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綜合檢測二(標(biāo)準(zhǔn)卷)
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．
2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上．
3．本次考試時間120分鐘，滿分150分．
4．請?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．設(shè)全集為R，集合A＝，B＝{x|x≥1}，則A∩B等于( )
A．{x|0
0，b>0)的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且MF1，NF2都垂直于x軸(其中F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為( )
A.B.C.－1D.
答案 D
解析 ∵直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且MF1，NF2都垂直于x軸，
∴根據(jù)雙曲線的對稱性，
設(shè)點(diǎn)M(－c，－y)，N(c，y)(y>0)，
則－＝1，即|y|＝，且|MF1|＝|NF2|＝|y|，
又∵直線l的傾斜角為45，
∴直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，|y|＝c，
∴＝c，整理得c2－ac－a2＝0，
即e2－e－1＝0，解方程得e＝.
12．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3對x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 B
解析 ∵2xlnx≥－x2＋ax－3對x∈(0，＋∞)恒成立，
∴a≤x＋2lnx＋對x∈(0，＋∞)恒成立，
令f(x)＝x＋2lnx＋，則f′(x)＝1＋－＝.
由f′(x)>0得x>1，即f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)；由f′(x)<0得01＋，
∴兩圓外離，
∴|PD|的最小值為3－1－＝2－1，
∴|＋|的最小值為4－2.
15.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝________.
答案 1
解析 由函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象知，A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，
又f＝2sin＝2,
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，f(0)＝2sin＝1.
16．已知拋物線C：y2＝8x，點(diǎn)P(0,4)，點(diǎn)A在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離之和最小時，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，延長AF交拋物線于點(diǎn)B，則△AOB的面積為________．
答案 4
解析 根據(jù)拋物線性質(zhì)知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，故當(dāng)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線時達(dá)到最小值，由P(0,4)，F(xiàn)(2,0)，可得lAB：2x＋y－4＝0，聯(lián)立拋物線方程可得x2－6x＋4＝0，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10，原點(diǎn)到直線lAB：2x＋y－4＝0的距離d＝＝，所以△AOB的面積為10＝4.
三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝(－1)nan，求數(shù)列{bn}前2019項(xiàng)的和．
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，
??
∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝27－2n.
(2){bn}的前2019項(xiàng)的和S2019為
S2019＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2018＋b2019＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2018－a2017)－a2019
＝(－2)－(27－22019)
＝1993.
18．(12分)如圖，五邊形ABSCD中，四邊形ABCD為長方形，三角形SBC為邊長為2的正三角形，將三角形SBC沿BC折起，使得點(diǎn)S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．
(1)當(dāng)AB＝時，證明：平面SAB⊥平面SCD；
(2)若AB＝1，求平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對值．
(1)證明 作SO⊥AD，垂足為O，依題意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，
又AB⊥AD，SO∩AD＝O，SO，AD?平面SAD，
∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD.
利用勾股定理得SA＝＝＝，同理可得SD＝.
在△SAD中，AD＝2，SA＝SD＝，SA2＋SD2＝AD2，
∴SA⊥SD，
又SA∩AB＝A，∴SD⊥平面SAB，
又SD?平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD.
(2)解 連接BO，CO，
∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，
∴BO＝CO，又四邊形ABCD為長方形，
∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD.
取BC中點(diǎn)為E，得OE∥AB，連接SE，∴SE＝，
其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝＝，
由以上證明可知OS，OE，AD互相垂直，不妨以直線OA，OE，OS為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，－)，＝(－2,0,0)，
設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面SCD的法向量，
則有
即
令z1＝1得m＝(－，0,1)，
設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量，
則有即
令z1＝1得n＝(0，，1)．
則|cos〈m，n〉|＝＝＝，
所以平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對值為.
19．(12分)某芯片代工廠生產(chǎn)某型號芯片每盒12片，每批生產(chǎn)若干盒，每片成本1元，每盒芯片需檢驗(yàn)合格后方可出廠．檢驗(yàn)方案是從每盒芯片隨機(jī)取3片檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)次品，就要把全盒12片產(chǎn)品全部檢驗(yàn)，然后用合格品替換掉不合格品，方可出廠；若無次品，則認(rèn)定該盒芯片合格，不再檢驗(yàn)，可出廠．
(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求該盒芯片經(jīng)一次檢驗(yàn)即可出廠的概率；
(2)若每片芯片售價10元，每片芯片檢驗(yàn)費(fèi)用1元，次品到達(dá)組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后，每片須由代工廠退賠10元，并補(bǔ)償1片經(jīng)檢驗(yàn)合格的芯片給組裝廠．設(shè)每片芯片不合格的概率為p(00，f(p)為單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)p∈時，f′(p)<0，f(p)為單調(diào)減函數(shù)，
∴p0＝為f(p)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
故f(p)的最大值點(diǎn)p0＝.
②由題設(shè)知，p＝p0＝，
設(shè)這箱芯片不合格品個數(shù)為n，
則n～B，
故E(n)＝12＝3，
則E(X)＝120－12－30－32＝72.
∴這箱芯片最終利潤X的均值是72元．
20．(12分)設(shè)常數(shù)t>2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(2,0)，直線l：x＝t，曲線Γ：y2＝8x(0≤x≤t，y≥0)．l與x軸交于點(diǎn)A、與Γ交于點(diǎn)B.P，Q分別是曲線Γ與線段AB上的動點(diǎn)．
(1)用t表示點(diǎn)B到點(diǎn)F距離；
(2)設(shè)t＝3，|FQ|＝2，線段OQ的中點(diǎn)在直線FP上，求△AQP的面積；
(3)設(shè)t＝8，是否存在以FP，F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解 (1)方法一 由題意可得B(t,2)，
則|BF|＝＝t＋2，
∴|BF|＝t＋2.
方法二 由題意可得B(t,2)，
由拋物線的性質(zhì)可知，|BF|＝t＋＝t＋2，∴|BF|＝t＋2.
(2)F(2,0)，|FQ|＝2，t＝3，則|FA|＝1，
∴|AQ|＝，
∴Q(3，)，設(shè)OQ的中點(diǎn)D，D，
kDF＝＝－，
則直線PF的方程為y＝－(x－2)，
聯(lián)立整理得3x2－20x＋12＝0，
解得x＝，x＝6(舍去)，
∴△AQP的面積S＝＝.
(3)存在．假設(shè)存在，則設(shè)P，
易知，當(dāng)PF斜率不存在時，不存在符合題意的矩形，
則kPF＝＝，kFQ＝，
直線QF的方程為y＝(x－2)，
∴yQ＝(8－2)＝，Q，
根據(jù)＋＝，則E，
∴2＝8，解得y2＝，
∴存在以FP，F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上，且P.
21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx(a為常數(shù))．
(1)當(dāng)a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)，x∈的圖象與x軸無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最小值．
解 (1)a＝1時，f(x)＝x－2lnx－1，f′(x)＝1－，
由f′(x)>0得x>2；f′(x)<0得00成立，
即x∈時，a>2－.
令l＝2－，x∈，
則l′(x)＝，
再令m(x)＝2lnx＋－2，x∈，
m′(x)＝<0，于是m在上為減函數(shù)，
故m(x)>m＝2－2ln2>0，∴l(xiāng)′(x)>0在上恒成立，
∴l(xiāng)(x)在上為增函數(shù)，∴l(xiāng)(x)2－恒成立，只要a∈[2－4ln2，＋∞)，
∴實(shí)數(shù)a的最小值為2－4ln2.
請?jiān)诘?2～23題中任選一題作答．
22．(10分)直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝6cosθ.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
解 (1)由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.
(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t2＋2(sinα－cosα)t－7＝0.
由Δ＝4(sinα－cosα)2＋47＞0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩根，
所以t1＋t2＝2(cosα－sinα)，t1t2＝－7，
又由直線過點(diǎn)(2,1)，故結(jié)合參數(shù)的幾何意義得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝≥2，當(dāng)sin2α＝1時取等號．
所以|PA|＋|PB|的最小值為2.
23．(10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a>0)．
(1)當(dāng)a＝1時，求f(x)的最小值；
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<＋a在x∈[1,2]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當(dāng)a＝1時，
f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝＋＋|x＋1|≥0＋＝，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，取等號．
(2)當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)<＋a?|2x－a|＋x＋a<＋a?|a－2x|<－x?3x－0，所以0
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