=2(aby-a)ab+2y,由f(y)=0得:y=a2ba2+b2,于是x=-ab2a2+b2,PF1PF2=(-ab2a2+b2)2+(a2ba2+b2)2-c2=0,整理得:a2b2a2+b2=c2,又b2=a2-c2,e2=c2a2,e4-3e2+1=0,e2=352,又橢圓的離心率e(0,1),e2=3-52=(5-12)2,可得e=5-12,故選:D由題意可求得AB的方程,設(shè)出P點坐標(biāo),代入AB的方程,由PF1PF2,得PF1PF2=0,運用導(dǎo)數(shù)求得極值點,結(jié)合橢圓的離心率公式,解方程即可求得答案本題考查橢圓的性質(zhì),向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查直線的方程的運用,著重考查橢圓離心率,以及化簡整理的運算能力,屬于中檔題二、填空題(本大題共4小題,共20分)13. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點,直線y=b2與橢圓交于B,C兩點,且BFC=90,則該橢圓的離心率是_(正確答案)63【分析】本題考查橢圓的離心率的求法,注意運用兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,考查化簡整理的運算能力,設(shè)右焦點F(c,0),將y=b2代入橢圓方程求得B,C的坐標(biāo),運用兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,結(jié)合離心率公式,計算即可得到所求值.方法二、運用向量的數(shù)量積的性質(zhì),向量垂直的條件:數(shù)量積為0,結(jié)合離心率公式計算即可得到所求.屬于中檔題【解答】解:設(shè)右焦點F(c,0),將y=b2代入橢圓方程可得x=a1-b24b2=32a,可得B(-32a,b2),C(32a,b2),由BFC=90,可得kBFkCF=-1,即有b2-32a-cb232a-c=-1,化簡為b2=3a2-4c2,由b2=a2-c2,即有3c2=2a2,由e=ca,可得e2=c2a2=23,可得e=63,另解:設(shè)右焦點F(c,0),將y=b2代入橢圓方程可得x=a1-b24b2=32a,可得B(-32a,b2),C(32a,b2),F(xiàn)B=(-32a-c,b2),F(xiàn)C=(32a-c,b2),F(xiàn)BFC=0,則c2-34a2十14b2=0,因為b2=a2-c2,代入得3c2=2a2,由e=ca,可得e2=c2a2=23,可得e=63故答案為6314. 已知F1,F(xiàn)2為橢圓C的兩個焦點,P為C上一點,若|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則C的離心率為_ (正確答案)12解:|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a,即4c=2a,e=ca=12故答案為:12根據(jù)等差中項的定義及橢圓的定義列方程即可得出離心率本題考查了橢圓的定義,等差中項的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題15. 橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F2,上、下頂點分別為B1,B2,右頂點為A,直線AB1與B2F1交于點D.若2|AB1|=3|B1D|,則C的離心率等于_ (正確答案)14解:如圖所示,設(shè)D(x0,y0),由2|AB1|=3|B1D|,得:|AB1|AD|=35,根據(jù)三角形相似得:aa-x0=35=by0,求得:x0=-23a,y0=53b,又直線B2F1的方程為x-c+y-b=1將點D(-23a,53b)代入,得:-23a-c+53b-b=1,23e=1+53=83,e=2338=14故答案為:14由2|AB1|=3|B1D|,得:|AB1|AD|=35,根據(jù)三角形相似得:aa-x0=35=by0,則x0=-23a,y0=53b,代入即可求得e的值本題考查橢圓的離心率,考查三角形的相似的性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題16. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)經(jīng)過點A(3,12),且點A到橢圓兩焦點的距離之和為4,則該橢圓的離心率e= _ (正確答案)32解:根據(jù)題意,橢圓上A到橢圓兩焦點的距離之和為4,則2a=4,即a=2,又由橢圓x2a2+y2b2=1經(jīng)過點A(3,12),則有3a2+14b2=1,又由a=2,解可得b=1,則c=a2-b2=3,則該橢圓的離心率e=ca=32;故答案為:32根據(jù)題意,由橢圓的定義分析可得a=2,將點A的坐標(biāo)代入橢圓方程可得3a2+14b2=1,由a的值解可得b的值,計算可得c的值,由橢圓離心率公式計算可得答案本題考查橢圓的幾何性質(zhì),要掌握橢圓的定義以及離心率的計算公式三、解答題(本大題共3小題,共30分)17. 已知橢圓E:x2t+y23=1的焦點在x軸上,A是E的左頂點,斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MANA()當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時,求AMN的面積;()當(dāng)2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍(正確答案)解:()方法一、t=4時,橢圓E的方程為x24+y23=1,A(-2,0),直線AM的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,解得x=-2或x=-8k2-63+4k2,則|AM|=1+k2|2-8k2-63+4k2|=1+k2123+4k2,由ANAM,可得|AN|=1+(-1k)2123+4(-1k)2=1+k2123|k|+4|k|,由|AM|=|AN|,k0,可得1+k2123+4k2=1+k2123k+4k,整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4=0無實根,可得k=1,即有AMN的面積為12|AM|2=12(1+1123+4)2=14449;方法二、由|AM|=|AN|,可得M,N關(guān)于x軸對稱,由MANA.可得直線AM的斜率為1,直線AM的方程為y=x+2,代入橢圓方程x24+y23=1,可得7x2+16x+4=0,解得x=-2或-27,M(-27,127),N(-27,-127),則AMN的面積為12247(-27+2)=14449;()直線AM的方程為y=k(x+t),代入橢圓方程,可得(3+tk2)x2+2ttk2x+t2k2-3t=0,解得x=-t或x=-ttk2-3t3+tk2,即有|AM|=1+k2|ttk2-3t3+tk2-t|=1+k26t3+tk2,|AN|1+1k26t3+tk2=1+k26t3k+tk,由2|AM|=|AN|,可得21+k26t3+tk2=1+k26t3k+tk,整理得t=6k2-3kk3-2,由橢圓的焦點在x軸上,則t3,即有6k2-3kk3-23,即有(k2+1)(k-2)k3-20,可得32k3,解不等式即可得到所求范圍本題考查橢圓的方程的運用,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,求交點,以及弦長公式的運用,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題18. 設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點為F,右頂點為A,離心率為12.已知A是拋物線y2=2px(p0)的焦點,F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為12(I)求橢圓的方程和拋物線的方程;(II)設(shè)l上兩點P,Q關(guān)于x軸對稱,直線AP與橢圓相交于點B(B異于A),直線BQ與x軸相交于點D.若APD的面積為62,求直線AP的方程(正確答案)()解:設(shè)F的坐標(biāo)為(-c,0)依題意可得ca=12a=p2a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b2=a2-c2=34所以,橢圓的方程為x2+4y23=1,拋物線的方程為y2=4x()解:直線l的方程為x=-1,設(shè)直線AP的方程為x=my+1(m0),聯(lián)立方程組x=my+1x=-1,解得點P(-1,-2m),故Q(-1,2m).聯(lián)立方程組x=my+1x2+4y23=1,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=-6m3m2+4B(-3m2+43m2+4,-6m3m2+4).直線BQ的方程為(-6m3m2+4-2m)(x+1)-(-3m2+43m2+4+1)(y-2m)=0,令y=0,解得x=2-3m23m2+2,故D(2-3m23m2+2,0)|AD|=1-2-3m23m2+2=6m23m2+2又APD的面積為62,126m23m2+22|m|=62,整理得3m2-26|m|+2=0,解得|m|=63,m=63直線AP的方程為3x+6y-3=0,或3x-6y-3=0(I)根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a,b,p即可得出方程;(II)設(shè)AP方程為x=my+1,聯(lián)立方程組得出B,P,Q三點坐標(biāo),從而得出直線BQ的方程,解出D點坐標(biāo),根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案本題考查了橢圓與拋物線的定義與性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題19. 已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22,右焦點為F(1,0)(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)點O為坐標(biāo)原點,過點F作直線l與橢圓E交于M,N兩點,若OMON,求直線l的方程(正確答案)解:(1)依題意得,c=1,a2=b2+11a=22;(2分) 解得a=2,b=1;橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1;(4分) (2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),當(dāng)MN垂直于x軸時,MN的方程為x=1,不符題意;(5分) 當(dāng)MN不垂直于x軸時,設(shè)MN的方程為y=k(x-1);(6分) 由y=k(x-1)x22+y2=1得:1+2k2x2-4k2x+2(k2-1)=0,(8分) x1+x2=4x21+2k2,x1x2=2(k2-1)1+2k2;(10分) y1y2=k2(x1-1)(x2-1)k2x1x2-(x1+x2)+1=-k21+2k2;又OMON,OMON=0;x1x2+y1y2=k2-21+2k2=0,解得k=2,(13分) 直線l的方程為:y=2(x-1).(14分)(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),求出a、b的值即可;(2)討論直線MN的斜率是否存在,設(shè)出MN的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合OMON,OMON=0求出直線的斜率k,即可求出直線l的方程本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了直線與橢圓的應(yīng)用問題,考查了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題,平面向量的應(yīng)用問題,是綜合題- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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