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第12講　直線與圓 1.已知圓(x-2)2+(y+1)2=16的一條直徑經(jīng)過(guò)直線x-2y+3=0被圓所截弦的中點(diǎn),則該直徑所在的直線方程為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.3x+y-5=0 B.x-2y=0 C.x-2y+4=0 D.2x+y-3=0 2.(2018福州質(zhì)量檢測(cè))“b∈(-1,3)”是“對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,直線l:y=kx+b與圓C:x2+(y-1)2=4恒有公共點(diǎn)”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 3.已知直線l1過(guò)點(diǎn)(-2,0)且傾斜角為30,直線l2過(guò)點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A.(3,3) B.(2,3) C.(1,3) D.1,32 4.(2018湘東五校聯(lián)考)圓(x-3)2+(y-3)2=9上到直線3x+4y-11=0的距離等于2的點(diǎn)有(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 5.(2018北京,7,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cos θ,sin θ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x-ky+1=0與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),OM=OA+OB,若點(diǎn)M在圓O上,則實(shí)數(shù)k的值為(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 7.已知直線l:x+my-3=0與圓C:x2+y2=4相切,則m=　　　　. 8.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,15,5分)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=　　　　. 9.過(guò)點(diǎn)M12,1的直線l與圓C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),C為圓心,當(dāng)∠ACB最小時(shí),直線l的方程為　　　　　　. 10.已知圓C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:x+my+1=0對(duì)稱,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(m,m)作圓C的切線,切點(diǎn)為P,則|MP|=　　　　. 11.已知直線ax-y+5=0與圓(x-1)2+y2=25相交于不同的兩點(diǎn)A,B. (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)若弦AB的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)P(-2,4),求實(shí)數(shù)a的值. 12.已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1,1),且圓C與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱. (1)求圓C的方程; (2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PQMQ的最小值. 13.平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為6. (1)求圓O的方程; (2)若直線l與圓O相切于第一象限,且直線l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D,E,當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最小時(shí),求直線l的方程. 14.(2018廣州高中綜合測(cè)試(一))已知定點(diǎn)M(1,0)和N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PN|=2|PM|. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程; (2)若A,B為(1)中軌跡C上兩個(gè)不同的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)直線OA,OB,AB的斜率分別為k1,k2,k.當(dāng)k1k2=3時(shí),求k的取值范圍. 答案全解全析 1.D　直線x-2y+3=0的斜率為12,由題意可知該直徑所在直線與直線x-2y+3=0垂直,故該直徑所在直線的斜率為-2,所以該直徑所在的直線方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故選D. 2.A　圓C:x2+(y-1)2=4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1)和(0,3),對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,直線l與圓C恒有公共點(diǎn)?b∈[-1,3],因?yàn)?-1,3)?[-1,3],所以“b∈(-1,3)”是“對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,直線l:y=kx+b與圓C:x2+(y-1)2=4恒有公共點(diǎn)”的充分不必要條件,故選A. 3.C　直線l1的斜率k1=tan 30=33,因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直,所以直線l2的斜率k2=-1k1=-3,所以直線l1的方程為y=33(x+2),直線l2的方程為y=-3(x-2),聯(lián)立直線l1與l2的方程,得y=33(x+2),y=-3(x-2),解得x=1,y=3,即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3).故選C. 4.B　圓(x-3)2+(y-3)2=9的圓心為(3,3),半徑為3,圓心到直線3x+4y-11=0的距離d=|33+43-11|32+42=2<3,∴圓上到直線3x+4y-11=0的距離為2的點(diǎn)有2個(gè).故選B. 5.C　∵cos2θ+sin2θ=1,∴P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓, 又x-my-2=0表示過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率不為0的直線, 如圖,可得點(diǎn)(-1,0)到直線x=2的距離即為d的最大值. 故選C. 6.C　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x-ky+1=0,x2+y2=4得(k2+1)y2-2ky-3=0,則Δ=4k2+12(k2+1)>0,y1+y2=2kk2+1,則x1+x2=k(y1+y2)-2=-2k2+1,因?yàn)镺M=OA+OB,故M-2k2+1,2kk2+1,又點(diǎn)M在圓O上,故4(k2+1)2+4k2(k2+1)2=4,得k=0.故選C. 7.答案　52 解析　因?yàn)閳AC:x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑為2, 直線l:x+my-3=0與圓C:x2+y2=4相切, 所以2=31+m2, 解得m=52. 8.答案　22 解析　由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4. ∴圓心為(0,-1),半徑r=2. 圓心(0,-1)到直線x-y+1=0的距離d=|1+1|2=2, ∴|AB|=2r2-d2=24-2=22. 9.答案　2x-4y+3=0 解析　易知當(dāng)CM⊥AB時(shí),∠ACB最小,直線CM的斜率為kCM=1-012-1=-2,從而直線l的斜率為kl=-1kCM=12,其方程為y-1=12x-12,即2x-4y+3=0. 10.答案　3 解析　圓C:x2+y2-2x-4y+1=0的圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑r=2,因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱,所以直線l:x+my+1=0過(guò)點(diǎn)(1,2),所以1+2m+1=0,得m=-1,則M(-1,-1),所以|MC|2=(1+1)2+(2+1)2=13,又r2=4,所以|MP|=13-4=3. 11.解析　(1)把a(bǔ)x-y+5=0代入圓的方程, 消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0, 由于直線ax-y+5=0與圓交于A,B兩點(diǎn), 故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0, 即12a2-5a>0,解得a>512或a<0, 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪512,+∞. (2)由于直線l為弦AB的垂直平分線,且直線AB的斜率為a,則直線l的斜率為-1a, 則直線l的方程為y=-1a(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0, 由于l垂直平分弦AB,故圓心(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=34, 由于34∈512,+∞,所以a=34符合題意. 12.解析　(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,b),則a-22+b-22+2=0,b+2a+2=1, 解得a=0,b=0, 則圓C的方程為x2+y2=r2,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2=2, 故圓C的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2, PQMQ=(x-1,y-1)(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2, 令x=2cos θ,y=2sin θ, 則PQMQ=x+y-2=2(sin θ+cos θ)-2=2sinθ+π4-2, 所以PQMQ的最小值為-4. 13.解析　(1)因?yàn)辄c(diǎn)O到直線x-y+1=0的距離為12=22,所以圓O的半徑為222+622=2,故圓O的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,由直線l與圓O相切,得|-ab|b2+a2=2,即1a2+1b2=12,則|DE|2=a2+b2=2(a2+b2)1a2+1b2=4+2b2a2+2a2b2≥8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0. 14.解析　(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 因?yàn)镸(1,0),N(2,0),|PN|=2|PM|, 所以(x-2)2+y2=2(x-1)2+y2. 整理得,x2+y2=2. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+b. 由x2+y2=2,y=kx+b消去y,整理得(1+k2)x2+2kbx+b2-2=0.(*) 由Δ=(2kb)2-4(1+k2)(b2-2)>0,得b2<2+2k2.① 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-2kb1+k2,x1x2=b2-21+k2.② 由k1k2=y1x1y2x2=kx1+bx1kx2+bx2=3,得(kx1+b)(kx2+b)=3x1x2, 即(k2-3)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0.③ 將②代入③,整理得b2=3-k2.④ 由④得b2=3-k2≥0,解得-3≤k≤3.⑤ 由①和④,解得k<-33或k>33.⑥ 要使k1,k2,k有意義,則x1≠0,x2≠0, 所以0不是方程(*)的根,所以b2-2≠0,即k≠1且k≠-1.⑦ 結(jié)合⑤⑥⑦,得k的取值范圍為[-3,-1)∪-1,-33∪33,1∪(1,3].