沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專題09 平面向量的線性表示(含解析).doc
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專題09 平面向量的線性表示【自主熱身,歸納總結(jié)】1、設(shè)a,b不共線,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p=.【答案】-1【解析】因?yàn)?2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以=,即2a+pb=(2a-b)=2a-b,所以解得所以實(shí)數(shù)p的值是-1.2、設(shè)與是兩個(gè)不共線向量,若A,B,D三點(diǎn)共線,則 【答案】:【解析】,設(shè)則且,解得3、在中,若點(diǎn),依次是邊上的四等分點(diǎn),設(shè),用,表示,則 【解析】 在中,所以4設(shè)點(diǎn),是直線上不同的三點(diǎn),點(diǎn)是直線外一點(diǎn),若,則的值為 【答案】:1【解析】 因?yàn)辄c(diǎn),三點(diǎn)共線,所以,又因?yàn)?,所?、如圖,在中,分別為邊,的中點(diǎn). 為邊上的點(diǎn),且,若,則的值為 .【答案】: 【解析】:因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,故,。6、已知為的外心,若,則= 【答案】:誤點(diǎn)警示:若為銳角,則與分別是同弧所對的圓心角與圓周角,此時(shí)=2;若為鈍角,由與的關(guān)系是,因此,必須對進(jìn)行分類討論.本題從條件判斷知,必為鈍角.7、已知點(diǎn)C,D,E是線段的四等分點(diǎn),為直線外的任意一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù) 的值為 【答案】:【解析】 因?yàn)椋?如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量,其中與的夾角為,與的夾角為,且,若,則_,_ 【答案】:,【解析】 設(shè)與,同方向的單位向量分別為,依題意有,又,則,所以,9、如圖,一直線與平行四邊形的兩邊分別 交于兩點(diǎn),且交其對角線于,其中,則的值為 【答案】:【解析】 因?yàn)辄c(diǎn)F,K,E共線,故可設(shè)又,所以,解得【問題探究,變式訓(xùn)練】 例1、在ABC中,AB2,AC3,角A的平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O,若xy(x,yR),則xy的值為_. 課本探源 本題的難點(diǎn)是關(guān)系的建立,借助于正弦定理,可以證明.實(shí)際上,必修5P54例5已經(jīng)證明了此結(jié)論,若能夠想到這一點(diǎn),理順本題的解題思路就容易多了:在ABC中,AD是BAC的平分線,用正弦定理證明:. 【變式1】、如圖,在平行四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,E為線段AO的中點(diǎn),若(,R),則_.【答案】【解析】:因?yàn)镺,E分別是AC,AO的中點(diǎn),所以().又()(),故. 【變式2】、在中,若,則的值為 【答案】: 因?yàn)?,?所以,所以,則的值為.【關(guān)聯(lián)1】、如圖,在ABC中,BO為邊AC上的中線,設(shè),若,則的值為 【答案】【解析】思路一:,因?yàn)?,所?,思路二:不妨設(shè),則有【關(guān)聯(lián)2】、如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量、,的模分別為1,1,與的夾角為,且,與的夾角為,若, 則的值為_【答案】: A C BO【解析】 由可得,根據(jù)向量分解易得:,即,解得 所以例2、在ABC中,C45,O是ABC的外心,若mn(m,nR),則mn的取值范圍是_【答案】 ,1)思路分析 本題中三點(diǎn)在圓O上是一個(gè)關(guān)鍵條件,可以建立坐標(biāo)系求出m,n的關(guān)系式,再利用三角換元求解,也可以對向量等式兩邊平方后得到m,n的關(guān)系式,再利用線性規(guī)劃求解因?yàn)镃,O是ABC外心,所以AOB90,mn,所以C在優(yōu)弧上建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)半徑為1,則A(0,1),B(1,0)設(shè)C(cos,sin),代入mn,可得ncos,msin,即mncossinsin.又,所以mn,1)解后反思 本題易錯(cuò)在沒有注意點(diǎn)C在優(yōu)弧上,錯(cuò)誤的認(rèn)為點(diǎn)C在整個(gè)圓上本題是典型的二元函數(shù)的值域問題,解題方法比較多,可以用基本不等式、線性規(guī)劃、三角換元,但由于點(diǎn)C在圓弧上,最好的方法建立坐標(biāo)系,利用三角函數(shù)求解,定義域的尋找也較為簡單【變式1】、 如圖,直角梯形ABCD中,ABCD,DAB90,ADAB4,CD1,動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上,且滿足mn(m,n均為正實(shí)數(shù)),則的最小值為_【答案】:. 解法1 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4)又kBC,故BC:y(x4)又mn,(4,0),(0,4),所以(4m,4n),故P(4m,4n),又點(diǎn)P在直線BC上,即3n4m4,即4()(3n4m)()77274,所以()min,當(dāng)且僅當(dāng)即m,n時(shí)取等號解法2 因?yàn)閙n,所以mn()mnn.又C,P,B三點(diǎn)共線,故mn1,即m1,以下同解法1.解后反思 向量的基本運(yùn)算分為線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算,本題建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算,其中三點(diǎn)共線可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上也可以用共線向量基本定理來轉(zhuǎn)化基底法運(yùn)算量小于坐標(biāo)法、坐標(biāo)法的思維難度低于基底法【變式2】、 如圖,經(jīng)過的重心G的直線與OA,OB交于點(diǎn)P,Q,設(shè),則的值為 【答案】:3【解析】 連接并延長,交于點(diǎn),因?yàn)槭堑闹匦模词堑闹芯€,所以,因?yàn)椋?,同理可得,將代入可得,即,設(shè),則有,根據(jù)平面向量基本定理,有,故的值為3【關(guān)聯(lián)1】、如圖,在等腰三角形ABC中,已知ABAC1,A120,E,F(xiàn)分別是邊AB,AC上的點(diǎn),且m,n,其中m,n.若EF,BC的中點(diǎn)分別為M,N,且m4n1,則的最小值為_【答案】思路分析:本題易求,所以可以利用點(diǎn)M,N是EF,BC的中點(diǎn)將轉(zhuǎn)化用和表示,再求|的最小值;另外也可以通過建立平面直角坐標(biāo)系將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)表示出來再求解【解析】1 由于M,N是EF,BC的中點(diǎn),m,n,m4n1,所以,所以2n.而11cos120,所以|,顯然當(dāng)n時(shí),|min.【解析】2 如圖,以點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn),直線BC為x軸,直線NA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,由ABAC1,A120得N(0,0),A0,B,0,C,0,所以nn,n,m2n,2n(由于m4n1),從而點(diǎn)E,點(diǎn)Fn,n,線段EF的中點(diǎn)Mn,n,所以|,顯然當(dāng)n時(shí),|min.【關(guān)聯(lián)2】、 已知ABC是邊長為3的等邊三角形,點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q滿足,則|的最小值是_. 【答案】: 思路分析 求|的最小值,就是求線段BQ長的最小值,因?yàn)辄c(diǎn)B為定點(diǎn),而點(diǎn)Q是隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的,那么就要關(guān)注點(diǎn)Q是如何運(yùn)動(dòng)的,即要先求出點(diǎn)Q的軌跡方程,通過建系運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法即可求得點(diǎn)Q的軌跡方程,通過點(diǎn)Q的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個(gè)圓,接下來問題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值問題,那就簡單了一般與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題,往往運(yùn)用軌跡思想,首先探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡,在了解其軌跡的基礎(chǔ)上一般可將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的關(guān)系或直線與圓的關(guān)系或兩圓之間的關(guān)系解法1 以A為原點(diǎn),AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則(3,0),設(shè)Q(x,y),P(x,y),由,得,即所以兩式平方相加得22(x2y2),因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在以A為圓心的單位圓上,所以x2y21,從而有22,所以點(diǎn)Q是以M為圓心,R的圓上的動(dòng)點(diǎn),因此BQminBMR.解法2 .令,則(),那么|,求|的最小值,就轉(zhuǎn)化為求|的最小值,根據(jù)不等式的知識(shí)有:|,而|22222323332,即|,所以|1,從而|,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí),取等號【關(guān)聯(lián)3】、在中,為邊上一點(diǎn),且,為上一點(diǎn),且滿足,求的最小值【解析】 因?yàn)?,所以,又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn),不妨設(shè),所以,,因?yàn)椴还簿€,所以,則所以,ABCEP當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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