2019年高中數(shù)學(xué) 第4章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 4.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 4.3.1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性講義(含解析)湘教版選修2-2.doc
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43.1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性讀教材填要點(diǎn)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系:導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)函數(shù)在(a,b)上的單調(diào)性f(x)0單調(diào)遞增f(x)0,則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增,反之也成立嗎?提示:不一定成立比如yx3在R上為增函數(shù),但其在0處的導(dǎo)數(shù)等于零也就是說f(x)0是yf(x)在某個(gè)區(qū)間上遞增的充分不必要條件2右圖為導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象,則函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間是什么?提示:?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間:(,3,2,1,3,);單調(diào)遞減區(qū)間:3,2,1,3判斷(或證明)函數(shù)的單調(diào)性 已知函數(shù)f(x)ax33x21,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性自主解答 由題設(shè)知a0.f(x)3ax26x3ax,令f(x)0,得x10,x2.當(dāng)a0時(shí),若x(,0),則f(x)0.f(x)在區(qū)間(,0)上為增函數(shù)若x,則f(x)0,f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)a0時(shí),若x,則f(x)0.f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)若x(0,),則f(x)0,即f(x)0.f(x)在(0,)內(nèi)為增函數(shù)當(dāng)x(,0)時(shí),ex10,即f(x)0,即0,x0,6x210,x.令f(x)0,即0,6x210,0x.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)a0時(shí),f(x)x21,其單調(diào)遞減區(qū)間為(,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)當(dāng)a0(ax2)x0x0x0或x;f(x)0x0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;(4)解不等式f(x)0),則h(x)0,即h(x)在(0,)上是減函數(shù)由h(1)0知,當(dāng)0x0,從而f(x)0;當(dāng)x1時(shí),h(x)0,從而f(x)0.綜上可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 已知函數(shù)f(x)ln x,g(x)ax22x,a0.(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減,求a的取值范圍自主解答(1)h(x)ln xax22x,x(0,),所以h(x)ax2.因?yàn)閔(x)在(0,)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以當(dāng)x(0,)時(shí),ax2有解設(shè)G(x),所以只要aG(x)min即可而G(x)21,所以G(x)min1.所以a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,)(2)因?yàn)閔(x)在1,4上單調(diào)遞減,所以x1,4時(shí),h(x)ax20恒成立即a恒成立所以aG(x)max.而G(x)21.因?yàn)閤1,4,所以.所以G(x)max(此時(shí)x4)所以a.當(dāng)a時(shí),h(x)x2.x1,4,h(x)0.即h(x)在1,4上為減函數(shù)故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.若將本例(2)中“單調(diào)遞減”改為“單調(diào)遞增”,如何求a的取值范圍?解:h(x)在1,4上單調(diào)遞增,x1,4時(shí),h(x)ax20恒成立即a 恒成立設(shè)G(x),只需aG(x)min.又G(x)21,x1,4,.G(x)min1,a1.經(jīng)驗(yàn)證:a1時(shí),h(x)在1,4上單調(diào)遞增,綜上所述,a的取值范圍為(,1已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào),求f(x)中參數(shù)的取值范圍的方法為分離參數(shù)法:通常將f(x)0(或f(x)0)的參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化為求最值問題,從而求出參數(shù)的取值范圍特別地,若f(x)為二次函數(shù),可以由f(x)0(或f(x)0)恒成立求出參數(shù)的取值范圍3已知a0,函數(shù)f(x)(x22ax)ex,若f(x)在1,1上是單調(diào)減函數(shù),則a的取值范圍是()A. B.C. D.解析:f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex,由題意當(dāng)x1,1時(shí),f(x)0恒成立,即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a,則有即解得a.答案:C證明:方程xsin x0有唯一解巧思方程f(x)0的解即曲線yf(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因此可以通過構(gòu)造函數(shù)來解決妙解設(shè)f(x)xsin x,當(dāng)x0時(shí),f(0)0,所以x0是方程xsin x0的一個(gè)解因?yàn)閒(x)1cos x,且xR時(shí),f(x)0總成立,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增所以曲線f(x)xsin x與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)所以方程xsin x0有唯一解1函數(shù)f(x)x33x21的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(2,)B(,2)C(,0) D(0,2)解析:f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得0x0,結(jié)合4x4,得4x1或3x4.令f(x)0,結(jié)合4x4,得1x3.函數(shù)f(x)在4,1)和(3,4上為增函數(shù),在(1,3)上為減函數(shù)一、選擇題1函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(0,1)B(0,)C(1,) D(,0)(1,)解析:函數(shù)的定義域是(0,),且f(x)1,令f(x)0,解得0x1,所以單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)答案:A2已知函數(shù)f(x)ln x,則有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0,所以f(x)在(0,)上是增函數(shù),所以有f(2)f(e)f(3)答案:A3如圖為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象,那么函數(shù)yf(x)的圖象可能為()解析:由導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象,可知當(dāng)1x3時(shí),f(x)3或x0,所以yf(x)在(,1)和(3,)上單調(diào)遞增綜上,函數(shù)yf(x)的圖象的大致形狀如A中圖所示,所以選A.答案:A4f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)g(x)f(x)g(x)0,且f(1)0,則f(x)g(x)0的解集為()A(1,0)(1,) B(1,0)(0,1)C(,1)(1,) D(,1)(0,1)解析:令F(x)f(x)g(x),則F(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),F(xiàn)(x)0,即F(x)在(,0)上為減函數(shù)又f(1)0,即F(1)0.F(x)f(x)g(x)0;當(dāng)x(1,0)時(shí),f(x)0.故f(x) 在(,1),(0,)上單調(diào)遞增,在(1,0)上單調(diào)遞減答案:(,1)和(0,)(1,0)8已知函數(shù)f(x)2x2ln x(a0)若函數(shù)f(x)在1,2上為單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是_解析:f(x)4x,若函數(shù)f(x)在1,2上為單調(diào)函數(shù),即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立,即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x,則h(x)在1,2上單調(diào)遞增,所以h(2)或h(1),即或3,又a0,所以0a或a1.答案:1,)三、解答題9已知函數(shù)f(x)ln x,其中aR,且曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解:(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x),由f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線垂直于直線yx知f(1)a2,解得a.(2)由(1)知f(x)ln x,則f(x),令f(x)0,解得x1或x5,因x1不在f(x)的定義域(0,)內(nèi),故舍去當(dāng)x(0,5)時(shí),f(x)0,故f(x)在(5,)內(nèi)為增函數(shù)10已知函數(shù)f(x)aln xax3(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)a1時(shí),證明:當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)20.解:(1)根據(jù)題意知,f(x)(x0),當(dāng)a0時(shí),則當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0,當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,);同理,當(dāng)af(1)即f(x)2,所以f(x)20.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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