2018年秋高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.1 綜合法和分析法學案 新人教A版選修2-2.doc
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2.2.1綜合法和分析法學習目標:1.理解綜合法、分析法的意義,掌握綜合法、分析法的思維特點(重點、易混點)2.會用綜合法、分析法解決問題(重點、難點)自 主 預 習探 新 知1綜合法定義推證過程特點利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結論)順推證法或由因導果法2分析法定義框圖表示特點一般地,從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止這種證明方法叫做分析法逆推證法或執(zhí)果索因法思考1:綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理?提示綜合法與分析法的推理過程是演繹推理,因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理,從而得到的每一個結論都是正確的,不同于合情推理中的“猜想”思考2: 綜合法與分析法有什么區(qū)別?提示綜合法是從已知條件出發(fā),逐步尋找的是必要條件,即由因導果;分析法是從待求結論出發(fā),逐步尋找的是充分條件,即執(zhí)果索因基礎自測1思考辨析(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法()(2)分析法就是從結論推向已知()(3)所有證明的題目均可使用分析法證明()答案(1)(2)(3) 2命題“對于任意角,cos4 sin4 cos 2 ”的證明:“cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2 ”,其過程應用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用D間接證法B從證明過程來看,是從已知條件入手,經(jīng)過推導得出結論,符合綜合法的證明思路3要證明AB,若用作差比較法,只要證明_解析要證AB,只要證AB0. 答案AB04將下面用分析法證明ab的步驟補充完整:要證ab,只需證a2b22ab,也就是證_,即證_,由于_顯然成立,因此原不等式成立. 【導學號:31062143】解析用分析法證明ab的步驟為:要證ab成立,只需證a2b22ab,也就是證a2b22ab0,即證(ab)20.由于(ab)20顯然成立,所以原不等式成立答案a2b22ab0(ab)20(ab)20合 作 探 究攻 重 難綜合法的應用(1)已知a,b是正數(shù),且ab1,證明:4.(2)在ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求證:A的大小為;若sin Bsin C,證明ABC為等邊三角形解(1)法一:a,b是正數(shù)且ab1,ab2,4.法二:a,b是正數(shù),ab20,20,(ab)4.又ab1,4.法三:11224.當且僅當ab時,取“”號(2)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C,得2a2(2bc)b(2cb)c,即bcb2c2a2,所以cos A,所以A.因為ABC180,所以BC18060120,由sin Bsin C,得sin Bsin(120B),sin B(sin 120cos Bcos 120sin B),sin Bcos B,即sin(B30)1.因為0B120,所以30B30150,所以B3090,B60,所以ABC60,即ABC為等邊三角形規(guī)律方法綜合法的解題步驟跟蹤訓練1.如圖221,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中點(1)證明:CDAE;(2)證明:PD平面ABE.圖221證明(1)在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAACA,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中點,AEPC.由(1)知,AECD,又PCCDC,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD內的射影是AD.又ABAD,ABPD.又ABAEA,PD平面ABE.分析法的應用設a,b為實數(shù),求證: (ab). 【導學號:31062144】證明當ab0時,0,(ab)成立當ab0時,用分析法證明如下:要證(ab),只需證()22.即證a2b2(a2b22ab),即證a2b22ab.a2b22ab對一切實數(shù)恒成立,(ab)成立綜上所述,不等式得證規(guī)律方法用分析法證明不等式的三個關注點(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質、基本不等式、已知的重要不等式等.(2)分析法是綜合法的逆過程,即從“未知”“看”“需知” ,執(zhí)果索因,逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實際上是要尋找它的充分條件或充要條件.(3)分析法為逆推證明,因此在使用時要注意邏輯性與規(guī)范性,其格式一般為“要證,只要證.只需證,顯然成立,所以成立”.跟蹤訓練3已知a,b是正實數(shù),求證:.證明要證,只要證ab()即證(ab)()(),因為a,b是正實數(shù),即證ab,也就是要證ab2,即()20.而該式顯然成立,所以.綜合法和分析法的綜合應用探究問題1在實際解題時,綜合法與分析法能否可以結合起來使用?提示:在實際解題時,常常把分析法和綜合法結合起來使用,即先利用分析法尋找解題思路,再利用綜合法有條理地表述解答過程2你會用框圖表示綜合法與分析法交叉使用時的解題思路?提示:用框圖表示如下:其中P表示已知條件、定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論已知a、b、c是不全相等的正數(shù),且0x1.求證:logxlogxlogxlogxalogxblogxc.思路探究解答本題的關鍵是利用對數(shù)運算法則和對數(shù)函數(shù)性質轉化成整式不等式證明解要證明:logxlogxlogxlogxalogxblogxc,只需要證明logxlogx(abc)由已知0xabc.由公式0,0,0,又a,b,c是不全相等的正數(shù),abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立母題探究:1.(變條件)刪掉本例條件“0x1”,求證:lglglglg alg blg c.證明要證lglglglg alg blg c,只需證lglg(abc),即證abc.因為a,b,c為不全相等的正數(shù),所以0,0,0,且上述三式中等號不能同時成立,所以abc成立,所以lglglglg alg blg c成立2(變條件)把本例條件“0x1”換成“abc1”,求證: .證明法一:由左式推證右式abc1,且a,b,c為互不相等的正數(shù),bcacab.法二:由右式推證左式a,b,c為互不相等的正數(shù),且abc1,(基本不等式) .規(guī)律方法分析綜合法的解題思路分析綜合法的解題思路是:根據(jù)條件的結構特點去轉化結論,得到中間結論Q;根據(jù)結論的結構特點去轉化條件,得到中間結論P;若由P可推出Q,即可得證. 當 堂 達 標固 雙 基1欲證成立,只需證() 【導學號:31062145】A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2C0,0,故()2()2.2在ABC中,若sin Asin Bcos Acos B,則ABC一定是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形C由sin Asin B0,所以cos C0,求證:3a32b33a2b2ab2.(請用分析法和綜合法兩種方法證明)證明法一:(綜合法)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因為ab0,所以ab0,3a22b20,從而(3a22b2)(ab)0,所以3a32b33a2b2ab2.法二:(分析法)要證3a32b33a2b2ab2,只需證3a2(ab)2b2(ab)0,只需證(3a22b2)(ab)0,ab0.ab0,3a22b22a22b20,上式成立- 配套講稿:
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