2018年秋高中數學 第三章 導數及其應用 3.3 導數在研究函數中的應用 3.3.2 函數的極值與導數學案 新人教A版選修1 -1.doc
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3.3.2函數的極值與導數學習目標:1.了解極值的概念、理解極值與導數的關系(難點)2.掌握利用導數求函數極值的步驟,能熟練地求函數的極值(重點)3.會根據函數的極值求參數的值(難點)自 主 預 習探 新 知1極小值點與極小值若函數f(x)滿足:(1)在xa附近其他點的函數值f(x)f(a);(2)f(a)0;(3)在xa附近的左側f(x)0,則點a叫做函數yf(x)的極小值點,f(a)叫做函數yf(x)的極小值2極大值點與極大值若函數f(x)滿足: (1)在xb附近其他點的函數值f(x)f(b);(2)f(b)0;(3)在xb附近的左側f(x)0,在xb附近的右側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極大值. (2)如果在x0附近的左側f(x)0,那么f(x0)是極小值基礎自測1思考辨析(1)導數值為0的點一定是函數的極值點()(2)函數的極大值一定大于極小值()(3)在可導函數的極值點處,切線與x軸平行或重合()(4)函數f(x)有極值()答案(1)(2)(3)(4)2函數yx31的極大值是()A1B0C2D不存在Dy3x20,則函數yx31在R上是增函數,不存在極大值3若x2與x4是函數f(x)x3ax2bx的兩個極值點則有() 【導學號:97792153】Aa2,b4 Ba3,b24Ca1,b3 Da2,b4Bf(x)3x22axb,依題意有x2和x4是方程3x22axb0的兩個根,所以有24,24,解得a3,b24.合 作 探 究攻 重 難求函數的極值(1)已知函數f(x)ax3bx2c,其導函數f(x)的圖象如圖338所示,則函數f(x)的極小值是()圖338AabcB3a4bcC3a2b Dc(2)求下列函數的極值:f(x)x3x23x3;f(x)2.解析(1)由f(x)的圖象知,當x0時,f(x)0,當0x0,當x2時,f(x)0,解得a1.所以a的取值范圍為(,1)函數極值的綜合應用探究問題1如何畫三次函數f(x)ax3bx2cxd(a0)的大致圖象?提示:求出函數的極值點和極值,根據在極值點左右兩側的單調性畫出函數的大致圖象2三次函數f(x)ax3bx2c(a0)的圖象和x軸一定有三個交點嗎?提示:不一定,三次函數的圖象和x軸交點的個數和函數極值的大小有關,可能有一個也可能有兩個或三個已知a為實數,函數f(x)x33xa(1)求函數f(x)的極值,并畫出其圖象(草圖)(2)當a為何值時,方程f(x)0恰好有兩個實數根思路探究(1)求出函數f(x)的極值點和極值,結合函數在各個區(qū)間上的單調性畫出函數的圖象(2)當極大值或極小值恰好有一個為0時,方程f(x)0恰好有兩個實數根解(1)由f(x)x33xa,得f(x)3x23, 令f(x)0,得x1或x1.當x(,1)時,f(x)0;當x(1,)時,f(x)0.所以函數f(x)的極小值為f(1)a2;極大值為f(1)a2.由單調性、極值可畫出函數f(x)的大致圖象,如圖所示,(2)結合圖象,當極大值a20時,有極小值小于0,此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點,即方程f(x)0恰有兩個實數根,所以a2滿足條件;當極小值a20時,有極大值大于0,此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點,即方程f(x)0恰好有兩個實數根,所以a2滿足條件綜上,當a2時,方程恰有兩個實數根母題探究:1.本例中條件不變,試求當a為何值時,方程f(x)0有三個不等實根解由例題解析知,當即2a或x0;當x時,f(x)0.所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(,)和(,);單調遞減區(qū)間為(,)當x時,f(x)有極大值54;當x時,f(x)有極小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示所以,當54a54時,直線ya與yf(x)的圖象有三個不同的交點,即方程f(x)a有三個不同的實根規(guī)律方法利用導數研究方程根的個數利用導數可以判斷函數的單調性,研究函數的極值情況,并能在此基礎上畫出函數的大致圖象,從直觀上判斷函數圖象與x軸的交點或兩個函數圖象的交點的個數,從而為研究方程根的個數問題提供了方便當 堂 達 標固 雙 基1下列四個函數中,能在x0處取得極值的是()yx3;yx21;ycos x1;y2x.ABC DB為單調函數,不存在極值2函數f(x)的定義域為R,導函數f(x)的圖象如圖339所示,則函數f(x)()圖339A無極大值點,有四個極小值點B有三個極大值點,兩個極小值點C有兩個極大值點,兩個極小值點D有四個極大值點,無極小值點C當f(x)的符號由正變負時,f(x)有極大值,當f(x)的符號由負變正時,f(x)有極小值由函數圖象易知,函數有兩個極大值點,兩個極小值點3函數y348xx3的極小值是_;極大值是_131125y3x2483(x4)(x4),當x(,4)(4,)時,y0,x4時,y取到極小值131,x4時,y取到極大值125.4已知函數f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值,則實數a的取值范圍是_(,1)(2,)f(x)3x26ax3(a2),函數f(x)既有極大值又有極小值,方程f(x)0有兩個不相等的實根36a236(a2)0.即a2a20,解之得a2或a1.5已知函數f(x)ax2bln x在x1處有極值.(1)求a,b的值(2)判斷函數f(x)的單調區(qū)間,并求極值. 【導學號:97792155】解(1)因為f(x)ax2bln x,所以f(x)2ax.又函數f(x)在x1處有極值.故即解得a,b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x.其定義域為(0,)且f(x)x.令f(x)0,則x1(舍去)或x1.當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如表:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)極小值所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,1),單調遞增區(qū)間是(1,),且函數在定義域上只有極小值f(1),無極大值- 配套講稿:
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