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第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)7 2利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器7 3利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器7 4利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器7 5IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較 有限脈沖響應(yīng) FIR 濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)指標(biāo)的同時(shí) 很容易做到有嚴(yán)格的線性相位特性 用N表示FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h n 的長度 其系統(tǒng)函數(shù)H z 為H z 是z 1的N 1次多項(xiàng)式 有N 1個(gè)零點(diǎn) 在原點(diǎn)z 0處有一個(gè)N 1重極點(diǎn) 因此 H z 永遠(yuǎn)穩(wěn)定 穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器最突出的優(yōu)點(diǎn) FIR濾波器設(shè)計(jì)任務(wù) 選擇有限長度的h n 使頻率響應(yīng)函數(shù)H ej 滿足技術(shù)指標(biāo)要求 7 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 1 線性相位FIR數(shù)字濾波器對(duì)于長度為N的h n 傳輸函數(shù)為 式中 Hg 稱為幅度特性 稱為相位特性 注意 這里Hg 不同于 H ej Hg 為 的實(shí)函數(shù) 可能取負(fù)值 而 H ej 總是正值 7 1 1 7 1 2 H ej 線性相位是指 是 的線性函數(shù) 即 為常數(shù) 7 1 3 如果 滿足下式 0 0是起始相位 7 1 4 嚴(yán)格地說 此時(shí) 不具有線性相位 但以上兩種情況都滿足群時(shí)延 相位特性曲線的斜率 是一個(gè)常數(shù) 即也稱這種情況為線性相位 滿足 7 1 3 式是第一類線性相位 滿足 7 1 4 式是第二類線性相位 0 2是第二類線性相位特性常用的情況 2 線性相位FIR的時(shí)域約束條件線性相位FIR濾波器的時(shí)域約束條件是指滿足線性相位時(shí) 對(duì)h n 的約束條件 1 第一類線性相位對(duì)h n 的約束條件 第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù) 可得 7 1 5 由上式得到 7 1 6 將 7 1 6 式中兩式相除得到 即 移項(xiàng)并用三角公式化簡得到 7 1 7 滿足 7 1 7 式的一組解是 函數(shù)h n sin n 關(guān)于求和區(qū)間的中心 N 1 2奇對(duì)稱 因?yàn)閟in n 關(guān)于n 奇對(duì)稱 如果取 N 1 2 則要求h n 關(guān)于 N 1 2偶對(duì)稱 所以要求 和h n 滿足如下條件 7 1 8 即 如果要求單位脈沖響應(yīng)為h n 長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第一類線性相位特性 嚴(yán)格線性相位特性 則h n 應(yīng)當(dāng)關(guān)于n N 1 2點(diǎn)偶對(duì)稱 當(dāng)N確定時(shí) FIR數(shù)字濾波器的相位特性是一個(gè)確知的線性函數(shù) 即 N 1 2 N為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí) h n 的對(duì)稱情況如表7 1 1中的情況1和情況2所示 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 2 第二類線性相位對(duì)h n 的約束條件 第二類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù) 2 可得 滿足式 7 1 9 的一組解是 函數(shù)h n cos n 關(guān)于求和區(qū)間的中心 N 1 2奇對(duì)稱 因?yàn)閏os n 關(guān)于n 偶對(duì)稱 如果取 N 1 2 則要求h n 關(guān)于 N 1 2奇對(duì)稱 所以要求 和h n 滿足如下條件 7 1 9 7 1 10 即 如果要求單位脈沖響應(yīng)為h n 長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第二類線性相位特性 則h n 應(yīng)當(dāng)關(guān)于n N 1 2點(diǎn)奇對(duì)稱 當(dāng)N確定時(shí) FIR數(shù)字濾波器的相位特性是一個(gè)確知的線性函數(shù) 即 2 N 1 2 N為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)h n 的對(duì)稱情況如表7 1 1中情況3和情況4 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 2 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg 的特點(diǎn) 幅度特性的特點(diǎn)就是線性相位FIR濾波器的頻域約束條件 將時(shí)域約束條件h n h N n 1 代入下式設(shè)h n 為實(shí)序列 即可推導(dǎo)出線性相位條件對(duì)FIR數(shù)字濾波器的幅度特性Hg 的約束條件 當(dāng)N取奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)對(duì)Hg 的約束不同 因此 對(duì)于兩類線性相位特性 下面分四種情況討論其幅度特性的特點(diǎn) 這些特點(diǎn)對(duì)正確設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器具有重要的指導(dǎo)作用 式中 表示取不大于 N 1 2的最大整數(shù) 顯然 僅當(dāng)N為奇數(shù)時(shí) M N 1 2 情況1 h n h N n 1 N為奇數(shù) 將時(shí)域約束條件h n h N n 1 和 代入式 7 1 1 和 7 1 2 得到 為了推導(dǎo)方便 引入兩個(gè)參數(shù)符號(hào) 所以 7 1 11 幅度特性Hg 分析 因?yàn)閏os n 關(guān)于 0 2 三點(diǎn)偶對(duì)稱 所以Hg 關(guān)于 0 2 三點(diǎn)偶對(duì)稱 因此情況1可以實(shí)現(xiàn)各種 低通 高通 帶通 帶阻 濾波器 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 情況2 h n h N n 1 N為偶數(shù) 仿照情況1的推導(dǎo)方法得到 7 1 12 式中 因?yàn)?是偶數(shù) 所以當(dāng)時(shí) 幅度特性Hg 分析 因?yàn)閏os n 關(guān)于過零點(diǎn)奇對(duì)稱 關(guān)于 0和2 偶對(duì)稱 所以Hg 0 Hg 關(guān)于 奇對(duì)稱 關(guān)于 0和2 偶對(duì)稱 因此 情況2不能實(shí)現(xiàn)高通和帶阻濾波器 對(duì)N 12的低通情況 Hg 如表7 1 1中情況2所示 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 情況3 h n h N n 1 N為奇數(shù) 將時(shí)域約束條件 h n h N n 1 和 2 代入式并考慮得到 式中 N是奇數(shù) N 1 2是整數(shù) 所以 當(dāng) 0 2 時(shí) sin n 0 而且sin n 關(guān)于過零點(diǎn)奇對(duì)稱 因此Hg 關(guān)于 0 2 三點(diǎn)奇對(duì)稱 由此可見 情況3只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器 對(duì)N 13的帶通濾波器舉例 Hg 如表7 1 1中情況3所示 幅度特性Hg 分析 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 情況4 h n h N n 1 N為偶數(shù) 用情況3的推導(dǎo)過程可以得到 幅度特性Hg 分析 式中 N是偶數(shù) N 1 2 N 2 1 2 當(dāng) 0 2 時(shí) sin n 0 當(dāng) 時(shí) sin n 1 n N 2 為峰值點(diǎn) 而sin n 關(guān)于過零點(diǎn) 0和2 兩點(diǎn)奇對(duì)稱 關(guān)于峰值點(diǎn) 偶對(duì)稱 因此Hg 關(guān)于 0和2 兩點(diǎn)奇對(duì)稱 關(guān)于 偶對(duì)稱 由此可見 情況4不能實(shí)現(xiàn)低通和帶阻濾波器 對(duì)N 12的高通濾波器舉例 Hg 如表7 1 1中情況4所示 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 應(yīng)當(dāng)注意 對(duì)每一種情況表7 1 1僅畫出滿足幅度特性要求的一種例圖 例如 情況1僅以低通的幅度特性曲線為例 當(dāng)然也可以畫出滿足情況1的幅度約束條件 Hg 關(guān)于 0 2 三點(diǎn)偶對(duì)稱 的高通 帶通和帶阻濾波器的幅度特性曲線 所以 僅從表7 1 1就認(rèn)為情況1只能設(shè)計(jì)低通濾波器是錯(cuò)誤的 3 線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布特點(diǎn)將h n h N 1 n 代入上式 得到 7 1 14 由上式可以看出 如z zi是H z 的零點(diǎn) 其倒數(shù)也必然是其零點(diǎn) 又因?yàn)閔 n 是實(shí)序列 H z 的零點(diǎn)必定共軛成對(duì) 因此也是其零點(diǎn) 這樣 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)必定是互為倒數(shù)的共軛對(duì) 確定其中一個(gè) 另外三個(gè)零點(diǎn)也就確定了 如圖7 1 1中 當(dāng)然 也有一些特殊情況 如圖7 1 1中z1 z2和z4情況 圖7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布 4 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)N為偶數(shù) 則有 令m N n 1 則有 因?yàn)?如果N為奇數(shù) 則將中間項(xiàng)h N 1 2 單獨(dú)列出 和直接型結(jié)構(gòu)比較 N取偶數(shù) 直接型需要N個(gè)乘法器 而線性相位結(jié)構(gòu)減少到N 2個(gè)乘法器 節(jié)約了一半的乘法器 N取奇數(shù) 乘法器減少到 N 1 2個(gè) 也近似節(jié)約了近一半的乘法器 FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu) 圖5 5 1第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖 圖5 5 2第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖 7 2利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7 2 1窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理 設(shè)希望逼近的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)為Hd ej 其單位脈沖響應(yīng)是hd n 通常以理想濾波器作為Hd ej 其幅度特性逐段恒定 在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn) 因而hd n 是無限時(shí)寬的 且是非因果序列 例如 線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd ej 為 其單位脈沖響應(yīng)hd n 為 7 2 2 7 2 1 hd n 是無限長非因果序列 hd n 的波形如圖7 2 1 a 所示 圖7 2 1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的時(shí)域波形 矩形窗 N 30 為了構(gòu)造一個(gè)長度為N的第一類線性相位FIR濾波器 只有將hd n 截取一段 并保證截取的一段關(guān)于n N 1 2偶對(duì)稱 設(shè)截取的一段用h n 表示 即 RN n 是一個(gè)矩形序列 長度為N 波形如圖7 2 1 b 所示 當(dāng) 取值為 N 1 2時(shí) 截取的一段h n 關(guān)于n N 1 2偶對(duì)稱 保證所設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位 h n 就是所設(shè)計(jì)濾波器的單位脈沖響應(yīng) 長度為N 其系統(tǒng)函數(shù)為H z 7 2 3 圖7 2 1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的時(shí)域波形 矩形窗 N 30 RN n 矩形序列 就是起對(duì)無限長序列的截?cái)嘧饔?可以形象地把RN n 看做一個(gè)窗口 h n 則是從窗口看到的一段hd n 序列 所以稱h n hd n RN n 為用矩形窗對(duì)hd n 進(jìn)行加窗處理 用有限長的序列h n 去代替hd n 肯定會(huì)引起誤差 在頻域會(huì)出現(xiàn)吉布斯 Gibbs 效應(yīng) 1 引起過渡帶加寬2 通帶和阻帶內(nèi)出現(xiàn)波動(dòng) 尤其使阻帶的衰減小 吉布斯效應(yīng)是由于將hd n 直接截?cái)嘁鸬?也稱截?cái)嘈?yīng) 圖7 2 2吉普斯效應(yīng) Hd ej 是一個(gè)以2 為周期的函數(shù) 可以展為傅里葉級(jí)數(shù) 即 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為hd n 就是Hd ej 對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) 設(shè)計(jì)FIR濾波器就是 根據(jù)要求找到N個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)h n n 0 1 2 N 1 以N項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)近似代替無限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù) 這樣在一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)引起較大誤差 這種誤差就是截?cái)嘈?yīng) 窗函數(shù)法也稱為傅氏級(jí)數(shù)法 根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理 式的傅里葉變換 Hd ej 和WR ej 分別是hd n 和RN n 的傅里葉變換 分析用矩形窗截?cái)嗟挠绊懞透倪M(jìn)的措施 WRg 稱為矩形窗的幅度函數(shù) 如圖7 2 3 b WRg 的主瓣 圖中 2 N 2 N 區(qū)間上的一段波形WRg 的旁瓣 其余較小的波動(dòng) 按照式 Hd ej Hdg e j 理想低通濾波器的幅度特性函數(shù) 圖7 2 3 a 為 圖7 2 3矩形窗加窗效應(yīng) 將Hd ej 和WR ej 代入式 7 2 6 則 得到 加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hdg 與矩形窗幅度特性WRg 的卷積 圖7 2 3矩形窗加窗效應(yīng) 圖7 2 2 f 表示Hdg 與WRg 卷積形成的Hg 波形當(dāng) 0時(shí) Hg 0 等于圖7 2 2 a 與 b 兩波形乘積的積分 相當(dāng)于對(duì)WRg 在 c之間一段波形的積分 當(dāng) c 2 N時(shí) 近似為 之間波形的積分 將H 0 值歸一化到1 當(dāng) c時(shí) 情況如圖7 2 2 c 所示 當(dāng) c 2 N時(shí) 積分近似為WRg 一半波形的積分 對(duì)Hg 0 歸一化后的值近似為1 2 3 當(dāng) c 2 N時(shí) 情況如圖7 2 2 d 所示 WR 主瓣完全在區(qū)間 c c 之內(nèi) 而最大的一個(gè)負(fù)旁瓣移到區(qū)間 c c 之外 因此Hg c 2 N 有一個(gè)最大的正峰 當(dāng) c 2 N時(shí) 情況如圖7 2 2 e 所示 WRg 主瓣完全移到積分區(qū)間外邊 由于最大的一個(gè)負(fù)旁瓣完全在區(qū)間 c c 內(nèi) 因此Hg c 2 N 形成最大的負(fù)峰 圖7 2 2表明 Hg 最大的正峰與最大的負(fù)峰對(duì)應(yīng)的頻率相距4 N 通過以上分析可知 對(duì)hd n 加矩形窗處理后 Hg 與原理想低通Hdg 的差別有以下兩點(diǎn) 對(duì)hd n 加矩形窗處理后 Hg 與Hdg 的差別 1 在理想特性不連續(xù)點(diǎn) c附近形成過渡帶 過渡帶的寬度近似等于WRg 主瓣寬度4 N 2 通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋 最大的峰值在 c 2 N處 阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振 最大的負(fù)峰在 c 2 N處 通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān) WRg 旁瓣幅度的大小直接影響Hg 波紋幅度的大小 以上兩點(diǎn)就是對(duì)hd n 用矩形窗截?cái)嗪蟮募妓剐?yīng) 通帶內(nèi)的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性 阻帶內(nèi)的波紋影響阻帶內(nèi)的衰減 可能使最小衰減不滿足技術(shù)指標(biāo)要求 如何減少吉布斯效應(yīng)的影響 增加矩形窗的長度就可減少吉布斯效應(yīng)的影響 分析一下N加大時(shí)WRg 的變化 在主瓣附近 按照式 7 2 5 WRg 可近似為該函數(shù)的性質(zhì) N加大時(shí) 主瓣幅度加高 同時(shí)旁瓣也加高 保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變 N加大時(shí) WRg 的主瓣和旁瓣寬度變窄 波動(dòng)的頻率加快 三種不同長度的矩形窗函數(shù)的幅度特性WRg 曲線如圖7 2 4 a b c 所示 用這三種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅度特性Hg 曲線如圖7 2 4 d e f 所示 因此 當(dāng)N加大時(shí) Hg 的波動(dòng)幅度沒有多大改善 帶內(nèi)最大肩峰比H 0 高8 95 阻帶最大負(fù)峰值為H 0 的8 95 使阻帶最小衰減只有21dB 加大N只能使Hg 過渡帶變窄 過渡帶近似為主瓣寬度4 N 因此加大N 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法 圖7 2 4矩形窗函數(shù)長度的影響 分析表明 調(diào)整窗口長度N只能有效地控制過渡帶的寬度 而要減少帶內(nèi)波動(dòng)以及增大阻帶衰減 只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問題的方法 構(gòu)造新的窗函數(shù)形狀 使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量 相應(yīng)旁瓣幅度更小 旁瓣的減小可使通帶 阻帶波動(dòng)減小 從而加大阻帶衰減 但這樣總是以加寬過渡帶為代價(jià)的 7 2 2典型窗函數(shù)介紹 介紹幾種常用窗函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式 時(shí)域波形 幅度特性函數(shù) 衰減用dB計(jì)量 曲線 以及用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)曲線 Hd ej 取理想低通 c 2 窗函數(shù)長度N 31 窗函數(shù)的幾個(gè)參數(shù) 旁瓣峰值 n 窗函數(shù)的幅頻函數(shù) Wg 的最大旁瓣的最大值相對(duì)主瓣最大值的衰減值 dB 過渡帶寬度Bg 用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器 FIRDF 的過渡帶寬度 阻帶最小衰減 s 用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIRDF的阻帶最小衰減 圖7 2 4所示的矩形窗的參數(shù)為 n 13dB Bg 4 N s 21dB 1 矩形窗 RectangleWindow wR n RN n 其幅度函數(shù)為 2 三角形窗 BartlettWindow 7 2 8 其頻譜函數(shù)為 其幅度函數(shù)為 三角窗的四種波形如圖7 2 5所示 參數(shù)為 n 25dB Bg 8 N s 25dB 圖7 2 5三角窗的四種波形 3 漢寧 Hanning 窗 升余弦窗 7 2 11 當(dāng)N 1時(shí) N 1 N漢寧窗的幅度函數(shù)WHng 由三部分相加 旁瓣互相對(duì)消 使能量更集中在主瓣中 漢寧窗的四種波形如圖7 2 6所示 參數(shù)為 n 31dB Bg 8 N s 44dB 圖7 2 6漢寧窗的四種波形 4 哈明 Hamming 窗 改進(jìn)的升余弦窗其頻譜函數(shù)WHm ej 為 其幅度函數(shù)WHmg 為當(dāng)N 時(shí) 其可近似表示為 這種改進(jìn)的升余弦窗 能量更加集中在主瓣中 主瓣的能量約占99 963 旁瓣峰值幅度為40dB 但其主瓣寬度和漢寧窗的相同 仍為8 N 哈明窗是一種高效窗函數(shù) 所以MATLAB窗函數(shù)設(shè)計(jì)函數(shù)的默認(rèn)窗函數(shù)就是哈明窗 哈明窗的四種波形如圖7 2 7所示 參數(shù)為 n 41dB Bg 8 N s 53dB 圖7 2 7哈明窗的四種波形 7 2 13 5 布萊克曼 Blackman 窗 其頻譜函數(shù)為 其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)由五部分組成 它們都是移位不同 且幅度也不同的WRg 函數(shù) 使旁瓣再進(jìn)一步抵消 旁瓣峰值幅度進(jìn)一步增加 其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的3倍 布萊克曼窗的四種波形如圖7 2 8所示 參數(shù)為 n 57dB B 12 N s 74dB 圖7 2 8布萊克曼窗的四種波形 6 凱塞 貝塞爾窗 Kaiser BaselWindow 以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù) 每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的 凱塞 貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù) 是一種最優(yōu)窗函數(shù) 7 2 15 式中 I0 是零階第一類修正貝塞爾函數(shù) 可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算 一般I0 取15 25項(xiàng) 便可以滿足精度要求 參數(shù)可以控制窗的形狀 一般 加大 主瓣加寬 旁瓣幅度減小 典型數(shù)據(jù)為4 9 當(dāng) 5 44時(shí) 窗函數(shù)接近哈明窗 7 865時(shí) 窗函數(shù)接近布萊克曼窗 在設(shè)計(jì)指標(biāo)給定時(shí) 可以調(diào)整 值 使濾波器階數(shù)最低 所以其性能最優(yōu) 凱塞 Kaiser 給出的估算 和濾波器階數(shù)N的公式如下 7 2 17 式中 Bt s p 是數(shù)字濾波器過渡帶寬度 應(yīng)當(dāng)注意 因?yàn)槭?7 2 17 為階數(shù)估算 所以必須對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn) 另外 凱塞窗函數(shù)沒有獨(dú)立控制通帶波紋幅度 實(shí)際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度 凱塞窗的幅度函數(shù)為 7 2 16 7 2 18 對(duì) 的8種典型值 將凱塞窗函數(shù)的性能列于表7 2 1中 供設(shè)計(jì)者參考 由表可見 當(dāng) 5 568 時(shí) 各項(xiàng)指標(biāo)都好于哈明窗 6種典型窗函數(shù)基本參數(shù)歸納在表7 2 2中 可供設(shè)計(jì)時(shí)參考 表7 2 1凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影響 表7 2 26種窗函數(shù)的基本參數(shù) 表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對(duì)應(yīng)的窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)指標(biāo) 圖7 2 4常用的窗函數(shù) 隨著數(shù)字信號(hào)處理的不斷發(fā)展 學(xué)者們提出的窗函數(shù)已多達(dá)幾十種 除了上述6種窗函數(shù)外 比較有名的還有Chebyshev窗 Gaussian窗 5 6 MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù) 下面列出上述6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)及其調(diào)用格式 wn boxcar N 列向量wn中返回長度為N的矩形窗函數(shù)w n wn bartlett N 列向量wn中返回長度為N的三角窗函數(shù)w n wn hanning N 列向量wn中返回長度為N的漢寧窗函數(shù)w n wn hamming N 列向量wn中返回長度為N的哈明窗函數(shù)w n wn blackman N 列向量wn中返回長度為N的布萊克曼窗函數(shù)w n wn kaiser N beta 列向量wn中返回長度為N的凱塞 貝塞爾窗函數(shù)w n 7 2 3用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟如下 1 根據(jù)對(duì)過渡帶及阻帶衰減的指標(biāo)要求 選擇窗函數(shù)的類型 并估計(jì)窗口長度N a 窗函數(shù)類型選擇 按照阻帶衰減選擇 原則 在保證阻帶衰減滿足要求的情況下 盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù) b 窗口長度N估計(jì) 根據(jù)過渡帶寬度 2 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd ej 即 對(duì)所謂的 標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法 就是選擇Hd ej 為線性相位理想濾波器 理想低通 理想高通 理想帶通 理想帶阻 理想濾波器的截止頻率 c近似位于最終設(shè)計(jì)的 FIRDF的過渡帶的中心頻率點(diǎn) 幅度函數(shù)衰減一半 約 6dB 所以如果設(shè)計(jì)指標(biāo)給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率 p和 s 一般取 3 計(jì)算hd n 如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd ej 那么單位脈沖響應(yīng)用下式求出 如果Hd ej 較復(fù)雜 或者不能用封閉公式表示 則不能用上式求出hd n 可以采用頻域采樣法求取 4 加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果 h n hd n w n 5 驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求 設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算 例7 2 1 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIRDF 要求通帶截止頻率 p 2rad 阻帶截止頻率 s 4rad 通帶最大衰減 p 1dB 阻帶最小衰減 s 40dB 解 1 選擇窗函數(shù)w n 計(jì)算窗函數(shù)長度N 已知阻帶最小衰減 s 40dB 由表 7 2 2 可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求 選擇漢寧窗 過渡帶寬度Bt p s 4 漢寧窗的精確過渡帶寬度Bt 6 2 N 所以要求Bt 6 2 N 4 解之得N 24 8 對(duì)高通濾波器N必須取奇數(shù) 取N 25 有 2 構(gòu)造Hd ej 式中 3 求出hd n 將 12代入得 n 12 對(duì)應(yīng)全通濾波器 是截止頻率為3 8的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng) 二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng) 4 加窗 7 2 4窗函數(shù)法的MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)簡介實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)可調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)fir1實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟 2 4 的解題過程 1 fir1用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù) 以實(shí)現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì) 標(biāo)準(zhǔn) 是指在設(shè)計(jì)低通 高通 帶通和帶阻FIR濾波器時(shí) Hd ej 分別表示相應(yīng)的線性相位理想低通 高通 帶通和帶阻濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù) 因而將所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)稱為標(biāo)準(zhǔn)頻率響應(yīng) fir1的調(diào)用格式及功能 hn fir1 M wc 返回6dB截止頻率為wc的M階FIR低通濾波器系數(shù)向量hn 默認(rèn)選用哈明窗 濾波器單位脈沖響應(yīng)h n 與向量hn的關(guān)系為 h n hn n 1 n 0 1 2 M而且滿足線性相位條件 h n h N 1 n 其中wc為對(duì) 歸一化的數(shù)字頻率 0 wc 1 當(dāng)wc wcl wcu 時(shí) 得到的是帶通濾波器 其 6dB通帶為wcl wcu hn fir1 M wc ftype 可設(shè)計(jì)高通和帶阻FIR濾波器 當(dāng)ftype high時(shí) 設(shè)計(jì)高通FIR濾波器 當(dāng)ftype stop時(shí) 且wc wcl wcu 時(shí) 設(shè)計(jì)帶阻FIR濾波器 應(yīng)當(dāng)注意 在設(shè)計(jì)高通和帶阻FIR濾波器時(shí) 階數(shù)M只能取偶數(shù) h n 長度N M 1為奇數(shù) 不過 當(dāng)用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時(shí) fir1會(huì)自動(dòng)對(duì)M加1 hn fir1 M wc window 可以指定窗函數(shù)向量window 如果缺省window參數(shù) 則fir1默認(rèn)為哈明窗 例如 hn fir1 M wc bartlett M 1 使用Bartlett窗設(shè)計(jì) hn fir1 M wc blackman M 1 使用blackman窗設(shè)計(jì) hn fir1 M wc ftype window 通過選擇wc ftype和window參數(shù) 含義同上 可以設(shè)計(jì)各種加窗濾波器 2 fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計(jì)函數(shù) 用fir2設(shè)計(jì)時(shí) 可以指定任意形狀的Hd ej 它實(shí)質(zhì)是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設(shè)計(jì)函數(shù) 主要用于設(shè)計(jì)幅度特性形狀特殊的濾波器 如數(shù)字微分器和多帶濾波器等 例7 2 1的設(shè)計(jì)程序如下 例7 2 1用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIR數(shù)字濾波器wp pi 2 ws pi 4 Bt wp ws 計(jì)算過渡帶寬度N0 ceil 6 2 pi Bt 根據(jù)表7 2 2漢寧窗計(jì)算所需 h n 長度N0 ceil x 取大于等 于x的最小整數(shù)N N0 mod N0 1 2 確保h n 長度N是奇數(shù)wc wp ws 2 pi 計(jì)算理想高通濾波器通帶截止 頻率 關(guān)于 歸一化 hn fir1 N 1 wc high hanning N 調(diào)用fir1計(jì)算高通FIR數(shù)字濾波 器的h n M 1024 hk fft hn M n 0 N 1 subplot 2 2 1 stem n hn line 0 30 0 0 xlabel n ylabel h n k 1 M 2 w 2 0 M 2 1 M subplot 2 2 2 plot w 20 log10 abs hk k axis 0 1 80 5 xlabel ylabel 20lg Hg gridon 運(yùn)行程序得到h n 的25個(gè)值 h n 0 0004 0 00060 00280 0071 0 0000 0 0185 0 02100 01650 06240 03550 1061 0 28980 6249 0 2898 0 10610 03550 06240 0165 0 02100 0185 0 00000 00710 0028 0 0006 0 0004 高通FIR數(shù)字濾波器的h n 及損耗函數(shù)如圖7 2 9所示 圖7 2 9高通FIR數(shù)字濾波器的h n 波形及損耗函數(shù)曲線 例7 2 2 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行低通濾波處理 要求通帶0 f 1 5kHz內(nèi)衰減小于1dB 阻帶2 5kHz f 上衰減大于40dB 希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)上述濾波 采樣頻率Fs 10kHz 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)滿足要求的FIR數(shù)字低通濾波器 求出h n 并畫出損耗函數(shù)曲線 為了降低運(yùn)算量 希望濾波器階數(shù)盡量低 解 1 確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo) 通帶截止頻率為 阻帶截止頻率為阻帶最小衰減為 s 40dB 2 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器 為了降低階數(shù)選擇凱塞窗 根據(jù)式 7 2 16 計(jì)算凱塞窗的控制參數(shù)為 指標(biāo)要求過渡帶寬度Bt s p 0 2 根據(jù)式 7 2 17 計(jì)算濾波器階數(shù)為 取滿足要求的最小整數(shù)M 23 所以h n 長度為N M 1 24 理想低通濾波器的通帶截止頻率 c s p 2 0 4 所以由式 7 2 2 和式 7 2 3 得到 式中 w n 是長度為24 3 395 的凱塞窗函數(shù) 實(shí)現(xiàn)本例設(shè)計(jì)的MATLAB程序 用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位低通FIR數(shù)字濾波器fp 1500 fs 2500 rs 40 wp 2 pi fp Fs ws 2 pi fs Fs Bt ws wp 計(jì)算過渡帶寬度 alph 0 5842 rs 21 0 4 0 07886 rs 21 根據(jù) 7 2 16 式計(jì)算kaiser窗的控制參數(shù) N ceil rs 8 2 285 Bt 計(jì)算kaiser窗所需階數(shù)Nwc wp ws 2 pi 計(jì)算理想高通濾波器通帶截止頻率 關(guān)于 歸一化 hn fir1 N wc kaiser N 1 alph 調(diào)用kaiser計(jì)算低通FIRDF的h n M 1024 hk fft hn M n 0 N subplot 2 2 1 stem n hn line 0 30 0 0 xlabel n ylabel h n k 1 M 2 w 2 0 M 2 1 M subplot 2 2 2 plot w 20 log10 abs hk k axis 0 1 80 5 xlabel ylabel 20lg Hg gridon 運(yùn)行程序得到h n 的24個(gè)值 h n 0 00390 0041 0 0062 0 01470 00000 02860 0242 0 0332 0 07550 00000 19660 37240 37240 1966 0 0000 0 0755 0 03320 02420 02860 0000 0 0147 0 00620 00410 0039 低通FIR數(shù)字濾波器的h n 波形和損耗函數(shù)曲線如圖7 2 10所示 圖7 2 10低通FIR數(shù)字濾波器的h n 波形及損耗函數(shù)曲線 例7 2 3 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR帶阻濾波器 要求通帶下截止頻率 lp 0 2 阻帶下截止頻率 ls 0 35 阻通帶上截止頻率 us 0 65 通帶上截止頻率 up 0 8 通帶最大衰減 p 1dB 阻帶最小衰減 s 60dB 解本例直接調(diào)用fir1函數(shù)設(shè)計(jì) 因?yàn)樽鑾ё钚∷p s 60dB 所以選擇布萊克曼窗 再根據(jù)過渡帶寬度選擇濾波器長度N 布萊克曼窗的過渡帶寬度Bt 12 N 所以 解之得N 80 調(diào)用參數(shù) 設(shè)計(jì)程序?yàn)閑p723 m 參數(shù)計(jì)算也由程序完成 ep723 m 例7 2 3用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位帶阻FIR數(shù)字濾波器 wlp 0 2 pi wls 0 35 pi wus 0 65 pi wup 0 8 pi 設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)賦值 B wls wlp 過渡帶寬度 N ceil 12 pi B 計(jì)算階數(shù)N ceil x 為大于等于x的最小整數(shù) wp wls wlp 2 pi wus wup 2 pi 設(shè)置理想帶通截止頻率 hn fir1 N wp stop blackman N 1 帶阻濾波器要求h n 長度為奇數(shù) 所以取N 1 省略繪圖部分程序運(yùn)行結(jié)果 N 81 由于h n 數(shù)據(jù)量太大 因而僅給出h n 的波形及損耗函數(shù)曲線 如圖7 2 11所示 圖7 2 11帶阻FIR數(shù)字濾波器的h n 波形及損耗函數(shù)曲線 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法簡單方便 易于實(shí)現(xiàn) 但存在以下缺點(diǎn) 濾波器邊界頻率不易精確控制 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法總使通帶和阻帶波紋幅度相等 不能分別控制通帶和阻帶波紋幅度 但是工程上對(duì)二者的要求是不同的 希望能分別控制 所設(shè)計(jì)的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小 距阻帶邊界頻率越遠(yuǎn) 衰減越大 所以 如果在阻帶邊界頻率附近的衰減剛好達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求 則阻帶中其他頻段的衰減就有很大富余量 說明這種設(shè)計(jì)法存在較大的資源浪費(fèi) 或者說所設(shè)計(jì)濾波器的性能價(jià)格比低 7 4等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器等波紋最佳逼近法是一種優(yōu)化設(shè)計(jì)法 它克服了窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法的缺點(diǎn) 使最大誤差 波紋的峰值 最小化 并在整個(gè)頻段上均勻分布 等波紋 用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶和阻帶都是等波紋的 而且可以分別控制通帶和阻帶波紋幅度 最佳逼近 在濾波器長度給定條件下 使加權(quán)誤差波紋幅度最小化 本方法設(shè)計(jì)的濾波器性價(jià)比最高 階數(shù)相同時(shí) 最大逼近誤差最小 即通帶最大衰減最小 阻帶最小衰減最大指標(biāo)相同時(shí) 階數(shù)最低 7 4等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器7 4 1等波紋最佳逼近法的基本思想用Hd 表示希望逼近的幅度特性函數(shù) 要求設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器時(shí) Hd 必須滿足線性相位約束條件 用Hg 表示實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性函數(shù) 定義加權(quán)誤差函數(shù)E 為 7 4 1 W 誤差加權(quán)函數(shù) 用來控制不同頻段 一般指通帶和阻帶 的逼近精度 等波紋最佳逼近基于切比雪夫逼近 在通帶和阻帶以 E 的最大值最小化為準(zhǔn)則 采用Remez多重交換迭代算法求解濾波器系數(shù)h n 所以W 取值越大的頻段 逼近精度越高 開始設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)根據(jù)逼近精度要求確定W 在Remez多重交換迭代過程中W 是確知函數(shù) 等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)中 把數(shù)字頻段分為 逼近 或研究 區(qū)域 和 無關(guān)區(qū)域 逼近區(qū)域一般指通帶和阻帶 而無關(guān)區(qū)域一般指過渡帶 設(shè)計(jì)過程中只考慮對(duì)逼近區(qū)域的最佳逼近 應(yīng)當(dāng)注意 無關(guān)區(qū)寬度不能為零 即Hd 不能是理想濾波特性 利用等波紋最佳逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器數(shù)學(xué)模型的建立及其求解算法的推導(dǎo)復(fù)雜 求解計(jì)算必須借助計(jì)算機(jī) 幸好濾波器設(shè)計(jì)專家已經(jīng)開發(fā)出MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)remezord和remez 只要簡單地調(diào)用這兩個(gè)函數(shù)就可以完成線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計(jì) 在介紹MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez之前 先介紹等波紋濾波器的技術(shù)指標(biāo)及其描述參數(shù) 圖7 4 1給出了等波紋濾波器技術(shù)指標(biāo)的兩種描述參數(shù) 圖7 4 1 a 用損耗函數(shù)描述 即 p 2 p 2dB s 11 20 s 20dB 這是工程實(shí)際中常用的指標(biāo)描述方法 但是 用等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法求濾波器階數(shù)N和誤差加權(quán)函數(shù)W 時(shí) 要求給出濾波器通帶和阻帶的振蕩波紋幅度 1和 2 圖7 4 1 b 給出了用通帶和阻帶的振蕩波紋幅度 1和 2描述的技術(shù)指標(biāo) 顯然 兩種描述參數(shù)之間可以換算 如果設(shè)計(jì)指標(biāo)以 p和 s給出 為了調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez進(jìn)行設(shè)計(jì) 就必須由 p和 s換算出通帶和阻帶的振蕩波紋幅度 1和 2 對(duì)比圖7 4 2 a 和 b 得出關(guān)系式 7 4 2 7 4 3 由式 7 4 2 和 7 4 3 得到 7 4 4 7 4 5 圖7 4 1等波紋濾波器的幅頻特性函數(shù)曲線及指標(biāo)參數(shù) 誤差加權(quán)函數(shù)W 的作用 以及濾波器階數(shù)N和波紋幅度 1和 2的制約關(guān)系 設(shè)期望逼近的通帶和阻帶分別為 0 4 和 5 16 對(duì)下面四種不同的控制參數(shù) 等波紋最佳逼近的損耗函數(shù)曲線分別如圖7 4 2 a b c 和 d 所示 圖中 W w1 w2 表示第一個(gè)逼近區(qū) 0 4 上的誤差加權(quán)函數(shù)W w1 第二個(gè)逼近區(qū) 5 16 上的誤差加權(quán)函數(shù)W w2 圖7 4 2 a 中 通帶頻段 上的W 1 阻帶頻段 5 16 上的W 10 圖7 4 2誤差加權(quán)函數(shù)W 和濾波器階數(shù)N對(duì)逼近精度的影響 比較圖7 4 2 a b c 和 d 可以得出結(jié)論 1 當(dāng)N一定時(shí) 誤差加權(quán)函數(shù)W 較大的頻帶逼近精度較高 W 較小的頻帶逼近精度較低 2 如果改變W 使通 阻 帶逼近精度提高 則必然使阻 通 帶逼近精度降低 3 濾波器階數(shù)N增大才能使通帶和阻帶逼近精度同時(shí)提高 所以 W 和N由濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 即 p和 s以及過渡帶寬度 確定 1 根據(jù)給定的逼近指標(biāo)估算濾波器階數(shù)N和誤差加權(quán)函數(shù)W 2 采用remez算法得到濾波器單位脈沖響應(yīng)h n MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez就是完成以上2個(gè)設(shè)計(jì)步驟的有效函數(shù) 用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的過程是 7 4 2remez和remezord函數(shù)及濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)1 remez和remezord函數(shù) 1 remez 采用remez算法可實(shí)現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計(jì) 其調(diào)用格式為 hn remez M f m w 調(diào)用結(jié)果返回單位脈沖響應(yīng)向量hn remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù) M f m w 一般通過調(diào)用remezord函數(shù)來計(jì)算 調(diào)用參數(shù)含義如下 M為FIR數(shù)字濾波器階數(shù) hn長度N M 1 f和m給出希望逼近的幅度特性 f為邊界頻率向量 0 f 1 要求f為單調(diào)增向量 即f k f k 1 k 1 2 而且從0開始 以1結(jié)束 1對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率 模擬頻率Fs 2 Fs表示時(shí)域采樣頻率 m是與f對(duì)應(yīng)的幅度向量 m與f長度相等 m k 表示頻點(diǎn)f k 的幅度響應(yīng)值 如果用命令Plot f m 畫出幅頻響應(yīng)曲線 則k為奇數(shù)時(shí) 頻段 f k f k 1 上的幅頻響應(yīng)就是期望逼近的幅頻響應(yīng)值 頻段 f k 1 f k 2 為無關(guān)區(qū) 簡言之 Plot f m 命令畫出的幅頻響應(yīng)曲線中 起始頻段為第一段 奇數(shù)頻段為逼近區(qū) 偶數(shù)頻段為無關(guān)區(qū) 例如 對(duì)圖7 4 2 f 0 1 4 5 16 1 m 1 1 0 0 plot f m 畫出的幅度特性曲線如圖7 4 3所示 圖中奇數(shù)段 第一 三段 的水平幅度為希望逼近的幅度特性 偶數(shù)段 第二段 的下降斜線為無關(guān)部分 逼近時(shí)形成過渡帶 并不考慮該頻段的幅頻響應(yīng)形狀 w為誤差加權(quán)向量 其長度為f的一半 w i 表示對(duì)m中第i個(gè)逼近頻段的誤差加權(quán)值 圖7 4 2 a 中 w 1 10 缺省w時(shí) 默認(rèn)w為全1 即每個(gè)逼近頻段的誤差加權(quán)值相同 除了設(shè)計(jì)選頻FIR數(shù)字濾波器 remez函數(shù)還可以設(shè)計(jì)兩種特殊濾波器 希爾伯特變換器和數(shù)字微分器 調(diào)用格式分別為 hn remez M f m w hilbert hn remez M f m w defferentiator 希爾伯特變換器和數(shù)字微分器設(shè)計(jì)和應(yīng)用的詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參考文獻(xiàn) 10 19 2 remezord 采用remezord函數(shù) 可根據(jù)逼近指標(biāo)估算等波紋最佳逼近FIR數(shù)字濾波器的最低階數(shù)M 誤差加權(quán)向量w和歸一化邊界頻率向量f 使濾波器在滿足指標(biāo)的前提下造價(jià)最低 其返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù) 其調(diào)用格式為 M fo mo w remezord f m rip Fs 參數(shù)說明 f與remez中的類似 這里f可以是模擬頻率 單位為Hz 或歸一化數(shù)字頻率 但必須從0開始 到Fs 2 用歸一化頻率時(shí)對(duì)應(yīng)1 結(jié)束 而且其中省略了0和Fs 2兩個(gè)頻點(diǎn) Fs為采樣頻率 缺省時(shí)默認(rèn)Fs 2Hz 但是這里f的長度 包括省略的0和Fs 2兩個(gè)頻點(diǎn) 是m的兩倍 即m中的每個(gè)元素表示f給定的一個(gè)逼近頻段上希望逼近的幅度值 例如 對(duì)圖7 4 3 f 1 4 5 16 m 1 0 圖7 4 3希望逼近的幅度特性曲線 注意 省略Fs時(shí) f中必須為歸一化頻率 有時(shí)估算的階數(shù)M略小 使設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)不到指標(biāo)要求 這時(shí)要取M 1或M 2 必須注意對(duì)濾波器長度N M 1的奇偶性要求 所以必須檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果 如果無關(guān)區(qū) 過渡帶 太窄 或截止頻率太接近零頻率和Fs 2時(shí) 設(shè)計(jì)結(jié)果可能不正確 rip表示f和m描述的各逼近頻段允許的波紋幅度 幅頻響應(yīng)最大偏差 f的長度是rip的兩倍 一般以 N fo mo w remezord f m rip Fs 返回的參數(shù)作為remez的調(diào)用參數(shù) 計(jì)算單位脈沖響應(yīng) hn remez N fo mo w 對(duì)比前面介紹的remez調(diào)用參數(shù) 可清楚地看出remezord返回參數(shù)N fo mo和w的含義 綜上所述 調(diào)用remez和remezord函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器 關(guān)鍵是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求出remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)f m rip和Fs 其中Fs一般是題目給定的 或根據(jù)實(shí)際信號(hào)處理要求 按照采樣定理 確定 下面給出由給定的各種濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)確定remezord調(diào)用參數(shù)f m和rip的公式 編程時(shí)直接套用即可 2 濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)1 低通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 逼近通帶 0 p 通帶最大衰減 p dB 逼近阻帶 s 阻帶最小衰減 s dB remezord調(diào)用參數(shù) 7 4 6 其中 f向量省去了起點(diǎn)頻率0和終點(diǎn)頻率1 1和 2分別為通帶和阻帶波紋幅度 由式 7 4 4 和 7 4 5 計(jì)算得到 下面相同 2 高通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 逼近通帶 p 通帶最大衰減 pdB 逼近阻帶 0 s 阻帶最小衰減 s dB remezord調(diào)用參數(shù) 7 4 7 3 帶通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 逼近通帶 pl pu 通帶最大衰減 pdB 逼近阻帶 0 sl su 阻帶最小衰減 sdB remezord調(diào)用參數(shù) 7 4 8 4 帶阻濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 逼近阻帶 sl su 阻帶最大衰減 sdB 逼近通帶 0 pl pu 通帶最小衰減 p dB remezord調(diào)用參數(shù) 7 4 9 工程實(shí)際中常常給出對(duì)模擬信號(hào)的濾波指標(biāo)要求 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 對(duì)輸入模擬信號(hào)采樣后進(jìn)行數(shù)字濾波 這時(shí) 調(diào)用參數(shù)f可以用模擬頻率表示 但是 調(diào)用remezord時(shí)一定要加入采樣頻率參數(shù)Fs 這種情況的調(diào)用參數(shù)及調(diào)用格式見例7 4 3 例7 4 1 利用等波紋最佳逼近法重新設(shè)計(jì)FIR帶阻通濾波器 指標(biāo)與例7 2 3相同 即 逼近通帶 0 0 2 0 8 通帶最大衰減 p 1dB 逼近阻帶 0 35 0 65 阻帶最小衰減 s 60dB 解調(diào)用remezord和remez函數(shù)求解 由調(diào)用格式知道 首先要根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)確定remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù) 再直接編寫程序調(diào)用remezord和remez函數(shù)設(shè)計(jì)得到h n 將設(shè)計(jì)指標(biāo)帶入式 7 4 9 即可得到remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)f m和rip 本例設(shè)計(jì)程序?yàn)閑p741 m 即 ep741 m 例7 4 1用remez函數(shù)設(shè)計(jì)帶阻濾波器 f 0 2 0 35 0 65 0 8 省略了0和1 m 1 0 1 rp 1 rs 60 由式 7 4 4 和式 7 4 5 求通帶和阻帶波紋幅度dat1 dat2和rip dat1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat1 dat2 dat1 M fo mo w remezord f m rip hn remez M fo mo w 以下繪圖檢驗(yàn)部分略去程序運(yùn)行結(jié)果 M 28 即h n 的長度N 29 h n 及其損耗函數(shù)曲線如圖7 4 4所示 例7 2 3中N 80 由此例可見 等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)方法可以使濾波器階數(shù)大大降低 圖7 4 4調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)的帶阻FIR數(shù)字濾波器的h n 及損耗函數(shù)曲線 注意 設(shè)計(jì)結(jié)果應(yīng)當(dāng)是單位脈沖響應(yīng)h n 的數(shù)據(jù)序列 但是一般N較大 列出h n 的全部數(shù)據(jù)序列所占篇幅太大 而且從一大堆數(shù)據(jù)中看不出h n 的變化規(guī)律 所以每道例題只給出其波形 讀者運(yùn)行程序就可以得到h n 的數(shù)據(jù) 例7 4 2 利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器 實(shí)現(xiàn)對(duì)模擬信號(hào)的數(shù)字濾波處理 要求與例7 2 2相同 求出h n 并畫出損耗函數(shù)曲線 解將例7 2 2中所給指標(biāo)重和相頻特性曲線寫如下 通帶截止頻率 fp 1500Hz 通帶最大衰減 p 1dB 阻帶截止頻率 fs 2500Hz 阻帶最小衰減 s 40dB 對(duì)模擬信號(hào)的采樣頻率 Fs 10kHz 調(diào)用remezord和remez函數(shù)設(shè)計(jì)的程序?yàn)閑p742 m 即 ep742 m 例7 4 2用remez函數(shù)設(shè)計(jì)低通濾波器 Fs 10000 對(duì)模擬信號(hào)采樣的頻率為1kHz f 1500 2500 邊界頻率為模擬頻率 Hz m 1 0 rp 1 rs 40 dat1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat1 dat2 M fo mo w remezord f m rip Fs 邊界頻率為模擬頻率 Hz 時(shí)必須加入采樣頻率Fs M M 1 估算的M值達(dá)不到要求 加1后滿足要求 hn remez M fo mo w 以下繪圖檢驗(yàn)部分省略運(yùn)行結(jié)果 濾波器階數(shù)M 15 h n 及損耗函數(shù)曲線如圖7 4 5所示 請(qǐng)讀者注意 例7 2 2中用窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器階數(shù)為23 圖7 4 5調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)的低通FIR數(shù)字濾波器的h n 及損耗函數(shù)曲線 7 5IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較 IIR與FIR濾波器各有所長 在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該考慮多方面因素加以選擇 同時(shí)也要兼顧經(jīng)濟(jì)方面的要求以及計(jì)算工具的實(shí)際條件