2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc
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1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解極大值、極小值的概念(難點(diǎn))2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(重點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1極值點(diǎn)與極值(1)極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f(a)0,而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,就把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f(b)0,而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,就把點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn);極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值思考:導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎?提示不一定,如f(x)x3,f(0)0, 但x0不是f(x)x3的極值點(diǎn)所以,當(dāng)f(x0)0時(shí),要判斷xx0是否為f(x)的極值點(diǎn),還要看f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)是否相反2求可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0.當(dāng)f(x0)0時(shí):(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)一定存在極值點(diǎn)()(2)函數(shù)的極大值一定大于極小值()(3)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處,切線與x軸平行或重合()(4)函數(shù)f(x)有極值()答案(1)(2)(3)(4)2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖138所示,則函數(shù)f(x)()圖138A無(wú)極大值點(diǎn),有四個(gè)極小值點(diǎn)B有三個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)C有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)D有四個(gè)極大值點(diǎn),無(wú)極小值點(diǎn)C設(shè)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1,x2,x3,x4,則f(x)在xx1,xx3處取得極大值,在xx2,xx4處取得極小值3函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062047】A0B1C0或1D1Df(x)x3x2x2(x1)由f(x)0得x0或x1.又當(dāng)x1時(shí)f(x)0,0x1時(shí)f(x)0,1是f(x)的極小值點(diǎn)又x0時(shí)f(x)0,故x0不是函數(shù)的極值點(diǎn)4若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減,則f(1)_,1是函數(shù)f(x)的_值解析由題意可知,當(dāng)x1時(shí),f(x)0,當(dāng)x1時(shí),f(x)0,f(1)0,1是函數(shù)f(x)的極大值答案0極大合 作 探 究攻 重 難求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值角度1不含參數(shù)的函數(shù)求極值求下列函數(shù)的極值(1)yx33x29x5;(2)yx3(x5)2.解(1)y3x26x9,令y0,即3x26x90,解得x11,x23.當(dāng)x變化時(shí),y,y的變化情況如下表:x(,1)1(1,3)3(3,)y00y極大值極小值當(dāng)x1時(shí),函數(shù)yf(x)有極大值,且f(1)10;當(dāng)x3時(shí),函數(shù)yf(x)有極小值,且f(3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5),令y0,即5x2(x3)(x5)0,解得x10,x23,x35.當(dāng)x變化時(shí),y與y的變化情況如下表:x(,0)0(0,3)3(3,5)5(5,)y000y無(wú)極值極大值108極小值0x0不是y的極值點(diǎn);x3是y的極大值點(diǎn),y極大值f(3)108;x5是y的極小值點(diǎn),y極小值f(5)0.角度2含參數(shù)的函數(shù)求極值已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),當(dāng)aR且a時(shí),求函數(shù)的極值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062048】思路探究解f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0,解得x2a或xa2.由a知,2aa2.以下分兩種情況討論:若a,則2aa2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,2a)2a(2a,a2)a2(a2,)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)在(,2a) ,(a2,)內(nèi)是增函數(shù),在(2a,a2)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(2a),且f(2a)3ae2a;函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(a2),且f(a2)(43a)ea2.若a,則2aa2,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,a2)a2(a2,2a)2a(2a,)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)在(,a2),(2a,)內(nèi)是增函數(shù),在(a2,2a)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值f(a2),且f(a2)(43a)ea2;函數(shù)f(x)在x2a處取得極小值f(2a),且f(2a)3ae2a.規(guī)律方法求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟為:(1)求函數(shù)的定義域;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x);(3)令f(x)0,求出全部的根x0;(4)列表:方程的根x0將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間,把x,f(x),f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格內(nèi);(5)判斷得結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)在x0附近左正右負(fù),則在x0處取得極大值;若左負(fù)右正,則取得極小值.跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)xaln x(aR),求函數(shù)f(x)的極值解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)1.(1)當(dāng)a0時(shí),f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)無(wú)極值(2)當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,解得xa.當(dāng)0xa時(shí),f(x)0;當(dāng)xa時(shí),f(x)0.f(x)在xa處取得極小值,且f(a)aln a,無(wú)極大值綜上可知,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值;當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a,無(wú)極大值.由極值求參數(shù)的值或取值范圍(1)若函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處取得極值10,則a_,b_.(2)已知函數(shù)f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR,m為常數(shù)),在區(qū)間(1,)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062049】思路探究 (1)由f(1)0及f(1)10求a,b,注意檢驗(yàn)極值的存在條件;(2)f(x)在(1,)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f(x)0在(1,)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根解(1)f(x)3x22axb,依題意得即解得或但由于當(dāng)a3,b3時(shí),f(x)3x26x33(x1)20,故f(x)在R上單調(diào)遞增,不可能在x1處取得極值,所以,不符合題意,應(yīng)舍去而當(dāng)時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意,故a,b的值分別為4,11.(2)f(x)x2(m3)xm6.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以f(x)x2(m3)xm6在(1,)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如圖所示所以解得m3.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,)規(guī)律方法已知函數(shù)極值的情況,逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時(shí),應(yīng)注意以下兩點(diǎn):(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解;(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.跟蹤訓(xùn)練2若x2是函數(shù)f(x)x(xm)2的極大值點(diǎn),求函數(shù)f(x)的極大值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062050】解f(x)(xm)(3xm),且f(2)0(m2)(m6)0,即m2或m6.(1)當(dāng)m2時(shí),f(x)(x2)(3x2),由f(x)0得x或x2;由f(x)0得x2.x2是f(x)的極小值點(diǎn),不合題意,故m2舍去(2)當(dāng)m6時(shí),f(x)(x6)(3x6),由f(x)0得x2或x6;由f(x)0得2x6.x2是f(x)的極大值,f(2)2(26)232.即函數(shù)f(x)的極大值為32.極值問(wèn)題的綜合應(yīng)用探究問(wèn)題1如何畫(huà)出函數(shù)f(x)2x33x236x16的大致圖象提示:f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由f(x)0得x2或x3,函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(,2)和(3,)由f(x)0得2x3,函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(2,3)由已知得f(2)60,f(3)65,f(0)16.結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及以上關(guān)鍵點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)f(x)大致圖象如圖所示(答案不唯一)2當(dāng)a變化時(shí),方程2x33x236x 16a有幾解?提示:方程2x33x236x16a解的個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)ya與y2x33x236x16的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題,結(jié)合探究點(diǎn)1可知:(1)當(dāng)a60或a65時(shí), 方程2x33x236x16a有且只有一解;(2)當(dāng)a60或a65時(shí),方程2x33x236x16a有兩解;(3)當(dāng)65a60時(shí),方程2x33x236x16a三解已知函數(shù)f(x)x33xa(a為實(shí)數(shù)),若方程f(x)0有三個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路探究求出函數(shù)的極值,要使f(x)0有三個(gè)不同實(shí)根,則應(yīng)有極大值大于0,極小值小于0,由此可得a的取值范圍解令f(x)3x233(x1)(x1)0,解得x11,x21.當(dāng)x0;當(dāng)1x1時(shí),f(x)1時(shí),f(x)0.所以當(dāng)x1時(shí),f(x)有極大值f(1)2a;當(dāng)x1時(shí),f(x)有極小值f(1)2a.因?yàn)榉匠蘤(x)0有三個(gè)不同實(shí)根,所以yf(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),如圖由已知應(yīng)有解得2a2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2)母題探究:1.(改變條件)本例中,若方程f(x)0恰有兩個(gè)根,則實(shí)數(shù)a的值如何求解?解由例題,知函數(shù)的極大值f(1)2a,極小值f(1)2a,若f(x)0恰有兩個(gè)根,則有2a0,或2a0,所以a2或a2.2(改變條件)本例中,若方程f(x)0有且只有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的范圍解由例題可知,要使方程f(x)0有且只有一個(gè)實(shí)根,只需2a0或2a0,即a2或a2.規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基本上畫(huà)出函數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便. 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,它的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的部分圖象如圖139所示,則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()圖139A在(1,2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)B在(3,4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)C在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值Dx3是函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5上的極小值點(diǎn)D由圖可知,當(dāng)1x2時(shí),f(x)0,當(dāng)2x4時(shí),f(x)0,當(dāng)4x5時(shí),f(x)0,x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),x4是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),故A,B,C正確,D錯(cuò)誤2已知函數(shù)f(x)2x3ax236x24在x2處有極值,則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062051】A(2,3)B(3,)C(2,)D(,3) Bf(x)6x22ax36,且在x2處有極值,f(2)0,244a360,a15,f(x)6x230x366(x2)(x3),由f(x)0得x2或x3.3設(shè)函數(shù)f(x)xex,則()Ax1為f(x)的極大值點(diǎn)Bx1為f(x)的極小值點(diǎn)Cx1為f(x)的極大值點(diǎn)Dx1為f(x)的極小值點(diǎn)D令yexxex(1x)ex0,得x1.當(dāng)x1時(shí),y0;當(dāng)x1時(shí),y0.故當(dāng)x1時(shí),y取得極小值4已知函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)3x26ax3(a2),函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值,方程f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,36a236(a2)0,即a2a20,解得a2或a1.答案(,1)(2,)5求下列函數(shù)的極值(1)f(x)x22ln x;(2)y. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062052】解(1)f(x)2x,且函數(shù)定義域?yàn)?0,),令f(x)0,得x1或x1(舍去),當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0,當(dāng)x1時(shí),函數(shù)有極小值,極小值為f(1)1.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?,1)(1,),且y,令y0,得x11,x22,當(dāng)x變化時(shí),y,y的變化情況如表:x(,1)1(1,1)(1,2)2(2,)y00y單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增3單調(diào)遞增故當(dāng)x1時(shí),y有極大值.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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