2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第3課時 三角形中的幾何計算學(xué)案 新人教A版必修5.doc
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第3課時 三角形中的幾何計算 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握三角形的面積公式的應(yīng)用(重點).2.掌握正、余弦定理與三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用(難點)． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．三角形的面積公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)； (2)S＝absin C＝bcsin_A＝casin_B； (3)S＝(a＋b＋c)r(r為內(nèi)切圓半徑)． 思考：(1)三角形的面積公式適用于所有的三角形嗎？ (2)已知三角形的兩個內(nèi)角及一邊能求三角形的面積嗎？ [提示] (1)適用．三角形的面積公式對任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的邊或角，再根據(jù)面積公式求解． 2．三角形中常用的結(jié)論 (1)A＋B＝π－C，＝－； (2)在三角形中大邊對大角，反之亦然； (3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊； (4)三角形的誘導(dǎo)公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C， sin ＝cos ， cos ＝sin . [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)公式S＝absin C適合求任意三角形的面積．( ) (2)三角形中已知三邊無法求其面積．( ) (3)在三角形中已知兩邊和一角就能求三角形的面積．( ) [答案] (1)√ (2) (3)√ 提示：已知三邊可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面積故(2)錯． 2．下列說法中正確的是________(填序號)． (1)已知三角形的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積S＝(a＋b＋c)r； (2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，則A＝60； (3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30，則S△ABC的面積是6； (4)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則A＝B. 【導(dǎo)學(xué)號：91432075】 (3) [(1)中三角形的面積S＝(a＋b＋c)r. (2)由S＝bcsin A可得sin A＝，∴A＝60或120. (4)在△ABC中由sin 2A＝sin 2B得A＝B或A＋B＝.] 3．在△ABC中，a＝6，B＝30，C＝120，則△ABC的面積________． 9 [由題知A＝180－120－30＝30，由＝知b＝6，∴S＝absin C＝18＝9.] 4．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圓半徑為，則邊c的長為________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432076】 3 [由題知S△ABC＝absin C＝15得sin C＝. 又由＝2R得c＝2＝3.] [合 作 探 究攻 重 難] 三角形面積的計算 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，B＝，cos A＝，b＝. (1)求sin C的值； (2)求△ABC的面積． [解] (1)∵角A，B，C為△ABC的內(nèi)角， 且B＝，cos A＝， ∴C＝－A，sin A＝. ∴sin C＝sin＝cos A＋sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，sin C＝. 又∵B＝，b＝， ∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝. ∴△ABC的面積S＝absin C＝＝. [規(guī)律方法] 1．由于三角形的面積公式有三種形式，實際使用時要結(jié)合題目的條件靈活運用，若三角形的面積已知，常選擇已知的那個面積公式． 2．如果已知兩邊及其夾角可以直接求面積，否則先用正、余弦定理求出需要的邊或角，再套用公式計算． [跟蹤訓(xùn)練] 1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，求△ABC的面積． [解] 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因為sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因為b2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝＝. 三角恒等式證明問題 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 證明：＝. 思路探究：由左往右證，可由邊化角展開；由右往左證，可由角化邊展開． [證明] 法一：(邊化角)由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， ∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B， 整理得：＝. 依正弦定理有＝，＝， ∴＝＝. 法二：(角化邊)＝＝＝＝. [規(guī)律方法] 1．三角恒等式證明的三個基本原則： (1)統(tǒng)一邊角關(guān)系． (2)由繁推簡． (3)目標(biāo)明確，等價轉(zhuǎn)化． 2．三角恒等式證明的基本途徑： (1)把角的關(guān)系通過正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，然后進(jìn)行化簡、變形． (2)把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過正弦定理，然后利用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形． [跟蹤訓(xùn)練] 2．在△ABC中，求證：＝. 【導(dǎo)學(xué)號：91432078】 [證明] 由正弦定理得右邊 ＝＝＝＝＝＝左邊． ∴原等式成立． 解三角形中的綜合問題 [探究問題] 1.如圖1235所示，圖中共有幾個三角形？線段AD分別是哪些三角形的邊，∠B是哪些三角形的內(nèi)角？ 圖1235 提示：在圖形中共有三個三角形，分別為△ABC，△ABD，△ADC；線段AD是△ADC與△ABD的公共邊，∠B既是△ABC的內(nèi)角，又是△ABD的內(nèi)角． 2．在探究1中，若sin B＝sin ∠ADB，則△ABD是什么形狀的三角形？在此條件下若已知AB＝m，DC＝n，如何求出AC? 提示：若sin B＝sin ∠ADB，則△ABD為等腰三角形，在此條件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝，bsin－csin＝a. (1)求證：B－C＝； (2)若a＝，求△ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：91432079】 思路探究：(1)先由正弦定理化邊為角，再化簡已知三角形即證． (2)結(jié)合第(1)問可直接求出B，C，再利用面積公式求值；也可以作輔助線導(dǎo)出b，c的大小關(guān)系，再由余弦定理求值，最后用面積公式求解． [解] (1)證明：由bsin－csin＝a，應(yīng)用正弦定理， 得sin Bsin－sin Csin＝sin A， 所以sin B－sin Csin B＋cos B＝， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1， 因為0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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