2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項和 第2課時 等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修5.doc
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第2課時 等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握an與Sn的關(guān)系并會應(yīng)用(難點).2.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用(重點).3.會求等差數(shù)列前n項和的最值(重點).4.會用裂項相消法求和(易錯點). [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.Sn與an的關(guān)系 an= 2.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì) (1)等差數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,則{an}中連續(xù)的n項和構(gòu)成的數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…構(gòu)成等差數(shù)列. (2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=an2+bn(a,b為常數(shù)). 思考:如果{an}是等差數(shù)列,那么a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30是等差數(shù)列嗎? [提示] (a11+a12+…+a20)-(a1+a2+…+a10)=(a11-a1)+(a12-a2)+…+(a20-a10) ==100d,類似可得(a21+a22+…+a30)-(a11+a12 +…+a20)=100d. ∴a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30是等差數(shù)列. 3.等差數(shù)列前n項和Sn的最值 (1)若a1<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項為負(fù)數(shù)項(或0),所以將這些項相加即得{Sn}的最小值. (2)若a1>0,d<0,則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0),所以將這些項相加即得{Sn}的最大值. 特別地,若a1>0,d>0,則S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,則S1是{Sn}的最大值. 思考:我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d≠0時,等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn=n2+n,類比二次函數(shù)的最值情況,等差數(shù)列的Sn何時有最大值?何時有最小值? [提示] 由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出:當(dāng)a1<0,d>0時,Sn先減后增,有最小值;當(dāng)a1>0,d<0時,Sn先增后減,有最大值;且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時,Sn取到最值. [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,則數(shù)列也是等差數(shù)列.( ) (2)若a1>0,d<0,則等差數(shù)列中所有正項之和最大.( ) (3)在等差數(shù)列中,Sn是其前n項和,則有S2n-1=(2n-1)an.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ 2.在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中,所有奇數(shù)項的和為165,所有偶數(shù)項的和為150,則n等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 B [∵=,∴=.∴n=10.故選B項.] 3.等差數(shù)列{an}中,S2=4,S4=9,則S6=________. 15 [由S2,S4-S2, S6-S4成等差數(shù)列得2(S4-S2)=S2+(S6-S4) 解得S6=15.] 4.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n-48,則Sn取得最小值時,n為________. 【導(dǎo)學(xué)號:91432176】 23或24 [由an≤0即2n-48≤0得n≤24. ∴所有負(fù)項的和最小,即n=23或24.] [合 作 探 究攻 重 難] 等差數(shù)列前n項和的性質(zhì) (1)等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m; (2)兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,已知=,求的值. [解] (1)在等差數(shù)列中, ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列. ∴30,70,S3m-100成等差數(shù)列. ∴270=30+(S3m-100),∴S3m=210. (2)=====. [規(guī)律方法] 等差數(shù)列前n項和計算的幾種思維方法 (1))整體思路:利用公式Sn=,設(shè)法求出整體a1+an,再代入求解. ( (2))待定系數(shù)法:利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),設(shè)Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程組求出A,B即可,或利用是關(guān)于n的一次函數(shù),設(shè)=an+b(a≠0)進(jìn)行計算. [跟蹤訓(xùn)練] 1.(1)等差數(shù)列{an}中,a2+a7+a12=24,則S13=________. 【導(dǎo)學(xué)號:91432177】 (2)等差數(shù)列{an}的通項公式是an=2n+1,其前n項和為Sn,則數(shù)列的前10項和為________. (1)104 (2)75 [(1)由a2+a7+a12=24,得a7=8, 所以S13=13=a713=104. (2)因為an=2n+1,所以a1=3. 所以Sn==n2+2n,所以=n+2, 所以是公差為1,首項為3的等差數(shù)列, 所以前10項和為310+1=75.] 等差數(shù)列前n項和Sn的函數(shù)特征 [探究問題] 1.將首項為a1=2,公差d=3的等差數(shù)列的前n項和看作關(guān)于n的函數(shù),那么這個函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征?如果一個數(shù)列的前n項和為Sn=3n2+n,那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎? 提示:首項為2,公差為3的等差數(shù)列的前n項和為Sn=2n+=n2+n, 顯然Sn是關(guān)于n的二次型函數(shù). 且常數(shù)項為0,二次項系數(shù)為,一次項系數(shù)為a1-;如果一個數(shù)列的前n項和為Sn=3n2+n,那么當(dāng)n=1時,S1=a1=4. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=6n-2,則該數(shù)列的通項公式為an=6n-2,所以該數(shù)列為等差數(shù)列,事實上對于任何一個等差數(shù)列的前n項和都是關(guān)于n的二次型函數(shù),且常數(shù)項為0,反之,一個數(shù)列的前n項和具備上述特征,該數(shù)列一定是等差數(shù)列. 2.已知一個數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2-5n,試畫出Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象.你能說明數(shù)列{an}的單調(diào)性嗎?該數(shù)列前n項和有最值嗎? 提示: Sn=n2-5n=2-,它的圖象是分布在函數(shù)y=x2-5x的圖象上的離散的點,由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列,圖象開始下降說明了{(lán)an}前n項為負(fù)數(shù).由Sn的圖象可知,Sn有最小值且當(dāng)n=2或3時,Sn最小,最小值為-6,即數(shù)列{an}前2項或前3項和最?。? 數(shù)列{an}的前n項和Sn=33n-n2, (1)求{an}的通項公式; (2)問{an}的前多少項和最大; (3)設(shè)bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn′. 【導(dǎo)學(xué)號:91432178】 思路探究:(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項,也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1,d,從而求出通項. (2)利用Sn的函數(shù)特征求最值,也可以用通項公式找到通項的變號點求解. (3)利用an判斷哪些項是正數(shù),哪些項是負(fù)數(shù),再求解,也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項的正負(fù)求解. [解] (1)法一:(公式法)當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=34-2n, 又當(dāng)n=1時,a1=S1=32=34-21滿足an=34-2n. 故{an}的通項公式為an=34-2n. 法二:(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項的二次型 函數(shù),所以{an}是等差數(shù)列,由Sn的結(jié)構(gòu)特征知 解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n. (2)法一:(公式法)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17, 故數(shù)列{an}的前17項大于或等于零. 又a17=0,故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大. 法二:(函數(shù)性質(zhì)法)由y=-x2+33x的對稱軸為x=. 距離最近的整數(shù)為16,17.由Sn=-n2+33n的 圖象可知:當(dāng)n≤17時,an≥0,當(dāng)n≥18時,an<0, 故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大. (3)由(2)知,當(dāng)n≤17時,an≥0; 當(dāng)n≥18時,an<0. 所以當(dāng)n≤17時,Sn′=b1+b2+…+bn =|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=Sn=33n-n2. 當(dāng)n≥18時, Sn′=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an| =a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an) =S17-(Sn-S17)=2S17-Sn =n2-33n+544. 故Sn′= 母題探究:1.(變條件)將例題中的條件“Sn=33n-n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中a1=25,S17=S9”求其前n項和Sn的最大值. [解] 法一:∵S9=S17,a1=25, ∴925+d =1725+d, 解得d=-2. ∴Sn=25n+(-2)=-n2+26n =-(n-13)2+169. ∴當(dāng)n=13時,Sn有最大值169. 法二:同法一,求出公差d=-2. ∴an=25+(n-1)(-2)=-2n+27. ∵a1=25>0, 由 得 又∵n∈N*,∴當(dāng)n=13時,Sn有最大值169. 法三:∵S9=S17, ∴a10+a11+…+a17=0. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13+a14=0. ∵a1>0,∴d<0.∴a13>0,a14<0. ∴當(dāng)n=13時,Sn有最大值169. 法四:設(shè)Sn=An2+Bn.∵S9=S17, ∴二次函數(shù)對稱軸為x==13,且開口方向向下, ∴當(dāng)n=13時,Sn取得最大值169. 2.(變條件)將例題中的條件“Sn=33n-n2”變?yōu)椤癝n=-+n”求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn. [解] a1=S1=-12+1=101. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1 =- =-3n+104. ∵n=1也適合上式, ∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+104(n∈N*). 由an=-3n+104≥0,得n≤34.7. 即當(dāng)n≤34時,an>0; 當(dāng)n≥35時,an<0. (1)當(dāng)n≤34時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n; (2)當(dāng)n≥35時, Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn =2- =n2-n+3 502. 故Tn= [規(guī)律方法] 1.在等差數(shù)列中,求Sn的最小(大)值的方法: (1)利用通項公式尋求正、負(fù)項的分界點,則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小). (2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值. 2.尋求正、負(fù)項分界點的方法: (1)尋找正、負(fù)項的分界點,可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來尋找. (2)利用到y(tǒng)=ax2+bx(a≠0)的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負(fù)項的分界點. 3.求解數(shù)列{|an|}的前n項和,應(yīng)先判斷{an}的各項的正負(fù),然后去掉絕對值號,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題. 裂項相消法求和 等差數(shù)列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn為前n項和,求++…+. 思路探究:根據(jù){an}為等差數(shù)列求出其前n項和,根據(jù)的通項特征,利用裂項相消法求和. [解] ∵等差數(shù)列{an}的首項a1=3,公差d=2, ∴前n項和Sn=na1+d =3n+2=n2+2n(n∈N*), ∴== =, ∴++…+ = = =-. [規(guī)律方法] 裂項相消法求數(shù)列的前n項和的基本思想是設(shè)法將數(shù)列的每一項拆成兩項(裂項)之差,并使它們在相加時除了首尾各有一項或少數(shù)幾項外,其余各項都能前后相消,進(jìn)而求數(shù)列的前n項和. [跟蹤訓(xùn)練] 2.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=,求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 【導(dǎo)學(xué)號:91432179】 [解] an==, ∴Sn=+++…++ = ==, ∴Sn=. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1.已知某等差數(shù)列共有10項,其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差為( ) A.5 B.4 C.3 D.2 C [由題知S偶-S奇=5d ∴d==3.] 2.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且S6>S7>S5,有下列四個命題:①d<0;②S11>0;③S12<0;④數(shù)列{Sn}中的最大項為S11,其中正確命題的序號是( ) 【導(dǎo)學(xué)號:91432180】 A.②③ B.①② C.①③ D.①④ B [∵S6>S7,∴a7<0, ∵S7>S5,∴a6+a7>0, ∴a6>0,∴d<0,①正確. 又S11=(a1+a11)=11a6>0,②正確. S12=(a1+a12)=6(a6+a7)>0,③不正確. {Sn}中最大項為S6,④不正確. 故正確的是①②.] 3.已知等差數(shù)列{an}中,|a5|=|a9|,公差d>0,則使得前n項和Sn取得最小值的正整數(shù)n的值是________. 6或7 [由|a5|=|a9|且d>0得a5<0,a9>0,且a5+a9=0?2a1+12d=0?a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7且最小.] 4.?dāng)?shù)列{an}的通項公式an=,其前n項和Sn=9,則n=________. 99 [an==-, ∴Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1=9. ∴n=99.] 5.已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=n2-30n. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式an; (2)求Sn的最小值及對應(yīng)的n值. 【導(dǎo)學(xué)號:91432181】 [解] (1)∵Sn=n2-30n, ∴當(dāng)n=1時,a1=S1=-29. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2-30n)-[(n-1)2-30(n-1)]=2n-31. ∵n=1也適合, ∴an=2n-31,n∈N*. (2)法一:Sn=n2-30n =2-225 ∴當(dāng)n=15時,Sn最小,且最小值為S15=-225. 法二:∵an=2n-31,∴a1- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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